Geofizichna_gidrodinamika_statsionar

5 ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

5.1 Основи аналізу розмірності

Розмірністю фізичної величини називають символічний вираз, що показує як пов’язана дана похідна фізична величина з основними величинами системи. Розмірність дозволяє встановити в скільки разів зміниться значення фізичної величини при переході від однієї системи одиниць до іншої в межах даного класу.

Класом називають сукупність систем одиниць, які основані на одних й тих самих основних фізичних величинах. Кожній з основних фізичних величин надається символ у вигляді заголовних літер латинської абетки, який називається розмірністю основної величини. Для розмірностей маси, довжини, часу та сили застосовуються позначення відповідно L , M , T та F .

Найбільш часто уживаються класи: LMT – з основними одиницями маси, довжини та часу, наприклад, грам (г), сантиметр (см), секунда (с) або кілограм (кг), метр (м), секунда (с), та LFT – з основними одиницями сили, довжини та часу, наприклад, кілограм–сила (кГс), сантиметр (см) та секунда (с). Це означає, що якщо X є лінійним розміром певної фізичної величини, m – маса, а t – час, то кажуть, що в класі LMT розмірність X є L , розмірність m є M , розмірність t є T , а символічний запис має вигляд:

X L , m M , t T .

(5.1)

У всіх випадках розмірність будь–якої фізичної величини можна представити одночленом

f L M T ,

(5.2)

що є слідством того очевидного факту, згідно якого співвідношення значень двох фізично однорідних величин не залежить від вибору основних еталонів.

Наприклад розмірність площі ( S ), об’єму (V ), швидкості (u ) та енергії ( E ) в класі LMT будуть наступними:

S X X L2 ; V X X X L3 ;

	X		1		m			2	2 2
u		LT		, E		X
	t								ML T	.
					t2

103

За необхідності набір основних фізичних величин, що входять до класу LMT та LFT , можна доповнити температурою (розмірність – , одиниця – градус) та кількістю теплоти (розмірність – Q , одиниця –

джоуль).

Величини, числове значення яких не змінюється при переході від однієї системи одиниць вимірювання до іншої в межах даного класу, називають безрозмірними. Розмірність безрозмірної величини дорівнює одиниці.

Величини a1, ,ak мають незалежну розмірність, якщо розмірність

жодної з цих величин не можна представити у вигляді добутку степенів розмірностей решти величин.

Визначальними параметрами називають фізичні величини, від чисельного значення яких залежить чисельне значення шуканої фізичної величини. Так, якщо a1, ,an – визначальні параметри певного

об’єкту або процесу, то будь–яка фізична величина a , що характеризує результат цього процесу, може бути представлена у вигляді

a f (a1,...,an ) .

(5.3)

До числа визначальних параметрів входить уся сукупність розмірних величин, які визначають конкретний фізичний процес та відрізняють його з множини інших подібних процесів. Якщо фізична задача сформульована математично, то до числа визначальних параметрів належать всі розмірні величини, які входять у відповідну систему рівнянь, та граничні умови.

5.1.1 - теорема

Будь–яка залежність між n 1 розмірними величинами, з яких k

величин ( k n ) мають незалежну розмірність, може бути зведена до залежності між n 1 k безрозмірними величинами (комплексами). Так,

якщо

a f (a1, ...,ak ,ak 1,...,an ) ,

(5.4)

причому a1,a2 ,...,ak є параметрами з незалежними розмірностями, то шукану залежність можна звести до наступного вигляду:

F 1, , n k ,

(5.5)

104

Безрозмірні комплекси у виразі (5.5) мають вигляд:

a

ak 1

an

, 1

,

n k

.

(5.6)

a1

ak

a1 k 1

ak k 1

a1 n ak n

Зміна символу

функції

F

замість

f

обумовлено тим,

що з

розглядання випадають k –комплексів, що дорівнюють одиниці. Якщо n k , то F C – константа.

Число параметрів з незалежними розмірностями визначається, як правило, числом основних одиниць фізичних величин, що є необхідними для знаходження розмінностей всього набору розмірних параметрів, які входять до шуканої залежності.

Іноді серед визначальних параметрів, що характеризують один процес, можуть зустрітися однойменні величини, наприклад, два лінійних розміри або дві швидкості. Це може статися у випадку, якщо значення певного параметру виразно змінюється на поверхні розділу двох середовищ, або в різні часові періоди тощо. Наприклад, якщо розглядається процес на розділі води та повітря, може бути задано два коефіцієнта в’язкості (в’язкість води та повітря), дві густини (густина води та повітря), або, якщо розглядається рух рідини зі швидкостями, порівнянними зі швидкостями звуку може бути задано дві швидкості, одна з яких буде швидкістю звуку. Тоді такі величини об’єднуються не в комплекси, а в симплекси, S , що є відношеннями двох однойменних величин.

Включивши симплекси в рівняння (5.6), можна представити його у

вигляді наступної залежності:
F 1, , n k ; S1,..., Sm .	(5.7)

Рівняння (5.7) дає більш повне представлення про структуру рівняння зв’язку, ніж рівняння (5.6). Рівняння (5.7) будемо називати розширеним критеріальним рівнянням.

5.1.2Рекомендації по вивченню теми

Методи теорії розмірності дозволяють встановлювати вигляд функціональної залежності між фізичними величинами, суттєво спрощують попередній аналіз фізичних явищ й обробку даних експериментів. Окрім того, застосування –теореми (центральної теореми теорії розмірності) у багато разів дозволяє скоротити кількість експериментів для визначення функціональної залежності між

105

величинами. Тому володіння основними методами теорії розмірності є необхідною умовою для кожного спеціаліста в області гідрометеорології.

По закінченні вивчення цієї теми студент повинен володіти базовою компонентою, яка включає наступні знання та вміння:

уявлення про еталони, основні одиниці вимірювання, про основні класи та системи одиниць вимірювання;

визначення розмірних та безрозмірних величин, величин з незалежними та залежними розмінностями;

знаходження вигляду функціональної залежності між фізичними величинами;

формулювання –теореми та застосування висновків з неї на практиці.

Більш детальну інформацію з цієї теми студент може отримати в конспекті лекцій [6] – стор. 16–41.

5.1.3Приклади розв’язання типових задач

Задача № 1.

Умова. Визначити розмірності градієнту густини в класах LMT і LFT і записати визначальне рівняння.

Розв’язання задачі.

Нагадаємо, що визначальне рівняння – це рівняння, яке є основним для визначення розмірності певної величини. Вираз для градієнту будь– якої скалярної величини f є наступним:

f i fx j fy k fz .

Оскільки всі доданки мають однакову розмірність, то ми можемо оцінити розмірність тільки одного будь–якого доданку і отримати розмірність для всього виразу.

Враховуючи попередні міркування, запишемо визначальне рівняння для градієнту густини у наступному вигляді:

grad i x

Також нагадаємо, що визначати розмірність величини можна, не зважаючи на диференціальний оператор, тобто grad x . Розмірність

густини у класі LMT:	m			M	ML 3 , і у класі LFT:
	V			L3

106

	F a			FT 2	L	L 4FT 2 , а розмірність x	у класах LMT і LFT буде
	V			L3

однаковою x L .

Звідси розмірність градієнту густини у класі LMT: grad ML 4 і у класі LFT: grad L 5FT 2 .

Задача № 2.

Умова. Визначити число параметрів з незалежними розмірностями із заданої сукупності визначальних параметрів: X – горизонтальний масштаб явища, u – швидкість, a – прискорення, F – сила, A – робота, N – потужність.

Визначити число параметрів з незалежними розмірностями у випадку, якщо первинними величинами є довжина, маса і час і у випадку, якщо первинними величинами є довжина, маса, час і сила.

Розв’язання задачі.

Число параметрів з незалежними розмірностями (нагадаємо, що незалежними величинами називають величини, розмірність яких не можна визначити одну через одну) дорівнює числу первинних величин (або числу основних одиниць вимірювання), що використовуються у задачі.

Наприклад, величини X , u , F є незалежними, тоді a , N , A є залежними. Перевіримо ці твердження:

1. F u x X y , тобто MLT 2 LxT xLy

Шукані показники степені можна знайти з системи рівнянь:

1 x y2 y ,

1 0

яка несумісна. Отже ми довели, що величини X , u , F є незалежними.

2. X u x a y , тобто L LxT xLyT 2 y

Шукані показники степені можна знайти з системи рівнянь:

1 x y0 x 2 y ,

107

яка дає x 2, y 1. тобто величини X , u , a є величини з залежними

розмінностями. і ці величини, хоча їх всього три, не можна використовувати в якості незалежних.

У нашому випадку, ми маємо шість величин та три первинних величини (маса, довжина, час) – тобто ми можемо отримати усього

C63 3!3!6! 20 комбінацій величин, з яких треба викинути комбінації, в які

ввійшли залежні величини (у нашому випадку це тільки одна комбінація

X , u , a – C33 1).

Виходячи з попередніх міркувань, ми можемо прийняти за незалежні величини:

1.	X , u , F	6.	X , a , N
2.	X , a , F	7.	F , A , N
3.	X , u , A	8.	F , A, X
4.	X , u , N	9.	F , A, u
5.	X , a , A	10.	F , A, a тощо.

Вибираючи незалежні величини, ми повинні виходити з того наскільки зручно виражати інші величини через ті, що ми вибрали за незалежні.

Тому наприклад в наведеній задачі доцільно вибрати за незалежні X , u , F , тому що вони мають найбільш прості розмірності.

Якщо ми будемо розглядати ці величини за умови, що в якості первинних величин ми візьмемо довжину, масу, час та роботу, то в цьому

випадку число всіх комбінацій величин зменшується C64 2!4!6! 15 , тому

що число незалежних величин дорівнює чотирьом, і залишається лише дві залежних величини. З цих комбінацій викидаємо 3 комбінації залежних

величин ( X ,u,a, F ; X ,u,a, A ; X ,u,a, N – C43 3). Зазвичай кількість величин з незалежними розмірностями збільшують, щоб скоротити

кількість залежних величин, а разом з цим і кількість безрозмірних комплексів.

Задача № 3.

Умова. Знайти зв’язок між швидкістю сталого руху та горизонтальним градієнтом тиску (за умови що він не змінюється), якщо повітряна маса рухається у полі прямолінійних паралельних ізобар у вільній атмосфері, враховуючи силу Коріоліса.

108

Розв’язання задачі.

Шуканою величиною є швидкість руху V (м/с). Якщо рух сталий, то з визначальних параметрів ми можемо виключити час. Серед характерних параметрів є градієнт тиску ( p n ) та параметр Коріолісу ( ). Для того,

щоб скласти безрозмірну комбінацію з характерних параметрів, серед них повинна бути фізична величина, в формулі розмірності якої міститься одиниця маси. Цією величиною може бути густина . В даному випадку

основне значення мають властивість інерції рідини, сила баричного градієнта та сила Коріоліса.

Таким чином, характерними параметрами є V , , Pn та . Визначимо швидкість повітря через характерні параметри:

Vx y p z

n

та визначимо показники системи. Для цього представимо цю функціональну залежність у наступному вигляді:

LM 0T 1 T 1 x L 3M y L 2MT 2 z .

Прирівнюючи показники степені при рівних основах, шукані показники степені знаходимо з системи рівнянь:

1 3y 2z,0 y z,

1 x 2z,

яка дає x 1,

y 1,

z 1.

Тобто, ми отримуємо формулу для геострофічного вітру Vg 1 P .

n

Задача № 4.

Умова. Шуканою величиною є вага рідини Q (FT-1), що протікає через

водозлив в одиницю часу за умови сталого руху. Визначити визначальні параметри та сформувати з них безрозмірний комплекс, використовуючи–теорему.

Розв’язання задачі.

Серед характерних параметрів перш за все буде висота напору h . Основне значення при сталому русі мають властивості інерції та вагомості рідини, які характеризуються густиною, , та прискоренням сили тяжіння,

g , відповідно.

Будемо шукати розв’язання цієї задачі у системі LFT.

109

Оскільки характерними параметрами є Q , , g та h , то n 1 4 ,

k 3 , n 1 k 1, і це означає, що є лише один критерій подібності. Представимо його у вигляді комплексу

Q x g yhz

та визначимо показники системи, при яких він є безрозмірним. Для цього представимо розмірність комплексу у вигляді

FL 1 FT 2 L 4 x LT 2 y L z .

Шукані показники степені знаходимо з системи рівнянь

1 x 0;

1 2x 2 y 0;4x y z 0,

яка дає x 1, y 1.5, z 2.5. Відповідно з цим комплекс Q x g yhz можна представити у вигляді

QC ,

g1.5h2.5

чому відповідає рівняння витрати рідини

Q C g1.5h2.5 ,

отримане з точністю до безрозмірного коефіцієнта C . Цей коефіцієнт залежить від форми отвору водозливу і у кожному випадку може буди встановлений експериментальним шляхом.

5.1.4Контрольні питання до теми

1.Що Ви розумієте під еталоном?

2.Яка величина називається розмірною?

3.Яка величина називається безрозмірною?

4.Які одиниці називають основними?

5.Які одиниці називають похідними?

6.Які одиниці прийняті за основні в системі одиниць SI?

7.Що таке формула розмірності?

8.Дайте визначення величинам з незалежними розмірностями.

9.Чи залежить кількість величин з незалежними розмірностями від кількості основних, які використовуються в задачі?

10.Що Ви розумієте під визначальними параметрами процесу?

11.Сформулюйте –теорему.

110

12.Дайте визначення безрозмірному комплексу?

13.Дайте визначення симплексу? Коли вони використовуються?

14.Чим відрізняється безрозмірний комплекс від симплексу?

5.1.5Задачі для самостійного розв’язання

Визначити розмірності в класах LMT і LFT:

1.

сили, F

14.

дивергенції

вектору

2.

маси, m

N

швидкості, divV

3.

потужності,

15.

кількості руху

4.

енергії,

E

16.

1

p ,

де

–

густина, p –

5.

тиску,

p

x

6.

роботи, A

тиск;

7.

моменту сили, M

17.

динамічного

коефіцієнта

8.

градієнта температури

в’язкості,

2V

18.

кінематичного

коефіцієнта

9.

z2 ,

де

– динамічний

19.

в’язкості,

коефіцієнт

в’язкості,

напруження тертя,

V

V - швидкість;

20.

,

де

–

густина,

10.

x

градієнта тиску

11.

питомої теплоємності, c

21.

V - швидкість;

12.

питомої енергії, W

питомої ваги, ;

13.

густини,

22.

швидкості

дисипації

кінетичної енергії, ;

Встановити функціональні залежності між заданими величинами

1. Визначити число параметрів з незалежними розмірностями із

заданої сукупності визначальних параметрів:

X

–

горизонтальний

масштаб явища,

– густина середовища, t

-

час,

–

параметр

Коріоліса, p – тиск,

V – швидкість.

2. Визначити

число параметрів

з незалежними

розмірностями із

заданої сукупності визначальних параметрів: H – вертикальний масштаб явища, , t , , V – те ж саме, що у задачі (1), cp – питома теплоємність,

P – тепловий потік, g - параметр плавучості. Визначити число

параметрів з незалежними розмірностями виходячи з того, що первинними величинами є довжина, маса, час і робота.

3. Сила, що діє на частинку, яка рухається по колу з рівномірною швидкістю V , залежить від маси m , її швидкості V та радіусу кола r .

111

Знайти залежність між діючою силою і вказаними параметрами. Розмірності всіх фізичних величин надати в класі LFT.

4. Енергія частинки залежить від її маси m , прискорення вільного падіння g та відстані від поверхні землі h . Знайти залежність енергії від

визначальних параметрів. Як називається ця енергія? Розмірності всіх фізичних величин надати в класі LFT.

5. Питома енергія (W ) нестійкості частинки повітря в стійко стратифікованій атмосфері залежить від параметра плавучості g ,

вертикального градієнта потенціальної температури z і зсуву частинки відносно її положення рівноваги. Виразити цю енергію через вказані параметри.

6.Маємо пружний маятник, складений з невагомої пружини і підвішеного ящика, наповненого рідиною. Треба визначити період коливань. Характерними параметрами, разом з періодом коливань, вважати масу води в ящику, прискорення вільного падіння і жорсткість пружини. Вирішити задачу в системі LFT.

7.Шуканою величиною є вага рідини Q , що протікає

через водозлив за одиницю часу. Серед параметрів, що характеризують рух рідини, є натиск h , який дорівнює висоті рівня рідини над основою b (див. рис.), густина, прискорення вільного падіння. Вирішити задачу в системі LFT. При розв’язанні задачі необхідно виростати поняття симплексу.

8. Розглядається струменевий рух рідини крізь водозлив, який представляє собою вертикальну стінку з трикутним отвором, що розташований симетрично відносно вертикалі, причому кут отвору, , дорівнює 900 (див. рис.). Рідина витікає під

натиском h , який дорівнює висоті рівня рідини над верхівкою трикутника. Рух вважаємо сталим.

У цьому випадку вага рідини Q , що витікає крізь отвір водозливу за одиницю часу, може бути функцією тільки наступних параметрів , g , h . Знайти функціональну залежність Q від цих параметрів.

9.Знайти вираз для сталої швидкості вітру у вільній атмосфері в полі кругових ізобар та сили Коріоліса. Як записати цей вираз для великих радіусів кривизни?

10.Визначити залежність висоти граничного шару атмосфери від геострофічного вітру, параметру шорсткості та широти місця за умови байдужої стратифікації.

112