4.1.5. Завдання 3

У цеху наявний один пристрій, яким за потреби користуються усі ланки. Продуктивність пристрою досить велика і може задовольнити обслуговування всіх ланок, але через випадковий характер виникнення потреб, у деякі моменти пристрій зайнятий і накопичується черга. Інтенсивність роботи приладу μ=1,5, а інтенсивність надходження замовлень λ=0,5. Треба визначити інтенсивність навантаження у системі, середню довжину черги, середній час очікування у черзі.

Варіанти завдань

№ варіанта	l	m
1	1,25	1,5
2	2,5	3,75
3	3,78	4,56
4	4,89	5,5
5	3,75	4,45
6	2,8	3,6
7	1,85	2,76
8	1,9	2,16
9	1,8	2,16
10	1,34	2,46
11	1,54	2,0
12	1,45	1,79
13	2,67	2,74
14	1,76	1,9
15	2,65	3,46
16	1,35	1,45
17	1,56	1,95
18	1,47	2,0
19	1,78	2,16
20	1,9	2,04
21	1,76	1,8
22	1,54	1,95
23	1,74	2,16
24	1,85	2,45
25	2,55	2,85
26	2,25	2,15
27	1,94	1,9
28	1,65	1,5
29	1,78	2,75
30	2,86	3,5

4.1.6. Виконання завдання 3

Уразі роботи одного пристрою дану задачу можна подати у вигляді одноканальної СМО з необмеженою чергою.

Рис.3. Граф СМО з очікуванням

Стан S0 відповідає вільному каналу; S1 – канал зайнятий і черги немає, S2 – канал зайнятий і одне замовлення пербуває у черзі; S3 – у черзі два замовлення і т.д. У стані Sk – канал зайнятий і у черзі к - 1 замовлення. За стрілками зліва направо систему з одного стану в інший переводить потік замовлень інтенсивністю l, а за стрілками справа наліво - потік обслуговувань інтенсивністю m. Кожного разу під час переходу з одного стану в інший черга змінюється на одиницю.

Для визначення ймовірності початкового стану можна використати рівняння (4).

lр₀ = mр₁.

Звідси

р₁=(l/m)p₀.

Величину інтенсивністі навантаження визначаємо за формулою:

r=l/m=0,33

Для стійкої роботи СМО з очікуванням потрібно, щоб середня інтенсивність потоку обслуговування була більше інтенсивності потоку замовлень, тобто l < m, отже, r < 1. Якщо l > m, система не впорається з обслуговуванням і черга буде зростати до нескінченності.

З використанням введених позначень, ймовірність стану S1 можна записати у вигляді:

р₁=rp₀. (9)

Використовуємо рівняння Колмогорова для стану S1:

lp₁+mp₁=lp₀+mp₂.

Оскільки lp₀=mp₁ та mp₂=lp₁,

p₂=p₁l¤m = r² p₀.

Аналогічно для стану S2: p₃ = r³ p₀ . І.т.д.:

p_k=r^k×p₀. (10)

Для визначення р₀ запишемо вираз для суми ймовірностей:

p₀ + r p₀ + r² p₀ +…+ r^k p₀ = 1.

Звідси отримуємо

p_k=r^k(1-r). (11)

Використовуючи цей вираз, можна визнаємо характеристики СМО з очікуванням, важливі для її функціонування: середню довжину черги Lq, середнє число замовлень в системі Ls, середній час перебування замовлення в системі Ws, середня тривалість очікування замовлення у черзі Wq і ймовірність утворення черги р_к.

З ймовірністю p₂ у черзі перебуває одне замовлення, з ймовірністю p₃ – два замовлення і з ймовірністю p_k у черзі – (k-1) замовлення.

Отже,

Lq=1p₂ +2p₃ +…+(k-1)p_k=r²(1-r)(1+2r+3r²+…+kr^k-1).