6. Глава 3. Степенная производственная функция комплексных переменных

   1. 3.1. Линейная производственная функция комплексных переменных

Изученные в предыдущей главе производственные функции комплексного аргумента расширяют инструментальную базу теории производственных функций и обладают рядом новых свойств, которые могут быть важными для исследователя. Однако каждая из них всё же не обладает всеми преимуществами, которые может дать экономисту теория функций комплексного переменного. Выше мы использовали как комплексную только одну переменную – производственные ресурсы, которая выступала в производственной функции как её аргумент. В качестве производственного результата мы рассматривали действительную переменную – объём производства. Уже этот подход дал новые результаты – простая модель комплексного аргумента соответствует в области действительных чисел очень сложным моделям.

Но принципиально важной и новой, не имеющей аналогов в современной теории производственных функций действительных переменных, является производственная функция, использующая две комплексные переменные: первая, это затраты ресурсов; вторая, это комплексный производственный результат.

Результат производства может быть представлен разными показателями, но наиболее общее представление о нём дают два – объём производства и затраты этого производства. Тогда результат производства также будем представлять в виде комплексной переменной, связывающей объём производства и издержки производства:

, (3.1.1)

где Q_t– объём производства,С_t – затраты производства.

Две комплексные переменные (зависимую и независимую) можно связать некоторой функциональной зависимостью:

, (3.1.2)

а это уже – функция комплексных переменных.

Функций, которые связывают комплексные переменные ибесконечно много. Так как производственные процессы отличаются друг от друга следующими особенностями:

• уровнем иерархии (предприятие, группа предприятий, региональное производство, национальное производство, мировое производство и т.п.),

• спецификой производства (сельскохозяйственное производство, машиностроение, лёгкая промышленность, нефтедобыча, производство электроэнергии и т.п.),

• национально-географическими особенностями (трудоизбыточное население или трудодефицитное; наличие источников сырья и транспортных узлов; тёплый, жаркий или холодный климат и т.п.),

то общей производственной функции комплексных переменных, которая наилучшим образом описывает эти производственные процессы, меняя лишь в зависимости от ситуации значения своих коэффициентов, не существует. Это может быть линейная функция, а может быть и, например, логарифмическая функция комплексных переменных. В каждом случае экономист должен выбрать из имеющегося множества возможных функций наилучшую.

В этом параграфе работы мы рассматриваем лишь линейную функцию комплексного переменного, являющуюся частным случаем степенной производственной функции комплексного переменного, в которой показатель степени равен единице.

Самая простая – линейная функция комплексных переменных выглядит так:

.

Но она не представляет особого интереса, поскольку, раскрыв а ней скобки, получим элементарное равенство:

.

Из которого следует, что , а.

Конечно, в определённых случаях эта модель может быть использована в экономической практике, но универсальной её назвать нельзя.

Более широко применимой для целого ряда случаев может быть линейная функция более сложного вида, а именно:

. (3.1.3)

Здесь, как и в случае (2.1.1) вводится комплексный коэффициент (b₀+ib₁), исследование которого и представляет особый интерес. Прежде всего, надо определить способ вычисления коэффициентов и изучить особенности каждого из них. Для этого найдём комплексный коэффициент из равенства (3.1.3):

.

Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на сопряжённый знаменателю сомножитель, получим:

Откуда после группировки вещественной и мнимой частей легко определяются коэффициенты b₀иb₁этой формы производственной функции комплексных переменных:

, (3.1.4)

. (3.1.5)

В отличие от коэффициентов производственной функции комплексного аргумента (2.1.1) дать экономическую интерпретацию коэффициентам функции (3.1.3) непросто. Знаменатели у этих коэффициентов, как и в случае (2.1.6), одинаковы, но числители имеют более сложный характер. Коэффициент b₀будет линейно расти с ростом, как объёма производства, так и с ростом издержек производства при постоянстве затрат ресурсов. Также он будет расти и при увеличении ресурсов, затраченных в производстве. Относительно второго коэффициентаb₁, можно сказать, что он будет увеличиваться с ростом себестоимости и, в некоторой степени, с увеличением основных производственных фондов. Если ресурсы, и результаты растут прямо пропорционально, то этот коэффициент остаётся постоянным.

Если за точку отсчёта принять первое наблюдение, а все остальные значения привести к относительным значениям, то коэффициент b₀будет равен единице, а коэффициентb₁– нулю. Впрочем, за точку отсчёта можно взять не только начальное, но и любое другое значение, например, последнее. Тогда именно для этого года наблюдения за производственным процессом коэффициентb₀будет равен единице, а коэффициентb₁будет равен нулю.

Если раскрыть скобки равенства (3.1.3) и сгруппировать вещественную и мнимую части, то получим:

,

откуда вещественная часть равенства:

, (3.1.6)

а мнимая:

. (3.1.7)

Любопытно, что полученные значения позволяют определить прибыль производства в относительных величинах. Действительно, если Q_t– выручка, аC_t– издержки производства, то имеем для этого:

. (3.1.8)

Для того чтобы говорить именно о прибыли, а не о некоем её «аналоге», значения Q_t и C_t надо приводить к относительным величинам так, чтобы они были связаны друг с другом. Например, по формулам:

, ,

где - фактическое значение объёма выпуска, а- фактическое значение суммарных затрат на наблюденииt. То есть такая прибыльG_tв относительных величинах, находящаяся как разностьQ_tиC_t, будет:

.

Легко заметить, что расчётное значение прибыли в абсолютных величинах в таком случае должно находиться по формуле:

Кроме того, рентабельность производства может быть найдена из отношения:

. (3.1.9)

Стоит заметить, что при расчёте рентабельности по формуле (3.1.9), используются относительные величины, однако результат будет численно равен рентабельности, рассчитанной по фактическим данным, так как выполняется равенство:

.

Выражения (3.1.8) и (3.1.9) могут быть использованы при анализе того или иного производственного процесса в качестве дополнительной характеристики.

Формулы (3.1.4) и (3.1.5) дают возможность найти соответствующие значения коэффициентов линейной производственной функции комплексных переменных (3.1.3) для каждого наблюдения. Для этого следует только подставить в них имеющиеся статистические данные. Руководство Инзенского Диатомового комбината (Ульяновская область) любезно предоставило нам необходимые статистические данные по своему предприятию. Абсолютные значения производства на этом комбинате приведены в таблице 5 приложения.

Используя значения выручки, издержек производства, фонда оплаты труда и величины основных производственных фондов, построим производственную функцию типа (3.1.3). Для этого приведём все значения к безразмерным относительным величинам. За единицу примем данные за февраль 1999 года. Все остальные исходные значения переменных приводятся к этим данным. Так как формулы (3.1.4) и (3.1.5) предоставляют возможность находить соответствующие коэффициенты для каждого наблюдения, получим два ряда коэффициентов, которые представлены в таблице 6 приложения.

Видно, что коэффициенты функции меняются во времени. При этом коэффициент b₀в динамике явно не линеен: его значения сначала возросли до 1,170, затем стали падать до 0,303, потом опять возросли до 0,907, далее опять снизились и в конце наблюдаемого ряда вновь возросли до 1,026.

Значения коэффициента b₁также колеблются, но если коэффициентb₀несколько раз пересёк стартовое значение, равное единице, то коэффициентb₁нулевые значения так и не пересёк, всё время оставаясь отрицательным.

Любые изменения коэффициентов, поскольку они представляют собой упорядоченную во времени последовательность значений, можно описать трендами.

Для таблицы 6 приложения с помощью МНК получим следующие уравнения трендов:

- для коэффициента b0 = -0,0227t + 0,8174 (3.1.10)

- для коэффициента b1= 0,0138t - 0,0157 (3.1.11)

Тогда модель производственной функции комплексных переменных для Диатомового комбината будет иметь вид:

Если менеджменту данного комбината необходимо определить условия роста производства, то, изменяя в полученной модели величину фонда оплаты труда (а значит, и количества занятых в производстве) и величину основных производственных фондов, можно произвести многовариантные расчёты и найти варианты минимальной себестоимости, максимальной прибыли, максимальной валовой продукции и т.п.

Если спрогнозировать тенденции изменения ОПФ и трудовых ресурсов, то можно получить и прогнозы возможной динамики объёма и затрат при сохранении этих тенденций. Для этого в полученную модель следует подставить тренды изменения ОПФ и трудовых ресурсов. В таблице 7 приложения приведены результаты этого прогноза для Диатомового комбината.

Способ непосредственной оценки параметров производственной функции комплексной переменной с помощью МНК может показаться более сложным, но на самом деле это не так. Для начала введём следующие обозначения:

; ; .

Тогда критерий МНК будет иметь вид:

.

Для того чтобы вывести формулы для нахождения коэффициентов b₀иb₁надо найти производную функцииF(b)поbи приравнять её нулю. Тогда получим простое уравнение:

,

которое имеет единственный корень:

,

или, подставив значения X,Yиb:

, (3.1.12)

Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на число сопряжённое знаменателю, получим:

(3.1.13)

Далее, раскрывая скобки в (3.1.13) и группируя действительную и мнимую части, получим следующие формулы для нахождения коэффициентов производственной функции (3.1.3) с помощью МНК:

(3.1.14)

(3.1.15)

По данным таблицы 5 приложения были вычислены эти коэффициенты. Подставляя их в (3.1.3), получим модель следующего вида:

. (3.1.16)

Эта модель может быть использована для многовариантных расчётов, в том числе для прогнозирования объёмов и затрат производства.

Далее перейдём к рассмотрению другой, более сложного вида производственной функции – степенной функции комплексного переменного с вещественными коэффициентами.