Geofizichna_gidrodinamika_statsionar

9. Чому дорівнює скалярний добуток двох перпендикулярних векторів?

10.Чому дорівнюють скалярні добутки однойменних ортів?

різнойменних ортів?
11.Дайте визначення для векторного добутку двох векторів.
12.Чи	буде однаковий результат для векторного добутку	A B та
B A ?

13.Перелічить властивості векторного добутку.

14.Чому дорівнюють векторні добутки однойменних ортів? різнойменних ортів?

2.1.9Задачі для самостійного розв’язання

1. Напрямок вектора А співпадає з додатним напрямком осі ОХ,

напрямок вектора В – з додатним напрямком осі ОУ, а їх модулі дорівнюють відповідно 4 і 6. Знайти напрямок і модуль векторної суми векторів, побудувати графік.

2. Абсолютна величина вектора В дорівнює 8, а його напрямок складає кут 300 з додатним напрямком осі ОХ (кут відраховується від ОХ

проти годинникової стрілки). Знайти проекції вектора В на осі ОХ і ОУ, побудувати графік.

3. Вектор А довжиною 10 одиниць напрямлений вздовж осі ОХ, а вектор В довжиною 2 – вздовж осі ОУ. Після множення вектора А на скаляр мінус 0.3 отримано новий вектор С. Сума векторів В і С позначена як вектор D . Показати на графіку напрям вектора D та

	обчислити його модуль.
	4. Вектор А отримано шляхом множення вектора С на скаляр a 2 .
	Модулі векторів	С	і	В	дорівнюють відповідно 2 і 3, а кут між ними
	складає 600. Знайти скалярний добуток векторів А і В.
	5. Знайти модуль вектора F , якщо відомо, що скалярний добуток його
	на вектор D , що має довжину 6, дорівнює 84, а кут між векторами F і D
	складає 450.
	6. Проекції	вектора				на осі декартової прямокутної	системи
					А
	координат ОХ, ОУ, ОZ дорівнюють 3, мінус 2, 1000, а проекції вектора
	В – мінус 4, мінус 8		і нуль. Знайти скалярний добуток векторів А і				В.
	7. Напрямок	вектора				співпадає з додатним напрямком	осі Ох,
					А
	напрямок вектора		В	–	з додатним напрямком осі ОУ, а їх		модулі

дорівнюють відповідно 0.5 та 6. Розглядається права декартова прямокутна

система координат. Знайти векторний добуток векторів А і В (модуль і напрямок).

23

	дорівнює векторному добутку векторів
8. Вектор D		Е і	F , напрямки
яких відомі, а їх	величини дорівнюють відповідно 6 та 8 одиниць. Знайти
модуль вектора D і показати його напрямок на графіку,		якщо кут між Е і
F , відрахований проти годинникової стрілки, дорівнює 300.

9.Чому дорівнює сума A B 2 A B 2 ?

10.Якій умові повинні задовольняти два вектора А і В для того, щоб вектори A B і A B були взаємно ортогональні?

2.2 Зв'язок між індивідуальною та локальною похідними

Розглянемо задачу, яка полягає у визначенні зміни у часі будь-якої скалярної або векторної величини (наприклад, густини, температури, тиску, швидкості, деформації тощо).

При такій постановці питання одразу виникає дилема, що повністю відповідає обом методам представлення – Ейлера та Лагранжа1. Можна питати про те, як змінюється величина, наприклад, швидкість, у певній точці заповненого рідиною простору (метод Ейлера), або про те, як змінюється швидкість деякої частинки, що рухається у просторі (метод Лагранжа). У першому випадку (при фіксованій у просторі точці) кажуть про локальну похідну, у другому випадку (при фіксованій частинці рідини) – про індивідуальну похідну. Якщо за змінну величину, що залежить від часу (а в загальному випадку і від місця), взяти, наприклад, температуру T , то в ейлеревому представленні для локальної похідної

отримаємо		T		2	або просто	T	, оскільки це і є звичайна частинна
		t				t
			е

похідна.		T
Індивідуальну похідну				в ейлеревому способі представлення
		t
				л

будемо позначати на відміну від локальної похідної через dTdt .

1Нагадаємо, що існує два методи для вивчення руху рідини. В одному з них розглядається, що відбувається з окремими частинками рідини з плином часу, які траєкторії вони описують, які швидкості та прискорення мають, тощо (метод Лагранжа). Інший метод (метод Ейлера) має за мету дати відповідь на запитання, що відбувається в певних точках простору, заповненого рідиною, наприклад, які швидкості спостерігаються в окремих точках.

2Індекс «е» означає, що ця похідна описує зміну температури з часом за методом Ейлера, тобто у фіксованій точці, так саме для лагранжевого представлення зміни температури з часом користуватимемося індексом «л».

24

Покажемо, що індивідуальну похідну можна розкласти на дві частини. Для цього з’ясуємо, чим обумовлені зміни у часі розглядаємої величини (у нашому випадку температури), що відноситься до фіксованої частинки рідини.

Хай у певний момент часу t t1 частинка, що розглядається,

знаходиться у фіксованій точці 1. Уявимо тепер, що розподіл температури у просторі якимось чином змінюється з часом; тоді у кожному фіксованому місці можна встановити зміну температури. Для частинки рідини, що є нерухомою, лише це і буде визначати зміну температури в ній. Але, якщо частинка рідини рухається, то у загальному випадку зміна температури в ній обумовлена також зміною місця. Цю зміну температури частинки рідини, що обумовлена рухом, називають також зміною температури внаслідок конвекції.

Таким чином, повна зміна температури фіксованої частинки рідини складається з локальної зміни та конвективної зміни, та, отже, індивідуальна похідна дорівнює локальній похідній плюс конвективна похідна.

Конвективна зміна температури залежить:

1.від напрямку руху та величини швидкості частинки, отже від вектора швидкості V , та

2.від розподілу температури, чи то градієнта температури. Розглянемо сім’ю кривих T const , (рис. 3.1)

Рисунок 2.8 – Рух частинки у температурному полі.

25

Припустимо, що частинка рідини за елемент часу dt перемістилась з точки 1 в точку 2; температура при цьому змінилась на значення, що

дорівнює проекції вектора Vdt на напрямок градієнта, що приходить через точку 1, помножений на значення градієнта T , тобто дорівнює скалярному

добутку Vdt та grad T . Таким чином, для конвективної зміни в одиницю

часу, тобто для конвективної похідної, отримаємо вираз

V grad T

Отже, індивідуальна похідна температури дорівнює:

dT		T		grad T .	(2.10)
dt		t	V

Якщо замість температури взяти довільну скалярну величину f то індивідуальну похідну за часом можна записати:

df		f		grad f .	(2.11)
dt		t	V

Скористувавшись визначенням скалярного добутку та градієнта скалярної величини, отримаємо вираз для індивідуальної похідної

величини f через проекції швидкості V

та

grad f

;

f

;

:

u,v, w

f

f

x

y

z

df

df

u

f

v

f

w

f

,

(2.12)

dt

dt

x

y

z

яку можна записати також у вигляді:

	df df		V f	cos w f	,		(2.13)
	dt	dt	s n	z
де f	– модуль горизонтального			градієнта	функції	f , V	– модуль
n						s
			швидкості,
горизонтальної складової		f			– кут	між	напрямком
горизонтального градієнта			та горизонтальної складової швидкості.

26

Якщо вираз для індивідуальної похідної переписати для векторної величини, наприклад, швидкості, то він матиме вигляд:

dV		V			(2.14)
dt		t	V	grad V .

Щоб представити цей вираз у координатах:

V

V

grad V

V

V

ui

vj

wk

V i

j

V k

x

y

z

u Vx v Vy w Vz

u ux i v uy j w uz k u vx i v yv j

w vz k u wx i v wy j w wz k

Отже,

u	u	u	v	u	w u				буде компонентою X ,
t		x		y			z
v	u	v	v	v	w		v	буде компонентою Y ,
t		x		y			z
w	u	w v w				w w			буде компонентою Z .
t		x		y			z

2.2.1 Рекомендації по вивченню теми

Під час вивчення теми студент повинен опанувати такі поняття. Як

індивідуальна, локальна та конвективна похідні, а аткож вміти оцінювати їх чисельні значення при розв’язанні практичних задач. Також студент повинен мати чітке уявлення про зв’язок між індивідуальною та локальною похідними та межі їх застосування. Для цього особливу увагу

27

слід звернути на фізичний зміст локальної та індивідуальної похідних та їх зв’язок з методами опису руху рідини: методами Ейлера та Лагранжа.

Рекомендована література по вивченню теми: [3] – том I, стор. 18–19, [11] – стор. 23–29.

2.2.2 Приклади розв’язання типових задач

Задача № 1.

Умова. Обчислити зміну температури повітря за 3 години, яке буде зареєстроване приладами на вільному врівноваженому аеростаті, що зсувається на північний схід зі швидкістю 11 м/с, якщо горизонтальний градієнт температури чисельно дорівнює 20С на 100 км та спрямований на південь, а підвищення температури за останні 3 години за даними станційних спостережень складає 0.50С.

Пояснення до задачі. Вільний аеростат – це аеростат, яким не керують, і він рухається разом з повітряним потоком, тобто зі швидкістю повітря, а це означає, що прилади у такому аеростаті показуватимуть зміну фізичних величин з часом у об’ємі повітря, що рухається. За умовами задачі аеростат є врівноваженим, це означає, що він рухається суто у горизонтальній площині, тобто вертикальна компонента швидкості w

відсутня.

Умову задачі скорочено можна записати наступним чином:

T 0.50 C 3год

t

Vs 11мс

T 20 C 100км

n

1350

dTdt ?

28

Розв’язання задачі.

Для знаходження зміни температури скористуємось формулою (2.13) у наступному вигляді:

dTdt dTdt Vs Tn cos .

Підставляючи значення всіх величин у цей вираз, треба привести всі

одиниці вимірювання до системи SI, тобто

T	0		0.50 C		5 0
t	0.5	C 3год		4.6 10		C c
			10800c

T 20 C 100км 2 10 5 0 C м

n

cos cos1350 0.707

dTdt 4.6 10 5 0 Cc 11мc 2 10 5 0 Cм 0.707

10.954 10 5 0 Cc 10800c3год 1.2 0 C3год

Відповідь: приладами на аеростаті за 3 години буде зареєстроване зменшення температури на 1.20С.

Задача № 2.

Умова. Частинка піднімається вертикально угору зі швидкістю 2 см/с. Обчислити зміну її температури за 3 години, якщо градієнт температури спрямований вертикально вниз, а його модуль дорівнює 0.60С/100м, а у фіксованій точці простору температура зменшилась на 0.50С за 1 годину.

Пояснення до задачі. Оскільки за умовою задачі частинка піднімається вертикально угору, то для неї горизонтальна складова швидкості відсутня.

Умову задачі скорочено можна записати наступним чином:

29

T 0.50 C г

t

w 2cмс

T 0.60 C 100м

z

dTdt ?

Розв’язання задачі.

Для знаходження зміни температури скористуємось формулою (2.13) у наступному вигляді:

dTdt dTdt w Tz .

Підставляючи значення всіх величин у цей вираз, треба привести всі одиниці вимірювання до системи SI, тобто

T 0.50 C год			0.50C	13.9 10 5 0 C c
t			3600c
	T 0.60 C 100м 6 10 3 0 C м
	z
	w 2cм с 2 10 2 м с
dT	13.9 10 5	0 C c 2 10 2			м c 6 10 3	0 C м
dt		0 C c 10800c
	25.9 10 5				2.8 0 C 3год
			3год
Відповідь: температура		рідкої частики за 3				години зменшиться

на 2.80С.

30

2.2.3 Контрольні запитання до теми

1.У чому полягає суть методу Ейлера? методу Лагранжа?

2.Фізичний сенс локальної похідної.

3.Фізичний сенс індивідуальної похідної.

4.Фізичний сенс конвективної похідної.

5.Чим будуть обумовлені зміни величини f у частинці, що рухається, якщо локальна похідна ft дорівнює нулю?

6.Який зв’язок між методом Лагранжа та індивідуальною похідною? між методом Ейлера та локальною похідною?

7.Чому дорівнюватиме індивідуальна похідна в нерухомій частинці?

2.2.4 Задачі для самостійного розв’язання

1. На скільки зміниться за 1 годину температура рідкої частинки, що пересувається в горизонтальній площині на північний схід зі швидкістю 12 м/с, якщо в цьому ж районі температура в нерухомій точці збільшилась за 1 годину на 0,3 К, а горизонтальний градієнт температури, що дорівнює 30С/100 км, спрямований на південь?

2. Обчислити зміну температури за 8 г, яку зареєструє прилад, встановлений на нерухомому буї поблизу поверхні моря, якщо за даними вимірювань на вільно плаваючому буї температура за цей час не змінилася, швидкість течії спрямована на північний схід і дорівнює 4 см/с, а горизонтальний градієнт температури поверхні води дорівнює 30С/100 км і спрямований на південь.

3. Рідка частинка рухається в горизонтальній площині на північ зі

швидкістю V . В цьому ж районі температура в нерухомій точці знижується кожну хвилину на 0,004 К. Горизонтальний градієнт температури Т спрямований на схід. На скільки зміниться температура в частинці, що рухається, за 4 години?

4.Визначити швидкість руху врівноваженої рідкої частинки, якщо її

температура в процесі руху не змінюється, а у фіксованій точці при цьому спостерігається зниження температури, яке дорівнює 0,20С/год. Відомо, що

модуль вектора горизонтального градієнта температури дорівнює 0,020С/км і його напрямок складає кут 600 з напрямком руху частинки.

5.Рідка частинка підіймається вертикально вгору зі швидкістю 3 см/с.

Обчислити зміну її температури за 2 години, якщо градієнт температури спрямований вертикально вниз і його модуль дорівнює 0,50С/100 м, а у фіксованій точці простору за вказаний час температура зросла на 20С.

31

6.Обчислити зміну температури за 2 години в рідкій частинці, що рухається на схід, зі швидкістю 4 м/с, якщо ізотерми (лінії рівних значень температури) було проведено з півдня на північ через 2 К паралельно меридіану і відстоять одна від одної на 100 км, а локальна зміна температури не спостерігається. Рух відбувається в горизонтальній площині.

7.Обчислити швидкість рідкої частинки, яка рухається в горизонтальній площині на схід, якщо її температура з часом не змінюється, а у фіксованій точці температура знижується на 0,32 К за

годину. Горизонтальний градієнт температури спрямований на схід і дорівнює по модулю 10-5 К/м.

8.Обчислити складові швидкості рідкої частинки, що рухається в горизонтальній площині на північний схід, якщо її температура з часом не змінюється, а у фіксованій точці температура знижується на 0,26 К за годину. Горизонтальний градієнт температури спрямований за вектором швидкості і його модуль дорівнює 2 К/100 км. Врахувати, що в стандартній системі координат під час руху на північний схід складові швидкості однакові.

9.Рідка частинка рухається в горизонтальній площині на південь і зміна її температури на 30С за годину перевищує відповідну зміну температури за годину в нерухомій точці. Горизонтальний градієнт температури спрямований на південь і його модуль дорівнює 0,4 К/10 км. Обчислити швидкість руху частинки.

10.Розрахуйте зміну температури за 2 години в рідкій частинці, що рухається, якщо вона зміщується в горизонтальній площині на схід із швидкістю 6 м/с, а у фіксованій точці площини за цей час температура знизилася на 0,62 К. Горизонтальний градієнт температури спрямований на схід, його величина дорівнює 0,5 К/100 км.

2.3 Лінії течії та траєкторії

Під час вивчення полів швидкості використовують поняття траєкторії та лінії течії. Траєкторія частинки рідини дозволяє відтворити картину її руху з плином часу. Якщо ж необхідно отримати просторову картину руху набору частинок рідини в фіксований момент часу, то потрібно скористатися поняттям лінії течії.

Траєкторією називається лінія, за якою рухалась рідка частинка в деякий проміжок часу. Рівняння траєкторії має вигляд:

dx	=Vx (x, y, z,t)	dy	=Vy (x, y, z,t)
dt		dt

dzdt =Vz (x, y, z,t) . (2.15)

32