Geofizichna_gidrodinamika_statsionar

m d 2x k dx x F sin t ,			(**)
dt2	dt	0

Перший член в лівій частині рівняння (**) представляє силу

Даламбера, другий – силу опору, третій – силу пружності, та член у правій частині є збурювальною силою.

Розмірності всіх членів рівняння (**) однакові, а знак диференціала, як відомо з теорії, не впливає на розмірність. Отже, опустивши знаки диференціювання, отримаємо наступний запис членів для (**):

m tx2 ; k xt ; x ; F0 t ,

Для отримання критеріїв подібності поділимо всі члени на F0 , тоді матимемо наступні безрозмірні комплекси, або критерії подібності:

mx

idem ;

kx

idem;

x idem ;

t idem ,

F t2

1

2

tF0

3

F0

4

0

x

x

які, використовуючи вирази

та t

можна переписати у вигляді:

t

mx

mx2

m 2

;

2

kx

k ;

F t2

F t2x

1

F0x

tF0

F0

0

0

3

x idem ; 4

x

idem .

F0

Якщо в отримані критерії подібності замість змінних величин ввести

dx

та

x0

– відповідно швидкість та

відповідні початкові умови ( 0

dt 0

координата в початковий момент часу), то критерії подібності дадуть достатні умови подібності двох систем:

m 2

m 2

k

k

0н

м 0м

н 0н

;

м

0м

н

;

F x

F

x

F

F

0м 0м

0н 0н

0м

0н

мx0м

нx0н

;

м

x0м

н

x0н

,

F

F

0м

0н

0м

0н

123

але ж ці критерії подібності є необхідними умовами подібності, якщо під та x розуміти поточні значення координат та системи.

5.2.4Контрольні питання до теми

1.Що Ви розумієте під узагальненими координатами?

2.Що Ви розумієте під незалежними величинами?

3.Сформулюйте необхідні та достатні умови подібності.

4.Що називають масштабним множником або коефіцієнтом подібності?

5.Які системи називають подібними?

6.Сформулюйте умови кінематичної подібності?

7.Сформулюйте умови динамічної подібності?

8.Дайте визначення критерію подібності.

9.Яким чином можна отримати критерії подібності?

10.Як визначається кількість критеріїв подібності, необхідних для моделювання певного фізичного явища?

11.Представте алгоритм отримання критеріїв подібності, якщо задачу сформульовано математично.

5.2.5Задачі для самостійного розв’язання

Оцінки критеріїв подібності

1. Оцінити величину числа Рейнольдса для трьох видів атмосферних

рухів (припустимо, що кінематичний коефіцієнт в’язкості

1.3 10 5 м2/с):

a. бризові потоки	на узбережжі великого озера	(l1 1000 м,
1 1.5 м/с)
b. рух повітря в мусонній течії (l2 5 105 м, 2 10 м/с)		(l 107
c. рух повітря в	загальній циркуляції атмосфери		м,
		3

3 10 м/с).

2. Дані наступні швидкості вітру, які виміряні на різних висотах в

граничному шарі атмосфери.

Припустимо, що потенціальна температура зростає з

	z , м	, м/с	висотою з постійною швидкістю 6 К/м. Обчисліть
	300	9,3
			число Річардсона для кожного шару і вкажіть термічну
	100	8,0
			та динамічну стійкість кожного шару. Також вкажіть,
	50	7,4
			яка частина атмосфери є турбулентною за цих умов.
	20	6,0

124

3. Відомими величинами є масштабні множники подібності сил

k f 4	, лінійних	розмірів k 2 ,	густин	k 4 .	Знайти	коефіцієнти
подібності для потужностей.
4.	Відомими величинами є масштабні множники подібності лінійних
розмірів k 2 , густин k 5, сил			k f 5 . Знайти коефіцієнти подібності
для роботи та прискорень.				сили k f
5.	Виразіть	коефіцієнт подібності			через	коефіцієнт

подібності швидкості ku , мас km , лінійних розмірів k . Припустіть, що густина в обох системах є однаковою, яким тоді буде вираз для k f ?

6.Розглядаються дві динамічно подібні машини однакових розмірів. Отримайте вирази для коефіцієнта подібності сил та потужностей у цьому випадку.

7.Отримати співвідношення для відповідних швидкостей в двох подібних системах при врахуванні впливу на подібність сил в’язкості, за умови однакової рідині в обох системах.

8. Число Фруда для натурного судна Fr 0.5 , довжина судна Lн 105 м. Визначити масштабний множник k , якщо гранична швидкість

моделі в басейні Vм 2 м/с.
9. В	гідроканалі вивчається модель корабля,			що має довжину
Lн 100 м	і	швидкість Vн 10 м/с.	Визначити з	якою швидкістю
переміщається		в гідроканалі модель,	довжина якої	Lм 2 м. Задачу

вирішити виходячи з умови подібності сил тяжіння.

10.Знайти співвідношення між швидкостями і в’язкістю рідини при забезпеченні подібності по силам тяжіння і силам в’язкості. Модель у 2 рази менша за оригінал.

11.Для моделювання опору при посадці літака виготовлена його модель в 5 разів менше оригіналу. Визначити швидкість потоку в робочій частині аеродинамічної труби в припущенні, що лобовий опір обумовлений в основному тертям, а посадочна швидкість Vн 50 м/с.

12.Вивести співвідношення між відповідними швидкостями моделі і судна при забезпеченні подібності сил тяжіння.

13.Визначити, при якому коефіцієнті кінематичної в’язкості рідини може бути здійснено подібність сил в’язкості, якщо число Рейнольдса для

судна Re 2 108 , довжина натурного об’єкту

Lн 120 м, коефіцієнт

геометричної подібності дорівнює 20, а швидкість моделі Vм 80 м/с.

14. Обчислити швидкість руху моделі в м/с виходячи з умови подібності сил тяжіння, якщо швидкість руху судна 20 км/год, а геометрично подібна модель була виконана в 1/40 від розмірів судна.

125

15. Визначити швидкість моделі для забезпечення подібності сил тяжіння, якщо змочена поверхня судна SН 512 м2 , змочена поверхня

моделі Sм 16 м2 , а швидкість судна 21 км/год.

16.Знайти вираз для коефіцієнта часової подібності для механічно подібних систем при забезпеченні подібності сил тяжіння.

17.Швидкість моделі корабля, Vм, дорівнює 2 м/с. Визначити

швидкість корабля, якщо його модель в 50 разів менше. Задачу вирішити виходячи з умови подібності сил тяжіння.

18. Виходячи з подібності сил тяжіння, визначити масштаб моделі, якщо гранична швидкість моделі в досвідченому басейні Vм 2 м/с, а

довжина судна Lн 180 м. Число Фруда для натурного судна Fr 0.32 . 19. Визначити коефіцієнт часової подібності kt , якщо модель

виготовлена в 1/200 натуральної величини та рухається в 20 разів повільніше.

20. На якій відстані від борту судна відносна швидкість руху води Vн, дорівнюватиме 2.5 м/c , якщо при випробуванні моделі, виконаної в масштабі 1/50, крива зміни відносної швидкості залежно від відстані від борту моделі визначалася рівнянням Vм 10 y , де у в метрах, а V в м/с. Коефіцієнт часової подібності дорівнює 10.

Задачі на визначення критеріїв подібності

1.Отримати критерій подібності, враховуючи сили інерції і сили тяжкості і нехтуючи силами тертя і стисливістю.

2.Знайти критерій подібності, що виражає відношення сили барического градієнта до сили в’язкості (т.з. критерій Лагранжа) для

	2u			2			2w				1	p	0 .
наступного рівняння:		2			2			2
	x			y			z				x

3. Сталий рух ідеальної рідини у разі, коли впливом об’ємних сил

ваги можна нехтувати описується рівнянням u	u		u	w	u		1	p .
	z		z		z
							x

Знайти критерій подібності – число Ейлера. Подібність яких сил воно виражає?

4. Розглянемо диференціальне рівняння зігнутої поверхні тонкої жорсткої пластини в декартових координатах

	4	2	4		4	p x, y	12 1 2	,
	x4		2x 2 y		y4		Eh3

126

де – прогинання пластини p – інтенсивність навантаження 12 GE 1 –

коефіцієнт Пуассона або коефіцієнт поперечної деформації ( E – модуль подовжньої пружності, G –модуль зсуву), h - товщина пластини. Знайти які критерії подібності відповідають початковому рівнянню.

5. Отримайте критерій подібності (число Рейнольдса) руху твердого тіла у в’язкій рідині (силами тяжкості і стисливістю нехтуємо). Сила в’язкості, діюча на одиницю об’єму (вісь x розташована в напрямку руху

виділеного	об’єму), визначається виразом				2u	, де	– динамічний
					y2
коефіцієнт	в’язкості,	а	інерційні	сили		при	сталому	русі
визначатимуться u du .
	dx

6.Привести рівняння Ейлера в проекції на вісь z до безрозмірних змінних.

7.Вивести рівняння перенесення вихору для випадку змінного коефіцієнта в’язкості . Привести рівняння до безрозмірних змінних,

враховуючи, що Re VL , а б .

127

6 ОРГАНІЗАЦІЯ КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ СТУДЕНТІВ

Контроль знань та вмінь студентів складається з заходів поточного та підсумкового контролю. Поточний контроль відбувається протягом всього семестру під час проведення практичних занять та містить заходи контролю самостійної роботи студента поза межами аудиторних занять. Він має за мету перевірку рівня підготовленості студента до виконання контрольної роботи.

Поточний контроль полягає у виконанні модульних контрольних робіт з теоретичної та практичної частин курсу і усного опитування з розв’язанням типових задач біля дошки під час практичних занять.

Підсумковий контроль здійснюється на основі результатів поточного контролю і полягає в оцінці засвоєння студентом навчального матеріалу. Він має за мету встановлення рівня знань та вмінь, які набув студент після вивчення навчальної дисципліни. Форма підсумкового контролю – іспит.

Поточний та підсумковий контроль знань та вмінь студента з дисципліни «Геофізична гідродинаміка з основами математичного моделювання» здійснюється за модульно–рейтинговою системою.

Дисципліну розбито на три змістовні модулі, які включають: Змістовний модуль № 1: розділи «Загальні положення», «Кінематика

об’єктів геофізичної гідродинаміки».

Змістовний модуль № 2: розділи «Динаміка об’єктів геофізичної гідродинаміки», «Термодинаміка об’єктів геофізичної гідродинаміки».

Змістовний модуль № 3: «Методи математичного моделювання». Максимальна сума балів за кожний модуль та перелік контролюючих

заходів визначаються діючою робочою програмою дисципліни.

Оцінка іспиту виставляється за результатами поточного контролю – всі студенти, які набрали не менше за 60% від максимально можливої загальної суми балів та виконали всі завдання з практичної частини курсу, отримують оцінку іспиту відповідно до такої шкали:

Інтегральна сума балів складає	Оцінка з іспиту
60 % від максимально можливої суми	незадовільно
60–74.9 % від максимально можливої суми	задовільно
75–89.9 % від максимально можливої суми	добре
90 % від максимально можливої суми	відмінно

128

Додаток А

Таблиця А.1 – Міжнародна система одиниць (СІ)

Величина та її позначення	Визначальне	Одиниці вимірювання,
	рівняння	їх позначення
Довжина l	основна	метр, м
	одиниця
Час t	основна	секунда, с
	одиниця
Маса m	основна	кілограм, кг
	одиниця
Сила струму I	основна	ампер, А
	одиниця
Сила світла j	основна	свіча, св
	одиниця
Температура T	основна	градус Кельвіна, К
	одиниця
Швидкість	dl dt	м/с
Прискорення a	a d dt	м/с2
Площа s	s l2	м2
Сила F	F ma	ньютон, Н
Робота A	A Fl	джоуль, Дж
Потужність N	N A t	Ватт, Вт
Момент сили M	M Fl	ньютон–метр
Момент інерції I	I ml2	кг·м2
Тиск p	p F s	Паскаль, Па
Об’єм V	V l3	м3
Динамічна в’язкість	Fl s	Н·с/м2
Густина	m V	кг/м3
Кінематична в’язкість		м2/с
Кількість теплоти Q	Q A	Дж
Питома теплоємкість c	c Q mT	Дж/кг·К
Коефіцієнт тепловіддачі	Q tsT	Дж/с·м2·К

129

Таблиця А.2 – Критерії подібності

Критерій подібності

Його фізичний сенс

число Рейнольдса

характеризує співвідношення між силами інерції та

Re

VL

силами тертя у потоці рідини та є критерієм

переходу від ламінарної течії до турбулентної.

число Фруда

характеризує співвідношення між силами інерції та

Fr

V

силами тяжіння и найбільш часто застосовується

під час вивчення обтікання різних тіл рідиною

gL

число Струхаля

використовується для характеристики

несталого

St

L

руху рідини, періодичних рухів тощо

VT

число Ейлера

є відношенням зміни статичного тиску до

Eu

dp

динамічного

V 2

число Річардсона

характеризує

співвідношення

між

силами

Ri

g

z

плавучості та силами інерції

z 2

V

число Маха

цей симплекс можна розглядати як критерій

Ma

V

подібності

руху

рідини зі швидкостями, що

спільномірні зі швидкістю світла

Vзв

2

набирає істотного

значення, якщо

враховується

ступінь турбулентності потоку

V

2

число Тейлора

характеризує

як

і

число

Рейнольдса,

2

співвідношення між силами інерції і в’язкості,

Ta 2 L

використовується, як критерій подібності у рідині,

що обертається

число Россбі

є похідною числа Струхаля (в метеорології

Ro

Re

V

використовується саме число Росбі)

Ta

2 L

число Прандтля

характеризує фізичні властивості рідини

Pr

k

число Релея

використовується

при

вивченні

природної

Ra Gr Pr

gL3 T

конвекції

k

130