Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

Рис. 46.

Вольт-амперна характеристика фотоефету (рис. 46) має ще двi особливостi:

1)при нулевiй нарузi U мiж катодом i анодом фотострум не дорiвнює нулю (причому значення фотоструму при нульовому потенцiалi пропорцiйна енергiї свiтлового випромiнювання, яке попадає на катод);

2)при подальшому зменьшеннi потенцiалу мiж катодом та електродом фотострум зменьшується i при деякому значеннi напруги −U0 фотострум стає равним нулю.

Цi двi особливостi пояснюються тим, що свiтло вибиває з катоду електрони, що мають рiзнi значення швидкостей в дiапазонi вiд нуля до vmax (якi залежать вiд глибини залягання електронiв провiдностi в об’ємi метала, наприклад, вiд напрямку теплової щвидкостi електрону провiдностi в момент

часу, коли електрон стає фотоєлектроном).

Той факт, що при деякому вiдємному потенцiалi U0 фотострум дорiвнює нулю, означає, що прикладене поле виконує роботу A = e U0 (A > 0), яка дорiвнює, виходячи з закону збереження енергiї, кiнетичнiй енергiїї фотоелектрону, що має максимальну початкову швидкость

me vmax2	= e U .	(4.271)
2	0

Рiвняння (4.271) дозволяє експериментально визначити максимальну швидкiсть фотоелектронiв, визначивши значення U0

e U
vmax = r2me	0 .	(4.272)

91

Аналiзуючи всi особливостi фотоефекту були сформульованi три

закони зовнiшнього фотоефекту:

1) закон Столетова – при фiксованiй частотi падаючого свiтла число фотоелектронiв, якi вибитi з катоду в одиницю часу, пропорцiйне iнтенсивностi свiтла (або величина фотоструму насичення Iнас пропорцiйна потужностi лампи P , свiтло вiд якої падає на катод);

2)максимальна начальна швидкiсть фотоелектронiв не залежить вiд iнтенсивностi свiтла, що падає на катод, а визначається лише частотою ν електромагнiтного випромiнювання;

3)для кожного матерiалу, з якого зроблено катод, iснує така мiнiмальна частота ν0 (максимальна довжина хвилi λ0), нижче якої (вище якої, якщо для довжини хвилi) падаюче на катод свiтло не

вибиває фотоелкетрони з об’єму катоду – фотоефект не можливий (ν0, або λ0 називаються червоною межею фотоефекту).

Вiдзначається, що, виходячи з хвильової природи свiтла, закони фотоефекту не можна пояснити.

Рiвняння Ейнштейна

При розглядi теплового випромiнювання було зроблено висновок, що свiтло випромiнюється та поглинається дискретними порцiями Ek, якi кратнi енергiї квантiв Ek = n ǫ0 (енергiя кванту свiтла ǫ0 = h ν, де ν – частота свiтла; h = 6, 63 · 10−34 Дж·с – стала Планка). Кванти елетромагнiтного випромiнювання получили назву фотонiв.

Виходячи з закону збереження енергiї, було записано рiвняння Ейнштейна – рiвняння енергетичного балансу, згiдно з яеим вся енергiя фотону, який падає на поверхню катоду, витрачається на здiйснення роботи вуходу Aвих електрона з об’му катоду та на придання електрону кiнетичної енергiї m vmax2 /2

		m v2
	h ν = Aвих +	max	.	(4.273)
		2

92

Рiвняння (4.273) позволяє пояснити другий та третiй закони фотоефекту.

По-перше, з рiвняння (4.273) випливає, шо, чим бiльша частота ν падаючого на катод свiтла, тим бiльша початкова максимольна швидкiсть фотоєлекторнiв (другий закон фотоефекту).

По-друге, при зменьшеннi частоти свiтла можна добiгдти значення ν0, при якому фотоефект припиняється - фотоелектрони навiть

		me v2
	з максимальною швидкiстю не дiстаються аноду (	max	= 0). То-
		2

му рiвняння Ейнштейна (рiвняння (4.273)) трансформується в нове рiвняння

		h ν0 = Aвих .					(4.274)
Звiдки частота червоної межi дорiвнює
ν	=	Aвих	або λ		=	c h	(4.275)
				0
0		h				Aвих

i залежить лише вiд роду матерiалу, з якого зроблено катод, бо робота виходу фотоелектрона визначається лише матерiалом катоду.

Враховуючи те, що	me vmax2	= e U , рiвняннi (4.273) можна пере-
	2	0
писати

hν = A + e U0 e U0 = hν − hν0 e U0 = h(ν − ν0) .

(4.276) Вираз (4.276) дозволяє експериментально визначити сталу Планка, вимiряючи затримуючий потенцiал U0 в залежностi вiд частоти ν падаючого випромiнювання

				e U01 = h(ν1 − ν0) ,
				e U02 = h(ν2 − ν0) .					(4.277)
Звiдки отримаємо сталу Планка
e U	−	e U = h(ν	1 −	ν )		h =	e U01 − e U02	.	(4.278)
01		02		2			ν1 − ν2

93

Таким чином, дослiдження зовнiшнього фотоефекту показуть, що свiтло, має хвильову природу, i водночас представляє потiк квантiв енергiї (або потiк корпускул - фотонiв).

Лекцiя №14

Енергiя, маса, iмпульс фотона

Згiдно з гiпотезою про свiтловi кванти, свiт випромiнюється, поглинається i розповсюджується дискретними квантами, якi називаються фотонами.

Енергiя фотона, яка пропорцiйна частотi свiтлової хвилi ǫ0 = h ν, знаходиться iз закону взаємозв’язку маси та енергiї

h ν = mф c2 ,

(4.279)

де mф – вiртуально маса фотона, який рухається зi швидкiстю свiтла c (маса спокою фотона дорiвнює нулю).

Iмпульс фотона pф знаходиться iз загальних мiркувань щодо знаходження iмпульсу деякої маси (mф), яка має швидкiсть c i енергiю hν (корпускулярне уявлення про природу свiтла)

	ǫ0		h ν
pф = mф c =		=		.	(4.280)
	c
			c

Тиск свiтла

Припустимо, що на одиницю поверхнi тiла за одиницю часу падає N фотонiв. Тодi при коефiцiєнтi вiдбиття ρ число фотонiв, якi вiдiб’ються вiд поверхнi тiла буде дорiвнювати ρ N . Число фононiв, якi поглинаються, дорiвнює N − ρ N = (1 − ρ)N .

Кожний фотон, що поглинається передає поверхнi iмпульс

	pф1	=	h ν	,	(4.281)
			c

94

а кожний вiдбитий фотон передає тiлу iмпульс, який дорiфнює

pф2 = 2 pф1

=

2 h ν

.

(4.282)

c

Загальний iмпульс

pф = pф1 + pф2, який буде передано тiлу, на

яке падають фотони, дорiвнює

2 h ν

h ν

h ν

pф = N ρ

+ (1 − ρ) N

= (1 + ρ)

N .

(4.283)

c

c

c

Тиск свiтла P визначається за формулою

P =

F

=

pф

,

(4.284)

t ·

S

S

де F - сила, яка дiє на поверхню тiла;

S – одиниця поверхнi тiла.

Домноживши чисельник i знаменник виразу (4.284) на довжину шляху l який проходить промiнь свiтла за час t получемо

P =	pф		=	pф · l	=	pф · c	,	(4.285)
	t ·			t · S · l		V
		S

де l/ t = ; V – об’єм, який займають фотони, що дiстаються одиницi поверхнi тiла за одиницю часу. Таким чином тиск P фотонiв буде дорiвнювати

	P =	pф · c	= (1	+ ρ)	h ν	N	c	=	h ν N	(1 + ρ) = w(1 + ρ) , (4.286)
		V			c		V		V
	де w = h ν N/ V			– об’мна густина енергiї випромiнювання.

Отже, тиск свiтла на дзеркадьну поверхню (ρ = 1) двiчи бiльший, нiж на чорну поверхню (ρ = 0). Опити Столетова довели це експериментально.

Ефект Комптона

Найбiльш повно корпускулярнi властивостi свiтла виявляються в ефектi Комтнона – розсiянi рентгенiвського випромiнювання на вiльних електронах, наприклад, в металi.

95

Рис. 47.

Дослiди показали, що в складi розсiяного рентгенiвського випромiнювання поруч з випромiнюванням з первiсною довжиною хвилi є також випромiнювання з бiльш довгою довжиної хвилi.

Причому збiльшення довжини хвилi розсiяного рентгенiвського випромiнювання λ = λ′ − λ залежить вiд кута розсiяння θ i не залежить нi вiд типу речовини (металу), яка розсiює випромiнювання, нi вiд довжини початкової хвилi λ

λ = λ′ − λ = 2 λc sin2 (θ/2),

(4.287)

де λ′ – довжина хвилi розсiяного рентгенiвськоко випромiмiнювання; λc – комптонiвска дожина чвилi (довжина хвилi рентенiвського випромiнювання при розсiяны фотона на вiльному електронi) (λc = 2, 426 нм = 2,426·10−9 м).

Ефект Комптона зветься ще пружним россiянням короткохвильового електромагнiтного випромiнювання (рентгенiвського γ-ви- промiнювання) на вiльних (або слабо зв’язаних) єлектронах речовини, яке супроводжується збiльшенням довжини хвилi. Цей ефект не укладається в рамки волнового уявлення про природу електромагнiтного випромiнювання. З волнової природи випромiнювання випливає, що ефект Комптона не можна пояснити, так як електромагнiтна хвиля не повинна змiнювати частоту (довжину) хвилi при її розсiяннi.

Виходячи з корпускулярного уявлення щодо електромагнiтного випромiнювання, можна стверджувати, що випромiнювання – потiк фотонiв, якi взаємодiють (зiткаються) з єлектронами атомiв, якi слабо зв’язанi з ядрами атомiв, пружно зiткаються з електронами, що покояться. При цьому фотон вiддає електрону частину своєї енергiї та iмпульсу (рис. 47) так, що виконуються закони збе-

96

реження вiдповiдно енергiї та iмпулсу
W0 + ǫγ = W + ǫγ′	′ p~γ = ~p0 + p~γ′	′ ,	(4.288)

де W0 = m0 c2 – енергiя електрона до зiткнення; ǫγ = h ν – енергiя фотона, що розсiюється; ǫγ′ = h ν′ – енергiя фотона, що розсiявся;

p

W = p2ec2 + m20c4 – енергiя електрона пiсля зiткнення. Звiдки рiвняння енергетичного балансу має вигляд

q

m0c2 + hν = p2ec2 + m20c4 + hν′ . (4.289)

Рiвняння закону збереження iмпульсу запишеться

	hν	2		hν′	2		h2
pe2 =			+			− 2		ν ν′ cos θ .	(4.290)
	2			2			c2

Сумiсне рiшення рiвняннь (4.289) та (4.290) приводить до виразу щодо змiщення довжини хвилi при розсiяннi фотонiв рентгенiвського випромiнювання

	h			2 h		θ
λ = λ′ − λ =		(1	− cos θ) =		sin2		.	(4.291)
	m0c			m0c		2

Звiдки значення комтонiвської довжини хвилi дорiвнює

h	= 2, 426 · 10−9 м
λc = m0 c		(4.292)

i повнiстю спiвпадає з експериментальнм значенням λc.

Лекцiя №15

§ 5. Будова атома

Модель атома за Резерфордом

Згiдно з ядерною (планетарною) моделлю атома, навколо додатнього ядра, яке мае заряд Z e (Z – порядковий номер ) елемнта в системi Менделеєва; e –елементарний заряд), розмiр

97

10−15 − 10−14 м та масу, яка, практично, дорiвнює масi атома, рухаються по замкнутим орбiтам електрони (розмiри орбiт 10−10 м), якi утворюють електронну оболонку.

Рiвняння руху електрона по круговiй траєкторiї (орбiтi) радiусом r пiд дiєю сили Кулона має вигляд

Ze e	=	me v2	,	(5.293)
4 π ǫo r2		r

де me i v – вiдповiдно маса i швидкiсть електрона на орбiтi з радiусом r, ǫ0 – електростатична стала.

Головний недолiк моделi Резерфорда мiститься у тому, що i швидкiсть v, i радiус електронних орбiт r, можуть змiнюватися неперервно.

Постулати Бора

Перший постулат Бора (постулат стацiонарних станiв): в атомi iснують стацiонарнi (не змiннi у часi) стани, в яких вiн не випромiнює енергiї. Стацiонарним станам атомiв вiдповiдають стацiонарнi орбiти, по яким рухаються електрони.

~

Правило квантування моменту iмпульсу електрона L = me [r~n ~v] на n-iй стацiонарнiй орбiтi визначається за виразом

me v rn = n ~ (n = 1, 2, 3, . . .),

(5.294)

де ~ = h/2 π – приведена стала Планка.

Другий постулат Бора (правило частот): при переходi електрона з однiєї стацiонарної орбiту на iншу випромiнюється (або по-

глинається) один фотон з енергiєю
h ν = En − Em,	(5.295)

де En i Em – вiдповiдно енергiї стацiонарних станiв атома до i пiсля випромiнювання.

98

Лiнiйчатий спектр атома водню

Експериментальний лiнiйчатий спектр атама водню було пояснено за допомогою узагальненої формули Бальмера, яка визначає дискретнi частоти фотонiв ν, який поглинається атомом водню

ν = R m2	− n2		,	(5.296)
1	1
де R = 1, 10 · 107 м−1 – стала Ридберга; m
визначає серiю; n приймає цiлечисленнi зна-
чення, починаючи з m + 1 i визначає номер
лiнiї цiєї серiї.
Для серiї Лаймана m = 1, для серiї Баль-
мера m = 2, Пашена – m = 3, Брекета –
m = 4, Прунда – m = 5, Хемфрi – m = 6.
Радiус n-ої стацiонарної орбiти електрона лю-
бого атома є:					Рис. 48.
r = n2		~2 4 π ǫ0		n = 1, 2, 3, . . .	(5.297)
n		me Z e2

Для атома водню (Z=1) радiус першої орбiти (n=1) називається

першим боровським радiусом (a). який дорiвнює

r1 = a =	~2 4 π ǫ0				= 0, 528		· 10−10 м = 52, 8 нм.	(5.298)
	me e2
Енергiя електрона En любого атома має дискретнi значення:
1				Z2 me e4
En = −							(n = 1, 2, 3, . . .),	(5.299)
		n2			8 h2 ǫ02

де n – головне квантове число. Стан з n = 1 називається основним, а з n > 1 – збудженим.

99

Частота фотона, яка вiдповiдає переходу атома з дискретного стану n у дискретний стан m з меншою єнергiєю (тобто випромiнюється квант)

	Z me e4	1		1
ν =				−		.	(5.300)
	8 h3 ǫ02		m2		n2

Для атома водню (Z = 1)

1		1					me e4
ν = R		−				R =		.	(5.301)
	m2		n2				8 h3 ǫ02

Схема енергетичних рiвнiв i переходи, що утворюють рiзнi спектральнi серiї для атома водню, наведенi на рис. 48.

Лекцiя №16

§ 6. Елементи квантової фiзики

Хвилi де Бройля

Згiдно з де Бройлем, всi мiкрооб’єкти, а не тiльки фотони, для яких маса покою не дорiвнює нулю, з одного боку мають копускулярнi характеристики – (вони характеризуються енергiєю E i iмпульсом p), а, з друї сторони, мають хвильовi характеристики – частоту ν, або довжину хвилi λ, якi звязанi мiж собою спiввiдношенням

E = h ν, p = h/λ,

(6.302)

Формули (6.302) отриманi по аналогii з формулою (4.280) для фотонiв, якi характеризуються вiртуальною массою. Звiдки з формули (6.302) отримаємо, так звану, формулу де Бройля

λ = h/p .

(6.303)

Пiзнiше гiпотеза де Бройля знайшла пiдтверження при дослiдженi дифракцiї електроного пучка на природнiй решiтцi кристалу,

100