4.4. Производные гдс

В общем случае выбор элементов, из которых строится ГДС, является произвольным. Но система с произвольно выбранными элементами еще не является гиперкомплексной динамической системой (не может рассматриваться как ГДС) до тех пор, пока не установлено соответствие этой системы основным закономерностям теории ГДС. Такая проверка относится к идентификационным процессам и не всегда может быть легко выполнена.

Избежать этой проверки-подтверждения или значительно упростить ее можно путем установления ограничений и правил на выбор элементов, что особенно важно при теоретическом построении ГДС или при определении совокупности элементов, соответствующих реальному объекту, рассматриваемому как система.

Одним из таких правил может являться выбор элементов, параметры которых можно представить в виде разложения но ортогональному базису. При этом взаимодействия (Y) между элементами ГДС, в соответствии с ГДС-закономерностями, будут определяться как отношения взаимоортогональных параметров рассматриваемых элементов. Наложение требования ортогональности и рассмотрение Y в виде отношения ортогональностей дают возможность, как это было показано ранее, ввести операции дифференцирования в методологию ГДС.

Если признать в качестве исходной системы ГДС с такими свойствами,то ее взаимодействие Y будет отображаться производными первого порядка. В соответствии со сказанным назовем Y в такой ГДС взаимодействием первого порядка. Эту ситуацию проиллюстрируем примером трехэлементной замкнутой ГДС с циклическим, однонаправленным взаимодействием (рис. 4.2), где элементы

обозначены окружностью и цифрой, а взаимодействия — стрелкой и индексированным символом вида Y_nm).

Определение 1. ГДС, элементы которой представляют собой взаимодействия, выделенные в исходной ГДС, называется производной ГДС первого порядка.

При этом исходная ГДС - это ГДС нулевого порядка (нуль-символ базису начало отсчета), а взаимодействия в ГДС, первого порядка будут представлять собой вторые производные (производные второго порядка, если их рассматривать относительно элементов базисной ГДС).

Действительно, в ГДС нулевого порядка взаимодействия - это обычные производные (отношения дифференциалов первого порядка), в то же время если и в производной ГДС рассматривать ее взаимодействия как отношения ее элементов, то получим производную от производной, что тождественно производной второго порядка.

ГДС первого порядка представлена на рис. 4.3 сплошными линиями,а исходная ГДС — штриховыми. Здесь имеем

где f ^''- условное обозначение второй производной.

Процесс может быть продолжен. Причем это продолжение может быть направлено в обе стороны от базовой ГДС: как в сторону повышения, так и в сторону понижения порядка производной ГДС.

В соответствии со сделанным определением В ГДС порядка п взаимодействие будет отображаться в виде производных порядка (п + 1).

Рассматривая элементы базовой ГДС как взаимодействия в ГДС «минус первого» порядка, можно ввести понятие отрицательного дифференцирования как разновидность ГДС-дифференцирования. При этом индекс дифференцирования будет отображаться отрицательным числом: в простейшем случае — отрицательным целым числом, в общем случае — с помощью М-числа.

Из анализа сути отрицательного дифференцирования, введенного формально, становится очевидным, что оно тождественно операциям интегрирования, рассматриваемого в классической математике.

Рассмотренные особенности в процессах определения элементов и взаимодействий не только приводят к расширению арсенала ГДС-операций, но и позволяют более глубоко раскрыть сущность понятий в теории ГДС. Как видно, само понятие «элемент» в рассматриваемых ГДС, как и понятие «взаимодействие»,— условно, относительно и взаимообусловленно, что хорошо согласуется с положениями марксистско-ленинской диалектики об относительности сущего (2, 40].

Условность определения следует из того, что элемент одной ГДС может представлять собой взаимодействие в другой ГДС, если рассматривать его в производной структуре с более низким порядком взаимодействий.

Относительность и ее ранг определяются выбором базовой ГДС.

Взаимообусловленность вытекает из приведенных определений производной ГДС, взаимодействий более высокого порядка и свойств относительности, рассматриваемых в едином контексте.

Используя определения, символику классической математики и приведенные выше рассуждения, а также выражение (4.3), можно составить функционал Ф, представляющий собой ГДС-совокупность (гиперкомплексную сумму) взаимодействий полного ряда производных ГДС всех порядков (в общем случае — бесконечного ряда):

где Y⁽ⁿ⁾ — взаимодействия в ГДС порядка п.

Выражение (4.4) можно рассматривать как системный аналог ряда Тейлора [26].

Условность и относительность понятия «элемент», а также ортогональный характер взаимодействий позволяют предложить логическую структуру процесса определения понятий, что важно, например, при использовании ГДС-закономерностей в математической лингвистике и др. Более того, определение сущности элемента ГДС дает возможность интерпретации и самого процесса возникновения понятий и определений (определение определения) во всей их полноте, диалектической взаимосвязи и математической форме записи.

Определение 2. Понятие — это сечение ортогональных взаимодействий.

С учетом принципа гомоцентризма, изложенных выше закономерностей проекция гиперкомплексно определенного элемента (как частной разновидности понятия) в физическое пространство, воспринимаемое человеком, представляет собой целостную совокупность ортогональных свойств (полное определение), что и определяет содержание сущности, выделяемой человеком, в качестве понятии, определения, категории или частного видопроявления материи.

Учитывая инвариантный, метатеоретически-абстрактный характер ГДС-закономерностей и определений, можно распространить предложенные определения на объекты произвольной природы, рассматриваемые с позиций системного подхода. В частности, конкретизация процесса определения понятия, рассмотренная выше, может быть сделана на основе системных инвариант, каждую из которых можно считать как конкретную разновидность абстрактно определенного понятия.

При использовании в реальных, конкретных исследованиях понятия производной ГДС следует учитывать условия их реализуемости (аналогично условиям реализуемости системных инвариант, рассмотренных в предыдущих параграфах).

Производные ГДС являются теоретическим обоснованием, позволяющим выдвинуть гипотезу о существовании новых видопроявлений материи, еще неизвестных человеку, определить их основные свойства, условия существовании, а также разработать стратегию проведения эксперимента по обнаружению и исследованию таких новых сущностей.