3. 1.3. Основы теории комплексных переменных

На протяжении истории науки понятие числа развивалось, приобретая всё большую общность. В наше время человеку при получении математического образования приходится в сжатом виде повторять этот процесс расширения понятия числа.

В простейшем представлении число – это количество предметов. Такому представлению соответствует понятие натурального числа. Множество Nнатуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это означает, что проводя эти операции с натуральными числами, мы неизменно будем получать натуральные числа [60, 46].

Операция деления натуральных чисел может привести к появлению дроби, которая натуральным числом не является. Признание дробей числами не вызвало затруднений в древние времена. Этот выход за пределы множества Nзаставил расширить понятие числа. Числом стали называть не только количество предметов, но и отношение количеств.

Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числа большее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторого количества, но само это количество выражалось положительным числом. Когда получали при решении уравнений отрицательный корень, то просто отбрасывали его как «недопустимый». Лишь в XVII веке, после того, как Декарт ввёл в употребление систему координат, в математике окончательно утвердилось представление о равноправии положительных и отрицательных чисел. Появилось понятие рационального числа – отношения любых чисел mиn. Множество рациональных чиселQзамкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления.

Потребность в увеличении набора операций, которые можно выполнять над числами, приводила к обобщению понятия числа. Математики приходили к расширению множества объектов, заслуживающих название числа, формировали новое, более ёмкое определение числа, включающие в себя и такие числа, которые ранее не включались в определение как «недопустимые». Математики частенько сталкиваются с числами, которые не входят во множество рациональных чисел. Например, вычисляя длину гипотенузы по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, в котором оба катета равны 1, математик получит число . Не существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен2, тем не менее числосуществует и, являясь нормальной математической абстракцией, имеет право на включение в понятие числа. Удивление перед подобными необычными числами отразилось в их названии – иррациональные числа, т. е. числа, не поддающиеся разумному истолкованию.

К концу XIX века была построена теория, истолковывающая рациональные и иррациональные числа с единой точки зрения. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством вещественных или действительных чисел R.

Казалось бы, что множество действительных чисел замкнуто относительно всех операций. Однако в этом множестве нет числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу. Вообще задача извлечения квадратного корня из числа -y²сводится к задаче извлечения квадратного корня из отрицательной единицы.

Числа, квадрат которых равен отрицательным числам, называются мнимыми. Множество чисел, объединяющее множества мнимых Iи действительныхRчисел называется множеством комплексных чиселC. Комплексное число представляет собой числовую пару, состоящую из двух частей – вещественной и мнимой. В алгебраической форме записи его можно представить следующим образом:z=x+iy.

Здесь x– вещественная часть комплексного числа,iy –мнимая часть комплексного числа,xиy– вещественные числа,i– мнимая единица.

«Впервые, по-видимому, мнимые числа появились в труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Джироламо Кардано, который счёл их бесполезными, непригодными к употреблению» [40, 1007]. «Пользу мнимых величин впервые оценил Рафаэль Бомбелли. Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Однако даже для многих крупных учёных XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых чисел представлялась неясной. Известно, что Исаак Ньютон не включал мнимые числа в понятие числа, а Готфриду Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия с небытием» [40, 1010].

В 1777 году Леонард Эйлер предложил мнимую единицу обозначать буквойi(от французского слова «imaginaire» - мнимый, воображаемый). Он же в 1751 году высказал мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришёл Жан Лерон Д'Аламбер. «Однако первое строгое доказательство этого факта принадлежит Карлу Фридриху Гауссу, который ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831 году» [54, 3]. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Каспара Веселя в 1799 году.

Мнимые числа принято обозначать как действительные числа, умноженные на мнимую единицу . В названии «мнимое число» отразилось то представление, что корень квадратный из отрицательного числа не является числом в «реальном» смысле. Тем не менее, у мнимых чисел есть важная, общая с иррациональными числами черта, которая выражается в том, что в некоторых случаях операции над символомiy, не выражающем вещественного числа, приводят всё-таки к вещественным числам. Поэтому мнимые числа являются такой же нормальной математической абстракцией, как и иррациональные числа. Являясь множеством, включающем подмножества действительных и мнимых чисел, комплексные числа позволяют описывать процессы, описать которые, используя лишь вещественные числа, невозможно. Остановимся подробней на основных свойствах комплексных чисел.

Для начала стоит отметить, что если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то данное комплексное число равно соответствующему действительному: .

Два комплексных числа исчитаются равными, тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть:,. Кроме того, суммой двух комплексных чисел иназывается комплексное число, а произведением – комплексное число[79, 7].

Комплексное число называетсясопряжённымс комплексным числом и обозначается.

Число называетсямодулемкомплексного числа и обозначается.

С комплексными числами можно выполнять все те же действия, что и с вещественными, но с учётом специфики комплексных чисел эти действия имеют оригинальный характер. Рассмотрим свойства операций с комплексными числами:

1. Коммутативность:

, .

2. Ассоциативность:

, .

3. Дистрибутивность:

.

Из свойств операций умножения и сложения комплексных чисел также следуют свойства операций вычитания и деления:

,

, .

Или, если ,, то предыдущую формулу можно записать следующим образом:

(1.3.1)

Если действительное число геометрически представляется точкой на прямой, то комплексное число zможет быть представлено точкой или вектором на плоскости с координатами (рис. 1.5).

Ось абсцисс называется действительной осью, а ординат –мнимой. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью.

Стоит отметить, что комплексные числа zи–zсимметричны относительно начала координат, а числаzи – относительно действительной оси. Угол, который образует комплексное число, представленное в виде вектора с осью абсцисс называется аргументом либо полярным углом и обозначается:

, ,

где – главное значение, определяемое условием:

, причём

(1.3.2)

[85, 4]

Два комплексных числа z₁иz₂равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную :

,

Как видим, положение точки на комплексной плоскости может быть однозначно определено не только её координатами, но и модулем и полярным углом комплексного числа, которые обычно обозначаютсяrиφсоответственно (см. рис. 1.6).

Из рисунка 1.6 видно, что:

, . (1.3.3)

Следовательно любое комплексное число можно представить в виде:

(1.3.4)

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Предположив, что ,, по формуле (1.3.4) имеем:. Это комплексное число обозначается символом[79, 13], т.е. функциядля любого действительного числаφопределяется формулой Эйлера:

(1.3.5)

Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы числоiбыло действительным. Отметим основные из них:

,

,

, (1.3.6)

Из (1.3.5) и (1.3.6) получается формула Муавра:

А из (1.3.4) и (1.3.5) следует, что любое комплексное число может быть представлено в виде:

Такая запись комплексного числа называется показательной.

В данной диссертации будут рассмотрены производственные функции комплексных переменных, говоря о которых, стоит заметить, что любую комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных [79, 27]. Так показательная функция для комплексного переменногоопределяется формулой:

. (1.3.7)

Работая с показательными функциями комплексного переменного, приходится также работать и с логарифмическими функциями. Для логарифмических функций комплексного переменного справедливо следующее равенство:

, (1.3.8)

Здесь определяется условием (1.3.2).

Свойства, рассмотренные выше, были показаны на комплексных числах, построенных на евклидовой плоскости, в которой комплексное число рассматривается в большей степени как обычный вектор. Но в физике комплексные числа вида рассматриваются на псевдоевклидовой плоскости, где по оси абсцисс откладывается значение неy, аiy. В таком случае у комплексных переменных открываются новые уникальные свойства, аналогов которым в области действительных чисел нет [60]. Поскольку эти положения не будут использованы в данном диссертационном исследовании, эти свойства не рассматриваются. Зато приведённые элементарные свойства комплексных переменных будут использованы в последующих параграфах диссертации. Принципиально важно отметить, что математические действия с комплексными числами (за исключением сложения и вычитания) дают иные результаты, нежели аналогичные действия с вещественными числами. Поэтому от применения моделей комплексных переменных в экономике можно ожидать других результатов, чем от моделей действительных переменных. В данной диссертации это положение обосновывается на примере Степенных производственных функций комплексных переменных.