Geofizichna_gidrodinamika_statsionar

K	0	A P P	B P P	2 1	- коефіцієнт ізотермічної стисливості
		a	a
води, причому функції t , K0 ,				A і B описуються багаточленами третього

ступеня від T і (s -35) o oo .

Швидкість звуку (4.12) в океанській воді зростає із збільшенням температури, тиску і солоності і описується емпіричною формулою, згідно з якою до стандартного значення c =1449,3 м/с додаються поправки у

вигляді кубічних многочленів від T, p і s .

В цьому розділі розглядалися термодинамічні процеси, що описують зміну термодинамічних характеристик в нерухомому елементарному об'ємі рідини. У геофізичній гідродинаміці вивчаються також термодинамічні процеси в рухомій рідині.

4.2 Умови рівноваги стратифікованої рідини

Стратифікацією середовища називається розподіл її густини по

вертикалі, т. т. у напрямі сили тяжіння. Можна розглядати стратифікацію і інших термодинамічних характеристик (температури T , концентрації термодинамічно активних домішок s , швидкості звуку c , ентропії та

інших), але найбільше динамічне значення в геофізичній гідродинаміці має стратифікація густини, яка безпосередньо визначає характер дій специфічних для природних течій архімедових сил. Щоб оцінити дію цих сил на рідкі частинки, адіабатично переміщувані по вертикалі, будемо використовувати як незалежні термодинамічні змінні h, p і s . Введемо

вертикальну координату z , що відлічується від поверхні моря вгору.

Для опису умов рівноваги стратифікованої рідини зручно користуватися поняттям потенціальної густини , яка визначаєтся як

густина рідини адіабатично приведеної до стандартного тиску p0 , т. т.

, s , s, p0 .

Для визначення потенціальної густини скористаємось

рівняннями (4.11). Вважаючи в них dp = 0 і виключаючи dT ,

диференціал

потенціальної густини dr* можна привести до вигляду

T

cp

d

d

ds

,

(4.20)

c

T

p

де зірочками знизу позначені значення функцій від h, p і s при p p0 .

93

Формулу (4.20) можна істотно спростити, якщо ентропію виразити у вигляді функції від густини, тиску і концентрації домішки. Після заміни

df f dz f , , s

при z z

0

отримаємо з урахуванням співвідношень

z

(4.14)

1

p

z

z

z .

(4.21)

c2

В стратифікованому середовищі параметри h,

p і

s , взагалі кажучи,

змінюються із зміною вертикальної координати z ,

так що стратифікація

густини описується функцією z z , s z , p z

.

де p p0 , на

При адіабатичному зміщенні рідкої частинки з рівня z0 ,

рівень z , де її густина

буде дорівнювати

0

z z

0

, s z

0

, p z і

z z z0

при малому

зміщенні

буде

відрізнятися

від

густини

навколишнього середовища на величину

0 z z .

Густина частинки

на рівні z визначається початковим значенням на рівні z0

і зміною тиску

p p z p z0 , оскільки і

s при

адіабатичних

переміщеннях не

змінюються.

Тоді

з

урахуванням

(4.12)

густина

частинки

0 z z0

1

p z .

c2 z

В навколишньому середовищі z z0 z z . Звідки дістанемо:

	z z			1			p
0							z		z , і на основі (4.21) знаходимо
				c2					z
									0 z z		(4.22)
										z .
										z
Тоді сила плавучості, діюча на одиницю об'єму, рівна
									g 0 g		(4.23)
										z .
										z
	При			0		частинка, виведена із стану рівноваги, буде залишатись
		z

на тому рівні, куди вона буде переміщена. Така стратифікація називається

94

нейтральною. Укажемо, що в нейтральному стратифікованому середовищі, як випливає з (4.20) повинно виконуватися співвідношення

					cp		s
								.	(4.24)
		z			T		z
При		0 напрямок сили плавучості співпадає з напрямком руху
	z

частинки (незалежно від того, вгору чи вниз рухається частинка) і вона діє на рідку частинку, яка зміщується прискорено.

В результаті частинка віддаляється від початкового рівня. Така стратифікація є нестійкою. При слабкій дії дисипативних чинників в середовищі розвинеться конвекція, яка за допомогою роботи сил плавучості буде здобувати кінетичну енергію за рахунок потенціальної енергії нестійкої стратифікації.

При z 0 сила плавучості напрямлена проти руху частинки, яка

адіабатично переміщується, діє на неї повертаючим чином і намагається повернути частинку на вихідний рівень. Така стратифікація є стійкою.

Вертикальне зміщення рідкої частинки вимагає при стійкій стратифікації витрати енергії на роботу проти сили плавучості. Якщо таке зміщення z z0 зроблено, то, поки не виявляться дисипативні фактори,

частинка буде коливатися по вертикалі відносно свого рівноважного рівня z0 з деякою частотою N . Це пов'язано з тим, що при досягненні

початкового рівня z0 частинка за рахунок сили плавучості набула деякої

швидкості і по інерції продовжує рух до рівня, на якому швидкість обертається на нуль. Потім рух повторюється в зворотному напрямі. Величину N можна визначити з рівняння, яке виходить прирівнюванням прискорення частинки силі плавучості, діючій на одиницю маси рідини:

..		g
			z 0 .			(4.25)
Це диференціальне рівняння гармонічних коливань з частотою N ,
квадрат якої рівний
	N 2			g	.	(4.26)
				z

Величина N називається частотою Вяйсяля – Брента.

95

В більшості випадків зміни тиску з висотою досить точно описуються рівнянням гідростатики pz g , і тоді із (4.26) і (4.21) отримується широко відома формула

N 2	g				g
						.	(4.27)
			z		c2

Із (4.27) виходить, що для виконання умови гідростатичної стійкості

( N 2 0 ) необхідно,

щоб

g

, т.т. необхідно, щоб

густина

z

c2

середовища досить швидко убувала із зростанням

z .

Далі, якщо в (4.27) підставити

, отримане із (4.11) з урахуванням

z

залежності всіх термодинамічних змінних від z , дістанемо

T

s

1 g

N 2 g

a

,

a

,

(4.28)

z

c2

z

де a – адіабатичний градієнт температури.

Під адіабатичним середовищем будемо вважати середовище, в якому ентропія і вміст домішки s незмінні.

Покажемо, що мінус a є вертикальний градієнт температури в

такому середовищі. Дійсно, якщо скористатися диференціальним рівнянням стану (4.11) і залежністю між термодинамічними змінними, то для зміни температури в адіабатичному середовищі

dT			gT	a .	(4.29)
			cp
	dz a

a – адіабатичний градієнт температури. Він дає подавання відносно змін

температури в частинці рідини (атмосферного повітря або морської води) при її вертикальних переміщуваннях без обміну теплом і домішками з

навколишнім середовищем. Для ідеального газу		1	та	a	g	. При
		T
					cp
cp 1003 Дж/(кг К) та g 9,81 м/с2,	a 0,98 10 2 К/м.

96

Продиференціювавши (4.29) від рівня моря до вертикальної координати z , отримаємо

	ln	T	z g dz .		(4.30)
		T
			0 c	p
		0

Якщо на рівні моря тиск дорівнює стандартному, то температура рідини, приведена до нього, зветься потенціальною температурою :

T exp	z g dz .
	0 c	p

Продиференціювавши цей вираз по z , отримаємо

1

1 T

g

1

T

a .

z

T z

c p

T

z

(4.31)

(4.32)

Скориставшись виразами (4.28) і (4.32) отримаємо в першому наближенні для частоти Вяйсяля–Брента

N 2	T					s
	g		z			.	(4.33)
					z

Для атмосфери у випадку рівномірного розподілу концентрації домішки s

		N 2=		g	¶q .			(4.34)
				q ¶ z
	Таким	чином, атмосферна		стратифікація			є стійкою,	якщо
¶q	> 0, N 2	> 0 , нестійкою, якщо	¶q < 0, N 2			< 0 ,	і нейтральною,	коли
¶ z			¶ z

¶¶qz = 0, N 2 = 0 .

Оскільки атмосферне повітря близьке до ідеального газу, то в метеорології широко використовується поняття потенціальної температури, яке отримане із рівняння припливу тепла

c		dT	- RT dp	= e ,	(4.34)
	p	dt	p dt	T

97

	де eT – повний приплив тепла		до		одиниці					маси рідини за	рахунок
	внутрішніх і зовнішніх джерел. При T				0 воно набуває вигляду
	cp		dT		R dp .						(4.35)
			T						p
	Після інтегрування останнього співвідношення від рівня p0 ,T0										до рівня
	( p,T ) дістанемо
		T		=			p		R / cp	.	(4.36)
							p
		T
			0				0
	Якщо тепер припустити, що			p0	= 1000 гПа, то для потенціальної
	температури отримаємо								R / cp
							p0
	T									.	(4.37)
							p

Підкреслимо, що (4.37) є окремий випадок (4.31) стосовно до атмосферних умов.

4.3 Рекомендації по вивченню теми

Теми, які містить розділ «Термодинаміка об’єктів геофізичної гідродинаміки» присвячено математичним методам опису термодинамічних процесів, що відбуваються в природному середовищі. Необхідність вивчення цих методів пов’язано з тим, що зміну багатьох геофізичних характеристик обумовлено не лише динамікою рідини, а й термодинамічними процесами, що відбуваються в ній.

В результаті вивчення цієї теми студент повинен знати: характеристики термодинамічного стану природного середовища; перший та другий початок термодинаміки та їх математичні вирази; визначення оборотних та необоротних процесів; поняття ентропії, термодинамічного потенціалу та характеристичної

функції; умови стратифікації середовища;

поняття «потенціальна густина» та «потенціальна температура»; фізичний сенс частоти Вяйсяля–Брента.

98

вміти:

розраховувати термодинамічні характеристики; визначати стратифікацію рідини та аналізувати отримані результати.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендується скористуватись наступною літературою: [11] – стор. 85–108.

4.4 Приклади розв’язання типових задач

Задача № 1.

Умова. Повітряна частинка масою 0,2 кг, при постійному об’ємі отримала 500 Дж тепла, після чого при постійному тиску вона втратила таку ж кількість тепла. На скільки градусів при цьому зміниться температура? Прийняти, що відношення питомих теплоємностей повітря при постійних тиску та об’ємі срсv =1,4, а ср=1005 Дж/(кг К)?

Розв’язання задачі.

За означенням теплоємність є відношенням тепловмісту одиниці маси dQm до зміни температури. Отже при постійному об’ємі

	1	æ	ö
cV =		ç	¶Q÷
			÷ .
		ç	÷
	mè		¶T øV

В нашому випадку, оскільки срсv =1,4, а ср=1005 Дж/(кг К),

cV = 1,4cp = 10051,4 = 717,9 Дж/(кг К).

Відповідно при постійному тиску
	1	æ	ö
cp =		ç	¶Q÷
			÷ .
		ç	÷
	mè		¶T øp

За умовою задачі повітряна частинка спочатку отримала 500 Дж тепла при постійному об’ємі. Отже її температура при цьому змінилась на

dT =	dQV	=	500	= 3,5 К.
V	mcV		0,2 717,9

99

Після цього при постійному тиску вона втратила таку ж кількість тепла, змінивши температуру на

	dTp =	dQp	=	-500		= -2,5	К.
		mcp		0, 2	1005

Отже повне змінення температури повітряної частинки

dT = dTV + dTp = 3,5K - 2,5K =1К.

Відповідь: температура повітряної частинки зросте на 1 К.

Задача № 2.

Умова. Знайти величину вертикального градієнту густини в нейтрально стратифікованій рідині, якщо середнє значення густини 1025,0 кг/м3 і швидкість звуку 1450,0 м/с?

Розв’язання задачі.

За означенням змінення потенціальної густини з висотою

1 p .

z z c2 z

Зміна тиску з висотою досить точно описується рівнянням гідростатики

p g , а умова	нейтральної стратифікації,						яка має вираз	через
z		¶r*
потенціальну густину,				= 0 ,
		¶ z
отже
¶r			gr		9,8 1025		4
¶ z = -					= - 14502	= -0,005	кг/м .
			c2
Відповідь: величина вертикального градієнту густини за								умов
нейтральної стратифікаціі становить -0,005 кг/м4.

100

4.5 Контрольні запитання до теми

1.Термодинамічна система. Термодинамічні параметри.

2.Застосування першого та другого законів термодинаміки до вивчення об’єктів геофізичної гідродинаміки.

3.Оборотний та необоротний термодинамічні процеси.

4.Характеристична функція та термодинамічний потенціал.

5.Термодинамічний потенціал Гіббса та його диференціальна форма.

6.Ентропія.

7.Рівняння стану середовища в диференціальній формі.

8.Теплоємність середовища при постійному тиску та об’ємі.

9.Швидкість звуку.

10.Рівняння стану для ідеального (досконалого) газу та краплинної рідини.

11.Стратифікація середовища.

12.Потенціальна густина рідини.

13.Умови нейтральної, стійкої та нестійкої стратифікації, які мають вираз через потенціальну густину.

14.Частота Вяйсяля-Брента.

15.Адіабатичний градієнт температури.

16.Потенціальна температура.

17.Умови рівноваги ідеального газу, які мають вираз через потенціальну температуру та частоту Вяйсяля-Брента.

4.6 Задачі для самостійного розв’язання

1.Об’єм морської води масою 3 кг при постійному об’ємі отримав 8040 Дж тепла, після чого при постійному тиску він втратив таку ж кількість тепла. На скільки градусів зміниться при цьому температура, якщо питомі теплоємності рідини при постійних тиску та об’ємі дорівнюють відповідно 4020 и 4000 Дж/(кг К)?

2.Повітряна частинка, що має масу 0,1 кг, при постійному об’ємі отримала 500,5 Дж тепла, після чого при постійному тиску вона втратила таку ж кількість тепла. На скільки градусів при цьому зміниться температура? Прийняти, що відношення питомих теплоємностей повітря

при постійних тиску та об’ємі срсv =1,4, а ср=1005 Дж/(кг К)?

3.На яку величину відрізняються вертикальні градієнти

потенціальної та звичайної густини рідини при середньому значенні густини 1000,0 кг/м3 і швидкості звуку 1450,0 м/с?

4.Знайти величину вертикального градієнту густини в нейтрально стратифікованій рідині, якщо середнє значення густини 1015,0 кг/м3 і швидкість звуку 1450,0 м/с?

101

5.Отримати значення квадрату частоти Вяйсяля-Брента, якщо густина рідини 1025 кг/м3, вертикальний градієнт густини мінус 0,075 кг/м4 і швидкість звуку 1450,0 м/с. Визначити характер стратифікації.

6.Відомо, що густина рідини 1025 кг/м3, а швидкість звуку в ній 1450,0 м/с. Знайти, при яких значеннях вертикального градієнту густини буде виконуватись умова гідростатичної нестійкості рідини.

7.Розрахувати адіабатичний градієнт температури в морській воді,

що має температуру 9 С. Прийняти, що коефіцієнт термічного розширення приблизно дорівнює 2,09·10-4 1/К, а теплоємність при постійному тиску 4180 Дж/(кг К).

8. Визначити потенціальну температуру водяної частинки, що

знаходиться на глибині 1000 м і має температуру 8 С. Прийняти, що середній коефіцієнт термічного розширення води 2,3·10-4 1/К, питома теплоємність води при постійному тиску 4184 Дж/(кг К).

9. Знайти потенціальну температуру повітряної частинки, що знаходиться на рівні ізобаричної поверхні 950 гПа та має температуру

20 С. Прийняти, що для сухого повітря відношення питомої газової постійної до питомої теплоємності при постійному тиску дорівнює 0,286.

10. Знайти швидкість звуку в сухому повітрі при температурі 25 С. Прийняти, що відношення питомих теплоємностей при постійному тиску та об’ємі дорівнює 1,4.

102