Geofizichna_gidrodinamika_statsionar
.pdfЛінією течії називається лінія, в кожній точці якої в даний момент часу вектор швидкості спрямований за дотичною. Рівняння лінії течії можна записати так:
|
dx |
= |
dy |
= |
dz |
|
|
|
|
|
. |
(2.16) |
|||
|
Vx (x, y, z,t) |
Vy (x, y, z,t) |
Vz (x, y, z,t) |
||||
Через кожну точку простору проходить тільки одна лінія течії. Виключення складають особливі точки, через які можуть пройти декілька або незліченна множина ліній течії.
В системі (2.16) час t відіграє роль параметра, який зберігає незмінне значення при інтегруванні рівнянь, а в системі (2.15) час є аргументом. У випадку стаціонарного поля швидкостей, коли Vx , Vy , Vz не залежать від
часу, системи рівнянь (2.15) і (2.16) будуть однаковими. Отже, для стаціонарного руху лінії течії та траєкторії співпадають. У разі нестаціонарного поля швидкостей лінії течії і траєкторії будуть представляти різні криві.
2.3.1 Рекомендації по вивченню теми
Поняття «лінії течії» та «траєкторії» є дуже важливими при вивченні багатьох прикладних гідрометеорологічних дисциплін, оскільки дозволяють проводити детальний аналіз векторних полів швидкості, однієї з основних гідрометеорологічних характеристик.
По закінченні вивчення теми «Лінії течії та траєкторії» студент повинен знати: властивості лінії течії та траєкторії, їх математичний запис та графічне відображення, відмінність ліній течій та траєкторій при стаціонарному та нестаціонарному рухах;
також студент повинен вміти: визначати математичний або графічний вигляд лінії течії або траєкторії за заданим полем швидкості.
Для отримання більш детальної інформації з даної теми рекомендується використати наступну літературу: [3] – том I, стор. 19–21, [4] – стор. 26–30, [11] – стор. 29–31
2.3.2 Приклади розв’язання типових задач
Задача № 1.
Умова. Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля швидкості з проекціями на координатні осі
Vx = t |
Vy = 2 |
Vz = 0 . |
33
Знайти рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1 та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу.
Розв’язання задачі.
Диференціальне рівняння лінії течії у випадку плоского руху:
dx = dy Vx Vy
або за умовою задачі
dxt = dy2 .
Проінтегруємо, враховуючи, що t – параметр для ліній течії
2ò dx = tò dy .
Отримуємо рівняння сімейства ліній течії:
2x = ty + C ,
де C - константа інтегрування. Визначивши її за координатами точки A та значенням часу t , знаходимо рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1:
2x =y +1
або
y = 2x -1.
Отримаємо рівняння сімейства траєкторій. Диференціальне рівняння траєкторій у випадку плоского руху має вигляд:
ì |
|
|
ï dx |
|
|
ï |
|
= dt |
ï |
|
|
ïV |
x |
|
ï |
|
|
í |
|
|
ï dy |
|
|
ï |
|
= dt |
ï |
|
|
ïVy |
|
|
ï |
|
|
î |
|
|
34
або за умовою задачі
ì |
|
|
ï dx |
|
|
ï |
|
= dt |
ï |
t |
|
ï |
|
|
í |
|
|
ï |
|
|
ïdy |
= dt. |
|
ï |
2 |
|
îï |
|
|
Після розділення змінних маємо:
ìï dx = tdt
í
ïdy = 2dt.
ïî
В результаті інтегрування отримуємо рівняння сімейства траєкторій:
ì |
2 |
|
ï |
|
|
ï x = t + C |
||
ï |
|
1 |
í |
2 |
|
ï |
|
|
îïïy = |
2t + C2. |
|
Довільні сталі C1 і C2 визначаються за координатами точки A та
значенням часу t . В результаті знаходимо рівняння однієї траєкторії, що знаходиться в точці A з координатами x =1, y =1 в момент часу t =1 c :
ì |
|
2 |
|
ï |
|
|
+ 1 |
ïïx = t |
|
||
í |
2 |
2 |
|
ï |
|||
ïïî y = 2t -1.
Задача № 2.
Умова. Знайти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій, а також лінію течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з
координатами x =1, y =1 та траєкторію частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу, якщо поле швидкості задано:
Vx = t |
Vy = x |
Vz = 0 . |
Розв’язання задачі.
За умовою задачі, диференціальне рівняння лінії течії має вигляд: dxt = dyx .
35
Проінтегруємо, враховуючи, що t – параметр для ліній течії
ò xdx = tò dy .
Отримуємо рівняння сімейства ліній течії:
x 2 |
= ty + C . |
|
2 |
||
|
Константу інтегрування C визначаємо за координатами точки A та значенням часу t , і знаходимо рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1:
2
2x =y - 12
або
2
y = 2x + 12 .
Отримаємо рівняння сімейства траєкторій. Диференціальне рівняння траєкторій за умовою задачі має вигляд:
ì |
|
ï dx |
|
ï |
= dt |
ïï t |
|
í |
|
ï |
|
ïdy |
= dt. |
ï |
|
îï x |
|
Після розділення змінних маємо:
ìï dx = tdt
í
ïdy = xdt.
ïî
Оскільки в другому рівнянні системи x є функцією від часу x = x(t) ,
спочатку треба визначити цю залежність. З першого рівняння системи в результаті інтегрування маємо:
x = t2 + C1 . 2
36
Одне із значень, що може набувати константа інтегрування C1 для заданого поля швидкості, можна визначити за координатами точки A та
значенням часу t =1 c . Для цього випадку C1 = 12 , отже з другого рівняння системи маємо:
ò dy = ò t2 2+1dt
або
1 |
æ |
|
3 |
ö |
|
|
çt |
|
÷ |
|
|||
y = 2 |
ç |
|
|
÷ |
+ C2. |
|
3 |
||||||
ç |
+ t÷ |
|||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
Рівняння сімейства траєкторій остаточно отримуємо у вигляді:
ìï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ïy =
ï
ï
ï
ïî
x = t2 + C1
2
1 |
æ |
|
3 |
ö |
|
|
çt |
|
÷ |
|
|||
|
ç |
|
|
÷ |
+ C2. |
|
2 |
3 |
|||||
ç |
+ t÷ |
|||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
Рівняння однієї траєкторії, що знаходиться в точці A з координатами x =1, y =1 в момент часу t =1 c знаходимо, визначивши довільні сталі C1
і C2 за координатами точки A та значенням часу t :
ì |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
ï |
x = |
|
|
|
+ |
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
æ |
|
|
3 |
|
|
ö |
|
|
|
|
ï |
1 |
t |
|
|
|
1 |
|
|||||
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
+ t |
÷ |
+ |
|
. |
||
ïy = |
2 |
ç |
|
3 |
|
÷ |
3 |
|||||
ï |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
||||
ï |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
îï |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 3.
Умова. Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля швидкості з проекціями на координатні осі
Vx = x3 |
Vy = y3 |
Vz = 0 . |
37
Знайти рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1 та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу.
Розв’язання задачі.
Диференціальне рівняння лінії течії у випадку плоского руху:
dx = dy Vx Vy
або за умовою задачі
dx |
= dy . |
x3 |
y3 |
Після розділення змінних маємо:
ò x-3dx = ò y-3dy .
Проінтегрувавши, отримуємо рівняння сімейства ліній течії:
- 21x2 = - 21y2 + C ,
де C - константа інтегрування. Визначивши її за координатами точки A та значенням часу t , знаходимо рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1:
11
-2x2 = - 2 y2
або
y = x .
Отримаємо рівняння сімейства траєкторій. Диференціальне рівняння траєкторій у випадку плоского руху має вигляд:
38
ìï dx
ï
ïV ïï x
ï
í dy
ï
ï
ïïîVy
або за умовою задачі
ìï dx
ï
ï 3 ïï x
í dy
ï
ï
ï 3 ïïî y
В результаті інтегрування отримуємо рівняння сімейства траекторій:
ì |
|
|
1 |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
- |
|
|
|
= t + C |
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
2 |
1 |
|
ï |
|
|
2x |
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
1 |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
= t + C . |
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
2 y2 |
2 |
|||
ï |
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
Довільні сталі C1 і C2 визначаються за координатами точки A та
значенням часу t . В результаті знаходимо рівняння однієї траєкторії, що знаходиться в точці A з координатами x =1, y =1 в момент часу t =1 c :
ì |
|
1 |
|
|
|
3 |
ï |
|
|
|
|
||
ï- |
|
|
|
|
= t - |
|
|
|
|
||||
ï |
|
|
2 |
|
|
2 |
ï |
|
2x |
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
í |
|
1 |
|
|
|
3 |
ï |
|
|
|
|
||
ï- |
|
|
|
|
= t - |
|
|
|
|
|
|
||
ï |
|
|
2 |
|
|
|
ï |
|
2 y |
|
|
2 |
|
ï |
|
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|
або
- |
1 |
= - |
1 |
, |
|
2x2 |
2 y2 |
||||
|
|
|
чи
y = x .
39
Отже, для стаціонарного руху, коли координати поля швидкості не залежать від часу, лінії течії та траєкторії співпадають.
2.3.3Контрольні запитання до теми
1.Дайте визначення лінії течії рідкої частинки.
2.Що називається траєкторією рідкої частинки?
3.В чому полягає відмінність ліній течії від траєкторій рідкої частинки?
4.В якому випадку лінії течії співпадають з траєкторіями рідкої частинки?
5.Чи будуть співпадати траєкторії та лінії течії рідкої частинки для поля швидкості, компоненти якого залежать від часу?
2.3.4Задачі для самостійного розв’язання
1.Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля
швидкості з проекціями на координатні осі Vx = ax3, Vy = at, Vz = 0 , де
a – відмінна від нуля стала. Знайти рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1
та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу.
2.Знайти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій, а також лінію
течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1 та траєкторію частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу, якщо поле швидкості задано: Vx = by, Vy = t, Vz = 0 , де b
–відмінна від нуля стала.
3.Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля
швидкості з проекціями на координатні осі Vx = ax2, Vy = by2, Vz = 0 ,
де a i b – відміннi від нуля сталi. Знайти рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1
та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу. 4. Знайти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій, а також лінію
течії, що проходить в момент часу t = 2 c через точку A з координатами x =1, y =1 та траєкторію частинки, що знаходиться в цій точці в даний
момент часу, якщо поле швидкості задано: Vx = -4x, |
Vy = t, |
Vz = 0 . |
11.Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля |
||
швидкості з проекціями на координатні осі Vx = ay, |
Vy = 2x, |
Vz = 0 , де |
a – відмінна від нуля стала. Знайти рівняння однієї лінії течії, що
40
проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x = 2 , y =1 та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент
часу.
6. Знайти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій, а також лінію течії, що проходить в момент часу t = 3 c через точку A з координатами
x = 2 , y = 3 та траєкторію частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу, якщо поле швидкості задано: Vx = by, Vy = 3, Vz = 0, де b
–відмінна від нуля стала.
7.Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля
швидкості з проекціями на координатні осі Vx = tx, Vy = ay, Vz = 0 , де
a – відмінна від нуля стала. Знайти рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1
та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу. 8. Знайти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій, а також лінію
течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x = 2 , y = 3 та траєкторію частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу, якщо поле швидкості задано: Vx = 4y, Vy = 3t, Vz = 0 .
9.Скласти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій для поля
швидкості з проекціями на координатні осі Vx = -ax3, Vy = a, Vz = 0 , де
a – відмінна від нуля стала. Знайти рівняння однієї лінії течії, що проходить в момент часу t =1 c через точку A з координатами x =1, y =1
та траєкторії частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу. 10.Знайти рівняння сімейства ліній течії та траєкторій, а також лінію
течії, що проходить в момент часу t = 3 c через точку A з координатами x =1, y = 2 та траєкторію частинки, що знаходиться в цій точці в даний момент часу, якщо поле швидкості задано: Vx = 4, Vy = 3t, Vz = 0 .
2.4 Плоский, соленоідальний та потенціальний рух рідини
Плоским називається рух, під час якого усі частинки рідини, що лежать на одному й тому ж перпендикулярі до деякої нерухомої площини, рухаються однаково. В цьому випадку
Vx =Vx (x, y,t), Vy =Vy (x, y,t), wx = wy = 0, wz = Const , (2.17)
де wx, wy , wz – компоненти вектора кутової швидкості обертання w , що є основною характеристикою обертального руху та однозначно виражається через вектор вихору швидкості W :
41
|
1 |
|
|
1 |
|
w = |
2 rotV |
= |
2 W , |
(2.18) |
|
отже
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
æ |
¶V |
|
|
|
ö |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ç |
z |
|
|
¶Vy ÷ |
|
|||||||
wx = |
|
Wx = |
|
|
|
- |
|
|
|
÷ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
÷, |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
ç |
|
¶y |
|
÷ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
¶z ø |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 æ¶V |
x |
|
|
¶V ö |
|
||||||
w |
|
= |
|
W |
|
= |
|
ç |
|
|
- |
|
z ÷ |
(2.19) |
||||
y |
|
y |
|
|
|
|
÷, |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2è ¶z |
|
|
¶x ø |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
æ |
¶Vy |
|
ö |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
¶Vx ÷ |
|
||||||||
wz = |
|
Wz = |
|
|
|
|
|
- |
|
|
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
÷. |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
ç |
|
¶x |
|
÷ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
¶y ø |
|
|||||||
Компонента вектора вихору швидкості Wz у випадку плоского руху є
постійною та називається завихреністю.
Соленоідальним називається плоский рух з нульовою дивергенцією. Векторні лінії соленоідального поля замкнені. Умова соленоідальності руху, або рівняння неперервності для випадку стаціонарного плоского руху нестисливої рідини:
|
¶V |
x |
|
¶Vy |
|
|
divV = |
|
+ |
|
= 0. |
(2.20) |
|
|
|
¶y |
||||
|
¶x |
|
|
|||
Це означає, що площина рідкої частинки під час руху не змінюється.
Для соленоідального руху існує поняття функції течії Y , яка пов’язана з вектором швидкості
V = -gradY. |
(2.21) |
Таким чином замість двох змінних Vx |
та Vy введено одну скалярну |
двовимірну функцію Y , що дозволяє описати структуру поля швидкості. За заданим полем швидкості можна знайти функцію течії,
використовуючи вираз для повного диференціалу: |
|
||||
æ |
¶Y |
|
¶Y |
ö |
|
ç |
dx + |
÷ |
(2.22) |
||
Y = ò ç |
|
|
dy÷. |
||
ç |
¶x |
|
¶y |
÷ |
|
è |
|
ø |
|
||
В результаті функцію течії буде визначено з точністю до адитивної константи інтегрування C .
42