Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

найтоншому мiсцi лiнзи. Промiнi, якi падають на лiнзу паралельно до голвної осi, проходят так, що їх продовження в зворотньому напряму проходить через фокус, розташований з того ж боку, звiдки

падають променi;
Формули тонкої лiнзи:
1) Величина фокусної вiдстанi ±f				лiнзи залежить вiд кри-
визни R1 та R2 опуклих, чи вгнутих −R1 та −R2 поверзней тонкої
лiнзи		1
±f =						,	(3.183)
	(n − 1) (	1		1
			+		)
		± R1		± R2

де n – вiдносний показник заломлення матерiалу лiнзу, до, наприклад, повiтря;

2) Оптична сила лiнзи Φ = 1/f . Єї одиниця – дiоптрiя (одна дiоптрiя: оптична сила лiнзи з фокною вiдстанью 1 м);

3) Лiнiйне збiльшення лiнзи – дорiвнюэ вiдношенню лiныйних розмырыв зображення H до лiнiйних розмiрiв предмету h

=	H	=	|b|	,	(3.184)
	h		|a|

де b – вiдстань вiд центра лiнзи до предмету, a – вiдстань вiд лiнзи до зображення;

4) Формула тонкої лiнзи, в яку входять вiдстанi a – вiдстань вiд предмета до лiнзи; b – вiдстань вiд лiнзи до зображення та f – фокусна вiдстань, є

1	+	1		=	1	.	(3.185)
a		±d
					±f

Лекцiя №9

Iнтерференцiя свiтла

Взагалi iнтерференцiєю свiтлових хвиль називається явище, яке описує складання дiї двох когерентних свiтлових хвиль на одну

61

i ту ж деяку (або обрану) частинку пружного середовища, в якому росповсюджуються оптичнi хвилi.

Явище iнтерференцiї свiтла, у повнiй мiрi, є доказом хвильвої природи свiтла.

Розглянемо двi плоскi електоромагнiтнi когерентнi хвилi, якi збуджують в деякiй обранiй точцi середовища незалежнi коливання:

x1 = A1 cos(ωt + ϕ1), x2 = A2 cos(ωt + ϕ2),

якi пiсля складання дають сумарне коливання тiєї ж частоти з амплiтудою

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1).

(3.186)

Оскiльки iнтесивнiсть I свiлової хвилi пропорцiйна квадрату її амплiтуди (I A2), получимо

p

I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos(ϕ2 − ϕ1) . (3.187)

В залежностi вiд того, яке значення приймає функццiя cos(ϕ2 −ϕ1), iнтенсивнiсть сумарної хвилi в одних точках простору пiдсилюється (I > I1 + I2), в iнших зменьшується (I < I1 + I2).

Для некогерентних хвиль рiзниця фаз (ϕ2 − ϕ1) не зберiгається. Тому середне у часi значення hcos(ϕ2 − ϕ1)it = 0 i, коли I1 = I2, iнтенсивнiсть Iсумнк сумарної хвилi дорiвнює

Iсумнк = 2I1,

(3.188)

Для когерентних хвиль iнтенсивнiсть Imaxк сумарної хвилi у максимумах, коли I1 = I2, дорiвнює

max

p

p

p

2

к

1

Iк

= I1 + I2 + 2 I1I2 = (

I1 +

I

)2

= (2I1)2

= 4I2

(3.189)

i у мiнiмумумах, коли I1 = I2, iнтенсивнiсть Imin сумарної хвилi дорiвнює нулю, бо

p

Iminк = I1 + I2 + 2 I1I2 cos(ϕ2 − ϕ1) =

62

I1 + I2 − 2 I1I2 = (I1 − I2)2 = 0

(3.190)

p

Проаналiзуємо за якими умовами в деякiй точцi середовища, в якому росповсюджуються двi когерентнi хвилi повиннi спостерiгатися iнтеренференцiйнi максимуми та мiнiмуми. Припустимо, що перша хвиля росповсюджується в середовищi з показником заломлення n1 i з фазовою швидкiстю v1 = c/n1, а друга хвиля має в iншому середовищi швидкiсть v2 = c/n2 (c – швидкiсть свiтла у вакуумi). Тобто хвилi можна представити як

x1(r, t) = A1 cos ω		t − v1				+ ϕ0	,
				r1
				r2
x2(r, t) = A2 cos ω		t	− v2			+ ϕ0 .

Рiзниця фаз δ для двох когерентних хвиль x1(r, t) i x2(r, t) дорiвнює

δ = ω

t − v2

+ ϕ0 − ω t − v1

+ ϕ0

=

r2

r1

=

v2

− v1

= λ0

(r2n2

− r1n1) = λ0

(L2

− L1) = λ0

, (3.191)

r2

r1

2π

2π

2π

ω

2πν

2π

де λ0 – довжина хвилi у вакуумi

=

=

, L = r n – оптич-

c

c

λ0

на довжина шляху хвилi, = L2 − L1 – оптична рiзниця довжини шляхiв хвиль.

Якщо оптична рiзниця довжини шляхiв хвиль дорiвнює цiлому числу довжин хвиль у вакуумi (або парному числу довжин напiвхвиль)

λ

= ±mλ0 = ±2m 2 (m = 0, 1, 2, ...), (3.192)

рiзниця фаз δ = ±2mπ i коливаниия, якi збуджуються двома хвилями в деякiй обранiй точцi простору, будуть вiдбуватися у одна-

63

Рис. 25.

кових фазах (амплiтуда i iнтенсивнiсть сумарнрного коливання будуть максимальними). Тобто вираз 3.192 представляє умову спостереження iнтерференцiйного максимуму.

Коли дорiвнює непарному числу довжин напiвхвль
= ±(2m + 1)	λ0	(m = 0, 1, 2, ...),	(3.193)
	2

спостерiгається iнтерференцiйний мiнiмум, а вираз 3.193 дає умову спостереження дифракцiйного мiнiмуму.

Iнтерференцiя вiд двох когерентних джерел свiтла

Для експериментального спостереження явища iнтерференцiї неоюхiдно мати когерентнi хвилi. До появи оптичних генераторiв свiтла (лазерiв), когерентнi пучки свiтла отримували простим роздiленням одного промiня на два с послiдовним зведенням їх на екранi спостереження (рис. 25). Тобто, свiтло на екран "Е" приходило не вiд одного джерела свiтла "S" , а вiд двох коге-

рентних "S1" i "S2" . На екранi в областi накладання двох когерентних хвиль BC повинна спостерiгатися iнтерференцiйна картинка.

Розрахуємо iнтерференцiйну картинку вiд двох когерентних джерел свiтла S1 i S2 (рис. 26). Iнтенсивнiсть свiтла в довiльнiй точцi "A" екрану "E " визначається оптичною рiзницею хода = S2 − S1. З рис. 26 знайдемо

S22 = l2 + x +	d		2
			;
	2

64

S12 = l2 + x −	d		2
			.	(3.194)
	2

Звiдки, враховуючи те, що S22 − S12 = (S2 − S1)(S2 + S1), знайдемо

S	−	S	=	S22	− S12		S22 − S12	.	(3.195)
2		1		S2 + S1			2l

Вираз (3.195) було отримано при допущеннях, що l d i S1 + S2 = 2l i, тому, його можна переписати, враховуючи, що S22 − S12 = 2xd,

у виглядi						2xd			xd
		= S2 − S1 =						=		.	(3.196)
						2l			l
Якщо рiзниця хода промiнiв					крат-
на довжинi хвилi λ0
= ±m λ0 = ±2m	λ0			(m = 0, 1, 2, ...) ,
	2
					(3.197)
в точцi A (рис. 26) буде спостерiгати-
ся iнтерференцiйний максимум. Тоб-
то, якщо дорiвнює парному числу
пiвдовжини λ0/2 хвилi, повинен спо-										Рис. 26.
стерiгатися максимум.
Якщо для деякої точки на екранi рiзниця хода											променiв дорiв-
нює непарному числу пiвдовжини λ0/2 хвилi
= ± m + 20					(m = 0,			1, 2, ...) ,			(3.198)
			λ

то для цiєї точки повинен спостерiгатися iнтерференцiйний мiнiмум.

Вiдстань x мiж двома послiдовними iнтерференцiйними макси-

	мами (або мiнiмумами) дорiвнює
	x =	l λ0	(3.199)
		d

65

i не залежить вiд порядкового номера iнтерференцiйного макимуму (величини m).

Iнтерференцiя свiтла в тонких плiвках

Оптична рiзниця ходу свiтлових хвиль (рис. 27), що виникає при вiдбиттi монохроматичного свiтла вiд двох поверхонь тонкої плiвки дорiвнює:

= 2 d n cos r ±				λ0		=
				2
			λ
= 2 dpn2 − sin2 i ±
			0		,	(3.200)
			2
де d – товщина плiвки; i та r вiдпо-
вiдно кути падiння та заломлення; n
– вiдносний показник заломлення ма-
терiалу плiвки.							λ0
Зазначимо, що доданок ±								у ви-	Рис. 27.
							2

разi 3.200 вiдображає той факт, що хви-

ля при її вiдбиттi вiд границi роздiлу двох середовищ "втрачає напiвхвилю". Iнтерференцiыйнi максимуми та мiнымуму спостерiыгаються при виконаннi загальних умов для спостереження явища iнтерференцiї (вирази (3.192) та (3.193)). Отже, положення iнтерферецiйних максимумiв знаходиться iз спiввiдношення

							λ		λ
2 dpn2 − sin2 i ±
							0	= ±2m	0			(m = 0, 1, 2, ...).	(3.201)
							2		2
Положення мiнiмумiв можна знайти з виразу
					λ						λ
2 dpn2 − sin2 i ±
					0		=	±(2m + 1)			0	(m = 0, 1, 2, ...).	(3.202)
					2						2

66

Iнтерференцiйнi кiльця Ньютона

Кiльця Ньютона виникають (рис. 28) при вiдбиттi свiтла вiд повiтряного шару мiж плоскою пластинкою та плоскоопуклою лiнзою великого радiусу. В результатi накладання вiдбитих свiтлових променiв вiд нижньої та верхньої поверней повiтряного шару утворюютьс, так званi, ”iнтерференцiйнi полоси рiвної товщини”

у виглядi послiдовних свiтлих та темних кiлець, якщо свiтло падає i вiдбивається нормально до плоскої дзеркальної поверхнi.

Оптична рiзниця ходу променiв вiдбитих вiд двох поверхней повiтряного прошарку (рис. 28) у випадку, коли показник заломлення повiтря n = 1, а кут падiння i = 0 з урахуванням страти напiвхвилi при вiдбиттi промiня вiд межi двох середовищ, дорiвнює

= 2d +	λ0	(3.203)
	2

Звiдки, виходячи з умов спостережен-	Рис. 28.

ня iнтерференцiйних максимумiв та мiнiмумiв (вирази (3.192) та

(3.193)), отримаємо радiус свiтлих кiлець Ньютона rL у вiдби-
					k
тому монохроматичному свiтлi
rmL = r	(2 m − 1)	2		(m = 1, 2, 3, . . .),	(3.204)
		R λ0

де m – номер кiльця; R – радiус кривизни лiнзи.

Радiус темних кiлець Ньютона rD у вiдбитому монохрома-
			k
тичному свiтлi обчислюється за формулою
Лекцiя №10	rmD = p	R m λ0	(m = 1, 2, 3, . . .),	(3.205)

67

Рис. 29.

Дифракцiя. Принцип Гюйгенса – Френеля

Явище дифракцiї пов’язане з огинанням хвилями перепон, що зустрiчаються на їх шляху, або, в бiльш широкому зоозумiннi, явище дифракцiїї - це любе вiдхiлення росповсюдження хвилi поблизу деякої перепони вiд вiд законiв геометричної оптики.

Розв’язання дифракцiйних задач базується на принцепi Гюйгенса, згiдно з яким свiтлова хвиля, яка збуджується любим точковим джерелом свiтла S, можна представити як результат суперпозицiї когерентних вторинних хвиль, якi "випромiнюються” фiктивними джерелами, роль яких можуть виконувати нескiнченно малi елементи любої замкнутої поверхнi (волнової поверхнi), яка охоплює точкове джерело свiтла S. Огинаюча багатьох волнових поверхней вторинних джерел свiтла як показано на рис. 29, розглядається як нова волнова поверхня в наступний час дослiду.

Принцип Гюйгенса розв’язує задачi знаходження напрямку росповсюдження свiтлових чвиль, але не касається питань про амплiтуду та iнтенсивнiсть випромiнюваних хвиль вздовж рiзних напрямкiв, а також не може кiлькiстно розв’язати задачi дифракцiйного змiсту.

Френель доповнив принцип Гюйгенса постулатами про iнтерференцiю – вториннi

свiтовi хвилi, що утворюються вiд вторинних сiнфазних джелел свiтла (бо для деякого моменту часу вони розташованi на однiй i той же волновiй поверхнi), в обранiй тоцi простору, наприклад, на екранi, де спостерiгається дифракцiйна картинка, складаються за правилами iнтерференцiї. Цей принцип получив назву "ГюйгенсаФренеля".

Для знаходження дифракцiйного зображення (з кiлькистними

68

Рис. 30.

характеристиками) застосовується метод зон Френеля, згiдно з яким плоский або сферичний хвильовий фронт у деякому мiсцi простору може бути предсталеним у виглядi зон Френеля. Кожна iз зон Френеля випромiнює когерентне сiнфазне свiтло, а, по-друге, вiдстань вiд цих зон до точки спостерехення дифракцiйного зображення, якщо їх номер збiльшується на одиницю, зростає на λ/2), так, що свiтло вiд двох сусiднiх зон потрапляє у точку спостереження дифракцiйного зображення у протифазах.

Дифракцiйнi зображення та спектри

Прямолiнiйне росповсюдження свiтла

Продемонструємо як за допмогою принципа Гюйгенса – Френеля обчислюється iнтенсивнiсть вiд точкового джерела свiтла в довiльнiй точцi M спостереження. Це є доказом (прямолiнiйнотi розповсюдження свiтла).

Згiдно з принципом Гюйгенса-Фре- неля волнову поверхню як представлено на (рис. 30) можна подiлити, яка обернена в сторону чочки M спостереження , на концентричнi смуги з центром

в точцi, яка розташована на перетенi

вонової поверхнi з лiнiєю, що з’єднує точкове джерело свiтла та точку M . Згiдно з методом зон Френеля вiдстань вiд краю кожної наступної кiльцевоi смуги до точки спостереження M збiльшується

69

на	λ0	. Тобто мiнiмальнi радiуси концентричних смуг Френеля
2
з центрами в точцi M дорiвнюють
		b +	λ0	; b + 2	λ0	; b + 3	λ0	; ... .	(3.206)
							2
		2		2

Тобто, свiтло вiд кожної наступної зони Френеля приходить в точку спостереження в протележнiй фазi. Тому амплiтуда A сумарного коливання в точцi M вiд всiх зон Френеля (Ai) дорiвнює

A = A1 − A2 + A3 + ... .

(3.207)

Легко довести, що площi σm зон Френеля однаковi, не залежать вiд її номера m i дорiвнює

	σm =	πabλ0	,	(3.208)
		a + b

де a та b – приведенi на рис. 31. Враховуючи те що зi зростанням номера зони вiдстань її до точки спостереження зростає M зростає, отримаємо, що

A1 > A2 > A3 > ... .

Рис. 31.

(3.209)

Враховуючи те, що число N зон Френеля дуже велике (для a = b = 10 см; λ0 = 0, 5 мкм N=8·105), можна стверджувати,що

A

=

Am−1 + Am+1

.

(3.210)

m

2

Перепишемо вираз 3.207, перегупувавши його доданки,

A = 21

+

21

− A2 +

23

+

23 − A4 +

25

+ . . .

A

A

A

A

A

. . . +

2−1 − AN +

2+1

.

(3.211)

AN

AN

70