6 Проверка статистических гипотез

1. Основные понятия

Статистической гипотезой называется предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки.

Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называют параметрическими, о распределениях – непараметрическими.

Гипотеза о том, что две величины или что две совокупности, сравниваемые по одному или нескольким признаком, не отличаются, называют нулевой (основной) гипотезой. Она обозначается H. При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H, которая противоречит нулевой.

Статистическим критерием называют определенное правило, устанавливающее условия при которых проверяемую нулевую гипотезу следует либо отклонить, либо не отклонить.

Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:

1. Формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования.

2. Выбирается статистическая характеристика гипотезы.

3. Выбираются нулевая и конкурирующая гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий.

4. Определяются область допустимых значений, критическая область, а так же критическое значение статистического критерия по соответствующей таблице.

5. Вычисляется фактическое значение статистического критерия.

6. Проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значения критерия и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется.

При проверки гипотез по одному из критериев возможны два ошибочных решения:

1) неправильное отклонение нулевой гипотезы: ошибка 1-го рода;

2) неправильное принятие нулевой гипотезы: ошибка 2-го рода.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях:

1) гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная;

2) гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через , ее называютуровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Критической областью называется область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к отклонению H. Вероятность попадания значения критерия в эту область равна принятому уровню значимости.

Область допустимых значений дополняет критическую область. Если значение критерия попадает в область допустимых значений, это свидетельствует о том, что выдвинутая гипотеза H не противоречит фактическим данным (H не отклоняется).

Точки, разделяющие критическую область и область допустимых значений, называются критическими точками или границами критической области. В зависимости от формулировки альтернативной гипотезы критическая область может быть двухсторонняя или односторонняя (левосторонняя либо правосторонняя).

Критические точки находятся по таблицам приложений в соответствии с используемым критерием согласия (Пирсона, Стьюдента, Фишера и т.д.).

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по статистическим данным. Если оно попадает в критическую область, то нулевая гипотеза отклоняется. Если наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений, то нет оснований отклонить нулевую гипотезу.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению.