Geofizichna_gidrodinamika_statsionar

Безрозмірну комбінацію

		U	,	(3.29)
		2 L

називають числом Россбі–Кібеля. Великомасштабний рух визначається як

рух з досить великим L , при якому 1. Для Землі 7.29 10 5 c 1,

тому при прийнятих вище значеннях L і U параметр 0.1, і ми можемо очікувати, що обертання Землі у даному випадку виявиться, як істотне.

Зауважимо, що меншому горизонтальному масштабу L може відповідати менша горизонтальна швидкість так, що відповідна течія як і раніш залишається великомасштабною. Наприклад, у Гольфстрімі характерний горизонтальний масштаб має порядок 100 км, а швидкість течії складає біля 100 см/с, що відповідає числу 0.1 . Отже така течія задовольняє критерію великомасштабності руху. Таким чином, умова помірної малості числа Россбі–Кібеля означає, що швидкість великомасштабного руху U мала у порівнянні з аналогом лінійної швидкості, яка обумовлена

обертанням Землі L . Перепишемо рівняння (3.18)

				1
	dV
	dt	2 V			p ,	(3.30)

з якого виходить, що сума сил правої частини рівняння для імпульсу
дорівнює сумі	відносного прискорення	dV	у системі відліку, що
		dt
обертається, та	прискорення Коріоліса	2 V . Характер цього

результуючого прискорення залежить від відносних величин кожного з

його складових частин. Якщо розглянути величину відношення обох

прискорень, можна дати попередню оцінку важливості прискорення

Коріоліса. Для цього запишемо порядок величин кожного прискорення з

використанням характерних масштабів довжини L і швидкості U .

Прискорення		Коріоліса та відносне			прискорення можна оцінити таким
чином: характерне				значення 2 V		дорівнює	2 U , а характерне
значення	dV	–	U 2	, оскільки час t	L	.
	dt		L		U
Прискорення Коріоліса не залежить від геометричного масштабу та
лінійно залежить від швидкості U .						Величина	відносного прискорення

зменшується зі збільшенням масштабу довжини та квадратично залежить

83

від U . Відношення відносного прискорення до прискорення Коріоліса дорівнює числу Россбі–Кібеля , що пояснює доцільність уведення множника «2» у формулах (3.28)–(3.29).

Оскільки для великомасштабних течій мало, то для таких течій відносне прискорення значно менше прискорення Коріоліса, тобто діючи сили створюють рух з прискоренням, яке близько до прискорення Коріоліса. Прискорення, природно, повинне збігатися по напрямку з

результуючою силою F , так що відносна швидкість V , яка необхідна для створення прискорення Коріоліса, повинна бути спрямована праворуч від прикладеної сили.

Прискорення Коріоліса переважає над відносним прискоренням для великомасштабних рухів внаслідок малості відносного прискорення.

Інакше кажучи, коли часовий масштаб руху істотно перевищує період

обертання Землі, прискорення Коріоліса грає більшу роль, ніж відносне прискорення.

Таким чином, однією з характерних закономірностей об’єктів

геофізичної гідродинаміки є тенденція частинок рідини рухатися під кутом

близьким до 90 по відношенню до напрямку результуючої усіх сил, що

прикладені. Ця властивість широко використовується для вирішення

різних прикладних задач у метеорології та океанології.

3.4.1Рекомендації по вивченню теми

Поділ процесів в океані та атмосфері на процеси різних масштабів є доцільним і зручним. Оскільки таким чином. Для кожного масштабу процесів, що відбуваються в океані та атмосфері, можна записати спрощенні рівняння руху, які досить точно описуватимуть динаміку процесів цього масштабу. Тому дуже важливими є критерії за допомогою яких можна розділити процеси на процеси різних масштабів.

Одним з таких критеріїв є число Россбі–Кібеля, за допомогою якого можна виділити великомасштабну частину процесу.

Під час вивчення цієї теми студент повинен звернути увагу на

наступні питання: великомасштабні рухи, характерні масштаби, число Россбі–Кібеля та його фізичний зміст, прискорення Коріоліса та зв’язок між числом Россбі–Кібеля та прискоренням Коріоліса.

Студент повинен по закінчення вивчення даної теми вміти визначати

чи відносяться природні процеси до великомасштабних за кількісним

критерієм та знаходити характерні масштаби геофізичних величин.

Рекомендована література [11] – стор. 54–55, 109–110.

84

3.4.2Приклади розв’язання типових задач

Задача № 1.

Умова. Розрахувати число Россбі–Кібеля для природної течії газу, що має характерний горизонтальний масштаб, L , 2000 км і швидкість, U , 15 м/с. Вкажіть, чи є цей процес великомасштабним, і обгрунтуйте своє

твердження. Прийняти, що кутова швидкість обертання Землі 7.29 10-5 с-1.

Розв’язання задачі.

Розрахуємо число Россбі–Кібеля за формулою (3.29), приводячи всі одиниці вимірювання до системи SI:

	U		15 м с 1
				0.05 1
	2 L		2 2 106 м 7.29 10 5с 1

Оскільки отримане значення числа Россбі–Кібеля значно менше

одиниці, то процес можна віднести до великомасштабного, тобто до

процесу на якій істотно впливає сила Коріоліса.

3.4.3Контрольні питання до теми

1.Які процеси належать до великомасштабних?

2.Що називається характерним масштабом, характерною швидкістю

явища?

3.Поясніть доцільність уведення множника «2» у вираз для числа

Россбі–Кібеля.

4.Фізичний сенс числа Россбі–Кібеля.

3.4.4Задачі для самостійного розв’язання

1.Розрахувати число Россбі–Кібеля для природної течії газу, що має

характерний горизонтальний масштаб 1000 км і швидкість 10 м/с. Вкажіть, чи є цей процес великомасштабним, і обгрунтуйте своє твердження.

Прийняти, що кутова швидкість обертання Землі 7,29 10-5 с-1.

2.Відомо, що характерний масштаб явища 500 км, а характерна

швидкість 5 м/с. Чи задовольняє така течія критерію великомасштабного руху?

3.Розрахувати число Россбі–Кібеля для придонної течії, якщо характерні значення просторового масштабу явища 250 км, а швидкості –

85

20 м/с. Кутова швидкість обертання Землі 7,29 10-5с-1. Чи належить процес, що розглядається, до великомасштабного? Обґрунтуйте своє твердження.

4.Чи буде обертання Землі з кутовою швидкістю 7,29 10-5с-1 істотно впливати на придонну течію з характерною довжиною в горизонтальній площині 1000 км і типовою швидкістю 15 м/с.

5.Запишіть вираз для числа Россбі–Кібеля і визначте, як зміниться цей параметр, якщо типова швидкість збільшиться в два рази, а характерний просторовий масштаб зменшиться в півтора разу.

6.На Землі, що обертається, з кутовою швидкістю 7,29 10-5с-1 природна течія має характерний просторовий масштаб 1000 км. Знайти значення типової швидкості, якщо число Россбі–Кібеля рівно 0,034.

7.Природна течія рідини на Землі, що обертається (кутова швидкість

складає 7,29 10-5 с-1) має наступні параметри: типова швидкість 10 м/с, число Росбі–Кібеля 0,137. Знайти характерний просторовий масштаб.

8.Як зміниться число Росбі–Кібеля, якщо при розрахунку цього

числа замість кутової швидкості обертання Землі використовувати її нормальну (до земної поверхні) компоненту на широті 300.

9.Розрахуйте число Россбі–Кібеля для течії Гольфстрім, де типова швидкість 50 см/с, а характерний просторовий масштаб 125 км. Чи

задовольняє таку течію великомасштабному?

10.Розрахувати число Россбі–Кібеля для природного перебігу газу, що має характерний горизонтальний масштаб 100 км і швидкість 1 м/с. Вкажіть, чи є цей процес великомасштабним, і обгрунтуйте своє

твердження. Прийняти, що кутова швидкість обертання Землі 7,29 10-5с-1.

86

4 ТЕРМОДИНАМІКАОБ’ЄКТІВГЕОФІЗИЧНОЇГІДРОДИНАМІКИ

4.1Загальні характеристики і рівняння термодинаміки рідини в стані спокою

Термодинамічний метод опису об'єктів геофізичної гідродинаміки полягає у вивченні властивостей системи взаємодіючих тіл шляхом аналізу умов і кількісних співвідношень перетворень енергії які виникають в ній. Термодинаміка не розглядає внутрішній (молекулярний, атомний) механізм явищ, а оперує з макроскопічними характеристиками об’єктів, що вивчаються. Термодинамічною системою називається сукупність макроскопічних об’єктів (тіл), які обмінюються енергією у формі роботи та у формі теплоти один з одним та з зовнішнім середовищем.

Стан термодинамічної системи визначається сукупністю значень її термодинамічних параметрів (параметрів стану) – усіх фізичних величин, що характеризують макроскопічні властивості системи. Термодинамічні параметри системи взаємопов’язані.

Основними об’єктами геофізичної гідродинаміки є атмосферне повітря та океанська вода. Вони характеризуються трьома незалежними термодинамічними параметрами, за які виберемо температуру T , тиск P і масову концентрацію s термодинамічно активної домішки. В якості s може бути використана масова частка водяної пари в атмосфері або солоність океанської води.

В основі термодинамічного методу лежать перший і другий закони термодинаміки для макроскопічних нерухомих і рухомих систем.

Перший закон термодинаміки по суті виражає закон збереження і перетворення енергії і для нерухомої системи стверджує, що кількість теплоти Q , передана системі, витрачається на зміну її внутрішньої енергії

E і на повну роботу A, здійснену системою проти зовнішніх сил. Для елементарного об'єму рідини перший закон термодинаміки може бути записаний у вигляді

Q E A .

(4.1)

Під внутрішньою енергією будемо розуміти енергію системи, що залежить тільки від її термодинамічного стану і включає енергію хаотичного (теплового) руху всіх мікрочастинок системи (молекул, атомів, іонів і т.д.), енергію взаємодії цих частинок і т.д.

Якщо на систему крім зовнішнього тиску, який рівномірно розподілений, діють інші сили, то робота d A дорівнює сумі роботи

поширення, тобто роботи проти зовнішнього тиску, що дорівнює Pd (1/ r),

87

і роботи d A* , яку здійснює система проти інших зовнішніх сил:A Pd 1/ A . Тут r - густина, 1r – об’єм одиниці маси (питомий

об’єм).

Перший закон термодинаміки, що виражає загальний закон збереження і перетворення енергії, не дозволяє визначити напрям протікання термодинамічних процесів. З цією метою використовується другий закон термодинаміки, який свідчить що неможливий процес, єдиним результатом якого є передача енергії в формі теплоти від менш до більш нагрітого тіла. Для математичного формулювання другого закону термодинаміки вводиться поняття ентропії. Ентропією називається

функція стану системи, диференціал якої в елементарному оборотному процесі дорівнює відношенню нескінченно малої кількості теплоти, наданої системі, до абсолютної температури останньої:

d	Q	.	(4.2)
	T

Під елементарним будемо розуміти процес, що приводить до зміни характеристик системи на нескінченно малі величини.

Для довільного елементарного процесу

	d	Q	,	(4.3)
		T

де знак рівності відноситься до оборотних процесів, а знак нерівності - до необоротних. Оборотним термодинамічним процесом називається термодинамічний процес, який допускає можливість повернення системи у початковий стан без того, щоб зовнішньому середовищі залишилися якінебудь зміни. При необоротному термодинамічному процесі система не може повернутися у початковий стан без будь-яких змін у навколишньому середовищі.

Співвідношення (4.3) є математичним записом другого закону термодинаміки, який стверджує, що ентропія ізольованої системи при будь-яких процесах, що відбуваються в ній, не може убувати.

Об'єднуючи перший (4.1) і другий (4.3) закони, отримуємо основне співвідношення термодинаміки

Td dE A.

(4.4)

88

Багато процесів, які вивчає геофізична гідродинаміка, можна наближено вважати оборотними і для них застосовувати співвідношення (4.4) для оборотних процесів

Td dE A.

(4.5)

Характеристика термодинамічного стану середовища здійснюється за допомогою характеристичних функцій і термодинамічних потенціалів. Характеристичною функцією називається функція стану системи, за допомогою якої і її похідних можуть бути явно виражені термодинамічні властивості системи. Термодинамічний потенціал є характеристична

функція, спад якої в оборотному процесі, що протікає при незмінних значеннях певної пари термодинамічних параметрів (T і 1r , T і P , і P ,

і 1r і т.п.), дорівнює різниці повної роботи, виконаної системою, і

роботи проти зовнішнього тиску.
На основі (4.5) як термодинамічний						потенціал	введемо функцію
T, P, s (термодинамічний			потенціал			Гіббса),	диференціал якої
визначається формулою
d		dT			dP	ds .	(4.6)
	T			P		s

Для з'ясування фізичного значення коефіцієнтів (4.6) скористаємося відомим з фізики зв'язком між термодинамічним потенціалом Гіббса і внутрішньою енергією

E P / T .

(4.7)

Продиференціювавши (4.7)

і підставивши замість d вираз

(4.6),

дістанемо

1

1

dE

dT

dP

ds Pd

Td .

(4.8)

P

s

T

З урахуванням (4.5) знайдемо вирази для коефіцієнтів в формулі (4.6):

– ентропія,

T

			1	– питомий об'єм,
	P

89

– хімічний потенціал термодинамічно активної домішки.

s

Запишемо диференціали від ентропії і густини

d			dT					dP		ds ,
	T				P					s
d				dT					dP ds.		(4.9)
		T					P			s

Оскільки Td є збільшення тепловмісту одиниці маси Q , а співвідношення Q до зміни температури є теплоємність, то питома теплоємність при постійному тиску дорівнює

cP T

,

(4.10)

T

P,s

де значки P і s

означають, що похідна

береться при постійних P і s

T

c

P .

Тоді

Можна

показати,

що

,

де

T P,s

T

P T ,s

1

–

коефіцієнт термічного

розширення,

а

.

T

s

T

Введемо

1

і

1

– коефіцієнти стисливості за рахунок P і s .

P

s

Підставивши отримані співвідношення в (4.9), отримаємо

d

cP

dT dP ds ,

T

d dT dP ds.

(4.11)

Рівняння (4.11) представляє собою диференціальну форму рівняння

стану середовища

T, P, s . Якщо

воно

має

спрощений

вигляд

P , т.т. густина середовища залежить тільки від тиску, то середовище

називається баротропним; в протилежному випадку воно називається бароклинним.

90

Важливою термодинамічною характеристикою середовища є також

швидкість звуку		1/ 2
	P		,	(4.12)
c T, P, s
	,s

	де значки h, s вказують, що похідна				P			береться при постійних і		s .
	Ввівши аналогічно (4.10) питому теплоємність при постійному об'ємі
	(густині)
						æ		ö
			c = T			ç		¶h ÷	,	(4.13)
						ç		÷
				v				÷
						è		¶T ør,s
	і комбінуючи формули (4.11), знайдемо
	c	1		2T		,		cP c2.		(4.14)
		1
	v								c
									v

Як один з прикладів розглянемо вологе (ненасичене) атмосферне повітря. З достатньою для геофізичної гідродинаміки точністю його можна вважати сумішшю ідеальних газів. Ідеальним називається газ, в якому відсутні сили міжмолекулярної взаємодії (не змішувати з ідеальною рідиною, де відсутні сили молекулярної в'язкості). З достатньою мірою точності реальні гази можна вважати ідеальними в тих випадках, коли розглядаються їх стани, далекі від областей фазових перетворень.

Найбільш мінливою складовою частиною атмосферного повітря є водяна пара, яка розглядається як термодинамічно активна домішка, так що s - масова частка водяної пари. Рівняння стану вологого повітря має

вигляд
P RT,	R 1 s RB sR ,	(4.15)

де RB R0 / B 287 Дж/(кг К), R R0 / 462 Дж/(кг К) – газові сталі сухого повітря і водяної пари, R0 8,31 Дж/(моль К) – універсальна

газова стала, B 29 10 3 кг/моль і 18 10 3 кгмоль – маси одного

моля сухого повітря і водяної пари.

Із (4.15) видно, що коефіцієнт дорівнює 1P , отже, із другої формули (4.14) дістанемо

91

	c		2		P		RT .				(4.16)
За законом Дальтона тиск суміші дорівнює сумі парціальних тисків її
складових – сухого повітря PB		і водяної пари P .
Тоді парціальний тиск водяної пари з урахуванням (4.15) дорівнює
P	P P P	1			P			s s		1	s 1 P ,
					P

/ 0,622 .	(4.17)
Ентропія вологого повітря визначається формулами:
1 s s ,
c lnT R ln P const , c lnT R ln P const ,	(4.18)

де c 1003 Дж/(кг К) і c 1810 Дж/(кг К)- питомі теплоємності

сухого повітря і водяної пари при постійних p і s .

Як другий приклад розглянемо океанську воду, в якій роль термодинамічно активної домішки відіграє солоність s . Аналітичний розрахунок термодинамічних характеристик крапельних рідин значно складніший в порівнянні з газами, оскільки при цьому розрахунку необхідно враховувати дальні взаємодії між молекулами, кулонівські сили, діючі між іонами, аномальну поведінку густини при зміні температури в діапазоні температур від максимальної густини ( 40 C ) до замерзання

( 00 C ).

Внаслідок всіх цих ускладнень рівняння стану океанської води вдалося отримати лише емпіричним шляхом. Його прийнято записувати у вигляді

				T, P, s					0	1 10 3		1 P P			1	,	(4.19)
												t		a
де Pa = 1013,25 гПа - стандартний атмосферний тиск,
	0			40 C, P ,0		;	t	103			T , P , s /		0	1 - так звана умовна густина,
				a							a

92