Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

Виходячи з виразу 3.210, додатки в дужках виразу 3.211, окрiм останнього, дорiвнюють нулю. Враховуючи те, що амплiтуда, яку створює N -а зона Френеля, набагато слабкiша, нiж амплiтуда перших зон, можна стверджувати, що останнiй доданок в виразi 3.211

	AN				AN				AN
теж дорiвнює нулю		2−1		− AN +	+1		= ±			= 0 (знак +,
					2				2
чи - ставиться в залежностi вiд парностi N ) i, тому,
A =		A1			I =		A12	,		(3.212)
		2					4

де A1 – амплiтуда коливань, яка зумовлена першою зоною Френеля, A та I– вiдповiдно амплiтуда та iнтенсивнiсть свiтла в точцi спостереження M .

Якщо взяти до уваги, що радiус m-ї зони Френеля

rm = r	ab
		mλ0	(3.213)
	a + b
i у випадку, коли a = b = 10 см i λ0 = 0, 5 мкм, дорiвнює
r1 = 0, 158 мм.			(3.214)

Отже, свiтло росповсюджується вiд точки S до точки спостереження M внурi досить вузького каналу (так званого "цугу”), що є доказом прямолiнiйностi розповсюдження свiтла.

Дифракцiя свiтла на круглому отворi та диску

Розглянемо як свiтло росповсюджується вiд точкового ждерела свiтла S, що проходить через круглий отвiр (дифракцiя Френеля на круглому отворi). Якщо у отвiрi розмiщується непарне число m зон Френеля (рис. ??), амплiтуда в точцi M спостереження буде

Aнепарн = 21		+	21	− A2 +	23		+ . . . +
	A		A		A

71

+	2−2	− Am−1 +	2		+	2	= 21		+	2 .	(3.215)
	Am		Am			Am		A		Am

Якщо число зон є парним (тобто на одну, наприклад, меньше, нiж у першому випадку Am = 0), амплiтуда коливань у точцi M

дорiвнює

A

+

A

A

+

Aпарн =

1

1

− A2

+

3

2

2

2

+ . . . +

Am

Am

2−2

− Am−1

+

.

(3.216)

2

Враховуючи те, що амплiтуда коливань, якi збуджуються двома

сусiднiми зонами практично є рiвними (A	= A	m−1	), получимо,
m−2

що амплiтуда коливань в точцi M , якщо число зон парн, дорiвнює

Aпарн =

A1

Am−1

=

A1

Am′

,

(3.217)

2 −

2

2

−

2

де було враховано, що, по-перше, Am = 0,

а, по-друге, m′ – це номер останньої пар-

ної зони Френеля. Тобто, для парного чис-

ла зон Френеля, якi видкриває отвiр у диа-

фрагмi в тояцi M амплiтуда коливань дорiв-

нює нулю (якщо число зон Френеля не пе-

ревищує, наприклад, десяти) i, якщо чис-

Рис. 33.

ло зон непарне, в точцi M спостерiгається

свiтле п’ятно, амплiтуд якого дорiвнює

Aнепарн =

A1

+

Am

= A ,

2

2

1

Aпарн =

A1

Am

= 0 .

−

2

2

Розрахуємо амплiтуду коливань у центрi свiтлового п’ятна вiд точкового ждерела свiтла S, яке утворюється на екранi, що розта-

72

шоване за круглим диском на лiнiї, яка з’єднує точкове джерело i центр диску (рис. 33)

=	2+1	A = Am+1 − Am+2 + Am+3 − . . . =						(3.218)
		+	2+1	− Am+2 +	2+3		+ . . . .
	Am		Am		Am

Тобто амплiтуда, чи iнтенсивнiсть свiтлого п’ятна за круглим диском дорiвнює

	A =	Am+1		I =	Am2	+1	,	(3.219)
		2			4

де Am+1 – амплiтуда коливань, якi збуджуються першою вiдкритою зоною Френеля, Тобто, незалежно вiд того, скiльки зан Френеля перекриває диск, в центрi за диском завжди спрстерiгається свiтле п’ятно, так зване (свiтле п’ятно Пуасона). Хоча iнтенсивнiсть п’ятна Пуасона зменьшується зi збiльшенням розмiрiв диску, бо зi збiльшенням номера першої вiдкритої зони Френеля зменьшується її iнтенсивнiсть.

Дифракцiя на однiй щiлинi. Дифракцiя Фраунгофера

Дифракцiя Фраунгофера спостерiгається, коли плоский волновий фронт свiтлової хвилi падає на довгу щiлину шириною a, перерiз якої представлен на рис. ??. Дифракцiю Фраунгофера ще назiвають дифракцiєю у паралельних промiнях.

Якщо плоска монохроматична хвиля довжиною λ0 падає на щiлину, рiзниця ходу крайнiх прмiнiв хвиль (рис. ??), якi росповсюджуюься пiд кутом ϕ за щiлиною i збирається опуклою лiнзою на фокальнiй площинi ("на екранi”), дорiвнює

= N F = a sin ϕ .

(3.220)

Розiб’ємо плоску волнову поверхню, яка обмежана щiлиною, на плоскопараллельнi зони Френеля. Згiдно з визначенням зон Фре-

73

неля, їх число N буде дорiвнювати
N =		=	2 a sin ϕ	.	(3.221)
	λ0/2		λ0

Тобто число зон Френеля, якi укладаються в щiлинi, залежить вiд кута ϕ, пiд яким спостерiгається дифракцiйний спетр.

Якщо чило зон Френеля парне, в точцi B пiд кутом ϕ буде спостерiгатися дифракцiйний мiнiмум

N =	2 a sin ϕ	= ±2m (3.222)
	λ0

Тобто, з умови спостереження ди-

фракцiйних мiнiмумiв на однiй щiлинi

a sin ϕ = ±2m	λ0	(m = 1, 2, 3, . . .) ,
	2
				(3.223)
можна визначити кути ϕ, для яких
на екранi для обраної довжини хви-
лi λ0 будуть спостерiгатися дифрак-
цiйнi мiнiмуми.						Рис. 34.
Коли число зон Френеля для дея-
ких кутiв ϕ i довжин хвиль λ0						дорiвнює непарному числу (N =
±(2m + 1)), будуть спостерiгатися дифракцiйнi максимуми
			2 a sin ϕ
		N =				= ±(2m + 1)	(3.224)
				λ0
a sin ϕ = ±(2m + 1)				λ0		(m = 1, 2, 3, . . .) ,	(3.225)
				2

Зауважимо, що для iших довжин хвиль дифракцiйнi максимуми та мiнiмуми будуть спостерiгатися пiд iншими кутами ϕ. Тому, якщо

74

на щiлину падає "бiле” свiтло, яке складається з усiх довжин свiтлових хвиль, на екранi повинен спостерiгатися радужна картина. або дифракцiйний спектр. Цiлечисленне значення m визначає

порядок дифракцiйного спектра.

Дифракцiя Фраунгофера на дифракцiйнiй решiтцi

Дифракцiйна решiтка – система параллельних щiлин, що лежать в однiй площинi i, якi роздiленi рiвними за шириною непрозорими промiжками (рис. 35). Вiдстань a + b = d називається постiйною (перiодом) дифракцiйної решiтки. Очевидь, що пiд тими кутами ϕ, для яких спостерiгається дифракцiйний мiнiмуми для однiєї щiлини, будуть спостерiгатися дифракцiйнi мiнiмуми для двох i бiльшого числа щiлин (для дифракцiйної решiтки). Тобто, умова спосте-

реження головних дифракцiйних

Рис. 35.

мiнiмумiв є така ж, як для однiєї щiлини 3.223

a sin ϕ = ± m λ0 (m = 1, 2, 3, . . .) ,

(3.226)

Умови спостереження додаткових дифракцiйних мiнiмумiв на решiтцi знайдемо з умови, що рiзниця ходу промiнiв, що проходять крiзь сусiднi щiлини ( = d sin ϕ), дорiвює λ0/2, або 3λ0/2 i т. д.. Тобто

d sin ϕ = ±(2m + 1)	λ0
	2
(m = 0, 1, 2, 3, . . .) ,			(3.227)

75

= m N,

Зауважимо, що дiя однiєї щiлини буде пiдсилюватись другою, якщо рiзниця ходу промiнiв крiзь сусiднi щiлини буде дорiвнювати парному числу напiвхвиль (умова спостереження головних максимумiв)

d sin ϕ = ±2mλ20 = ±λ0 (m = 0, 1, 2, 3, . . .) , (3.228) Таким чином для двох щiлин спостерiгається така дифракцiйна картина:

a sin ϕ = λ0, 2λ0, 3λ0, . . .						− головнi мiнiмуми;
	λ0		3λ0
d sin ϕ =		,		, . . .	−	додатковi мiнiмуми;
	2		2
d sin ϕ = 0, λ0, 2λ0, 3λ0					−	головнi максимуми.

У випадку, коли дифракцiйна решiтка має N щiлин, умови головних максимумiв та мiнiмумiв лишаються незмiнними, а умова до-

даткових мiнiмумiв змiнюється

		d sin ϕ = ±m′	λ0
(m′ = 1, 2, . . . N			N	1, 2N + 1, . . .) , (3.229)
	−	1, N + 1, . . . 2N	−

де m′ - визначає порядок дифракцiйного спектра.

Оскiльки в умовах спостереження дифракцiйних максимумiв та мiнiмумiв присутня залежнiсть кутiв ϕmax та ϕmin вiд довжини хвилi λ0, при проходженнi "бiлого” свiтла крiзь дифракцiйну решiтку буде спостерiгатися "радужний” дифракцiйний спектр.

Роздiльна здатнiсть дифракцiйної решiтки

Якiсть дифракцiйної решiтки характеризується її роздiльною здатнiстю R

R = λ0 (3.230)

λ0

76

Рис. 36.

де N – число щiлин, m – порядок дифракцiйного спектра, λ – найменша рiзниця довжин хвиль двох сусiднiх спектральних лiнiй (λ та λ + λ), якi можуть бути спостереженi роздiльно в дифракцiйному спектрi, що отримається за допомогою даної решiтки.

Лекцiя №11

Поляризацiя свiтла

Свiтло, в якому якимось чином напрям коливань свiтлового

→

вектора – вектора E є упорядкованим, називається плоско по-

ляризованим, або лiнiйно поляризованим.

→

Площина, яка проходить через напрям свiтлового вектора E та

→

вектора швидкостi росповсюдження хвилi v , називається площиною поляризацiї.

Свiтло називається поляризованим по елiпсу, чи колу, якщо

→→

кiнець вектра E (або H) описує в площинi, яка перпендикулярна

→

до вектора швидкостi v розповсюдження свiтлової хвилi. елiпс, або коло.

Ступень поляризацiї P є иеличина

P = Imax − Imin , (3.231)

Imax + Imin

де Imax i Imin вiдповiдно максимальна та мiнiмальна iнтенсивностi свiтла, яке частинно поляризоване i, яке проходить через аналiзатор. Для прироного свiт-

ла P = 0, бо Imax = Imin. Для свiтла, яке поляризовано у площинi

– Imin = 0 i, тому P = 1.

77

Рис. 37.

Види поляризацiї свiтла, що iснують в природi або утворенi штучно представленi на рис. 36: а) – природня поляризацiя свiтла; б) – свiтло, що поляризовано елептично; в) – свiтло, що поляризовано вздов лiнiї (лiнiйно або плоско поляризоване свiтло).

Закон Малюса

Природне (або деполяризоване) свiтло можна отримати (або поляризовати), за допомогою поляризаторiв, якi пропускають (або вiдбивають) коливання природнього свiтла лише в якомусь одному напрямку, наприклад, в напрямку, який є параллельним головнiй оптичнiй площинi поляризатора. Поляризатори повнiстю затримують свiтловi хвилi, якi поляризованi перпендикулярно до головної оптичної площини поляризатора, але можуть пропускати свiтло, електричний вектор якого складає малий кут з головної оптичної площиною поляризатора.

Роль поляризаторiв свiтла можуть виконувати одновiснi (полярнi) анiзотропнi природнi кристали. Для цiєї мети застосовується, наприклад, одновiсний анiзотропний прозорий для видимого свiтла кристал турмалiну.

Закони Малюса визна-

чає iнтенсивнiсть свiтлової хвилi I, яка проходить через два поляризатори свiтла нiколь. Пепрший поляризатор нiколю (рис. 37) називається поляризатором, а ддуга – аналiзатором. Згiдно з закном Малюса iнтенсивнiсть свiтла I, що проходить крiзь двi пластини залежить вiд кута α мiж оптичними осями кристалiв, визна-

78

чається за формулою
I = I0 cos2 α,	(3.232)

де I0 – iнтенсивнiсть свiтла, яке пройшло перший поляризатор (поляризатор). Якщо врахувати, що iнтенсивнiсть свiтла I0, яке пройшло через поляризатор дорiвнює

	I0 =	1	Iпр ,	(3.233)
		2

де Iпр – iнтесивнiсть природнього свiтла, яке падає на поляризатор нiколю, вираз (3.232) змiниться та iнтенсивнiсть свiтла, яке проходить крiзь нiколь взагалi (рис. 38), дорiвнює

	I =	1	Iпр cos2 α .	(3.234)
	2
	Тобто в схрещеному нiколi, коли кут мiж
	осями поляризатора i аналiзатора становить
	α = π/2 = 900, повинна спостерiгатися "тем-
	нота”, бо cos α = 0 i iнтенсивнiсть свiтла I =
	0. В параллельному (колленiарному) нiколi,
	iнтенсивнiсть свiтла I дорiвнює половинi iн-
	тенсивностi природнього свiтла			1	Iпр, яке па-	Рис. 38.
				2

дає на поляризатор нiколю, бо α = 0 i cos α = 1.

Закони Брюстера

Вiдомо, що при попаданнi свiтла на межу роздiлу двох середовищ з вiдносним показником заломлення n = n2/n1 > 1 (тобто, коли свiтло падає з середовища з малим абсолютним показником заломлення n1 на межу з середовищем, що має бiльший абсолютний показник заломлення n2), свiтловий пучок, що роздiляється на вiдбитковий та заломлений, є частково поляризованими: вiдбитковий пучок є поляризованим переважно перпендикулярно до площини рисунка, заломлений – переважно в площинi рисунка (рис. 39).

79

Рис. 39.

Причому ступень поляризацiї p вiдбиткового та заломленого променiв залежить вiд кута i падiння променя свiтла на межу роздiлу двох середовищ.

Експериментально було також встановлено, що пiд кутом падiння свiтла i, який можна визначити iз спiввiдношення

tg iБрюст = n ,

(3.235)

де n = n2/n1 – вiдносний показник заломлення свiтла, iБрюст – кут падiння, спостерiгається повна поляризацiя (P = 1) вiдбиткового свiтла (рис. 40). Цей кут називається

кутом Брюстера, а залежнiсть ступеня поляризацiї вiд кута падiння свiтла називається законом Брюстера. Вiдзначимо, що для заломленого свiтла теж є залежнiсть його поляризацiї вiд кута падiння свiтла, але не iснує кута i, для якого iснує повна поляризацiя заломленого свiтла. Заломлений промiнь завжди є частково поляризованим. Хоча для кута падiння iБрюст заломлений промiнь характеризується максимальною поляризацiєю.

Характерно також i те, що при падiннi свiтла пiд кутом iБрюст, кут γ мiж вiдбитковим та заломленими промiнями (рис. 40) дорiвнює 900. Дiйсно для любого кута падiння, в тому

числi i для кута iБрюст, повинен виконуватися

закон заломлення свiтла

sin iБрюст		= n
sin β
		sin iБрюст		n		Рис. 40.
			=		,	(3.236)
	cos iБрюст sin β			cos iБрюст

де β – кут заломлення. Виходячи з закону Брюстера, для якого виконується спiввiдношення 3.235, вираз 3.236 можна переписати в

80