Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

Врахувавши ще раз те, що k = 2π/λ, остаточно маємо

d v
u = v − λ d λ	,	(3.149)

що в диспергуючему середовищi гуртова швидкiсть може бути як меньша так i бiльша за фазову швидкiсть в залежностi вiд знаку дисперсiйної залежностi dv/dλ. В недиспергуючему середовищi dv/dλ = 0 i u = v.

В теорiї вiдносностi доказується, що u ≤ c, в той же час для фазової швидкостi немає ограничень.

Iнтерференцiя хвиль. Cтоячi хвилi

Узгоджене у часi i просторi розповсюдження декiлькох когерентних хвиль назтвається iнтерференцiєю. Когерентнi хвилi це хвилi, що мають однаковi частоти i, рiзниця фаз мiж якими збережується за час дослiду.

Розлянемо розповсюдження двох сферичних когерентних хвиль S1 та S2, якi мають однаковi амплiтуди A0, частота яких дорiвнює ω (за визначенням когерентнi хвилi росповсюджуються з постiйною рiзницею фаз ϕ = ϕ2 − ϕ1 = const). Тобто

ξ1 =	A0	cos(ωt − kr1 + ϕ1),	ξ2 =	A0	cos(ωt − kr1 + ϕ1) , (3.150)
	r1			r2

де r1 та r2 – вiдстанi вiд джерел хвиль до довiльної точки простору, до якої дiстаються двi хвилi, k – хвильове число двох когерентних хвиль.

За теоремою косiнусiв амплiтуда сумарної хвилi A в точцi B простору (рис. 23) дорiвнює

	r12		r22		r1r2			−		−
A = A	1	+	1	+	2	cos[k(r			r )
	0						1		2

51

або

(ϕ1 − ϕ2)]o1/2

,

1/2

(3.151)

r12

r22

r1r2

−

A = A

1

+

1

+

2

cos[k

r

ϕ]

,

(3.152)

0

де

r = r1 − r2 називається рiзницею хода хвиль.

Коли рiзниця хода хвиль до точки спостереження така, що

= r −

ϕ = ±2mπ (m = 0, 1, 2, ...) ,

(3.153)

спостерiгається iнтерференцiйнi максимуми.

В точках, де

=

r− ϕ = ±(2m+1)π

(m = 0, 1, 2, ...) ,

(3.154)

спостерiгається iнтерференцiйнi мiнiмум.

Стоячi хвилi утворються при накладаннi двох когерентних хвиль ξ1 i ξ2, якi бiжать в деякому середовищi одна на зустрiч другiй i,

якi мають однаковi частоти i ам-	Рис. 23.
плiтуди. Плоскi гармонiчнi хвилi,

що бiжать вздовж осi x назустрiч одна однiй, можна описати си-

стемою рiвняннь

ξ1 = A cos(ωt − kx), ξ2 = A cos(ωt + kx).

Склавши цi рiвняння за тригонометричними правилами i, врахувавши те, що k = 2π/λ, отримаємо рiвняння стоячої хвилi

ξ = ξ	+ ξ = 2A cos kx cos ωt = 2A cos	2πx	cos ωt ,	(3.155)
1	2	λ

з якого можна бачити, що стояча хвиля має ту ж саму частоту ω i змiнну у просторi амплiтуду (є залежнiсть амплiтуди Aст =

52

2A cos(2πx/λ) вiд координати x). Причому, амплiтуда стоячої хвилi Aст буде максимольною, коли аргумент фунцiї cos кратний π

2πxпучн	= ±mπ (m = 0, 1, 2, ...) ,	(3.156)
λ

де xпучн – координати максимальних амплiтуд стоячої хвилi (координати пучностей стоячої хвилi). Причому

xпучн = ±m	λ	(m = 0, 1, 2, ...) .	(3.157)
	2

Аналогiчно знайдемо координати xвузл (положення вузлiв) стоя-

чої хвилi, в яких амплiтуда стоячої хвилi дорiвнює нулю

2πxвузл

= ± (m + 2)π,,

(m = 0, 1, 2, ...) .

1

1

λ

xвузл =

m +

±

2

2

Звiдки

випливає, що вiдстанi мiж двома найближнiми пучностями,

λ

або мiж двома найближнiми вузлами стоячої хвилi дорiвнює

.

2

Звуковi хвилi

Звуковими (або акустичними) хвилями називаються пружнi хвилi, що росповсюджуються в твердих, рiдиннх та газообразних середовищах, з частотами в дiапазонi 16 – 20,000 Гц (хвилi цього дiапазона сприймаються слуховим апаратом людини). Частоти нижчi, нiж 16 Гц називаються iнфразвуковими, а бiльшi, нiж 20,000 Гц – ультразвуковими.

В твердих тiлах звуковi хвилi можуть бути як продольними, так i поперечними. В рiдинах i газах росповсюджуються лише поперечнi звуковi хвилi.

Iнтенсивнiсть звуку I (або сила звука) – це енергiя W , яка переноситься звуковою хвилею за одиницю часу t крiзь одиничну

53

поверхню S в напрямку перпендикулярному до поверхнi
	W			Вт
I =		,	[I] =		.	(3.158)
	St			м2

Для кожної частоти iз звукового дiапазону iснують найменьша частота (порiг слухового вiдчуття) та найбiльша частота (порiг больового спрйняття).

Рiвень iнтенсивностi звука L дорiвнює
L = lg	I0			[L] = Б (бел),	[10 = дБ (децiбел) ,	(3.159)
		I			L]

де I0 – iнтенсивнiсть звука на порозi чутностi, яка дорiвнює для звукiв усiх частот однiй i той же прийнятiй величинi (I0 = 10−12 Вт/м2).

Швидкiсть росповсюдження звука в газах визначається за

формулою
v = s	µ		,	(3.160)
		γRT

де γ = Cp/Cv, R – молярна газова стала, µ – молярна маса газа, T

– термодинамiчна температура газа. Наприклад, швидкiсть звука в повiтрi (µ = 29·10−3 кг/моль) при T = 273 К становить v = 331 м/с.

Електромагнiтнi хвилi

Електромагнiтне поле, або змiнне електромагнiтне поле, яке розповсюджується у просторi (електромагнiтна хвиля) з кiнцевою швилкiстю, виникає там, де є змiннi у часi електричнi та магнiтнi поля. Електромагнiтнi поля розповсюджуются у просторi як хвилi, якi повнiстю описуються рiвняннями Максвела.

Електромагнiтнi хвилi дiляться на декiлька видiв: радiохвилi (дiапазон частот 3 · 105 − 3 · 1012 Гц); свiтловi хвилi (6 · 1011 − 3 · 1017 Гц); рентгенiвське (1, 5 · 1017 − 5 · 1019 Гц) та γ-випромiнювання

54

(> 5 · 1019 Гц). Вiдповiдно дiапазони довжин хвиль є: для радiохвиль – 103 −10−4 м; для свiтлових хвиль – 5 ·10−4 −10−9 м: для рентгенiвського (2 · 10−9 − 6 · 10−12 м) та γ-випромiнювання (> 6 · 10−12 м).

Диференцiальнi рiвняння електромагнiтної хвилi

Якщо еклектромагнiтне поле це електромагнiтнi хвилi, то, у разi розповсюдження цих хвиль у однородному iзотропному середовищi, що розташовано далеко вiд зарядiв i струмiв, якi утворють електромагнiтне поле, то, згiдно з рiвняннями Максвела, вектори

→→

напруженостi E i H змiнного електоромагнiтного поля повиннi задовольняти хвильовим рiвнянням:

→

1

∂

2

→

E

E=

(3.161)

v2

∂ t2

→

1

∂

2

→

H

H=

.

(3.162)

v2

∂ t2

де =

∂2

∂2

∂2

– оператор Лапласа, v – фазова швидкiсть

+

+

∂x2

∂y2

∂z2

хвилi v, яка дорiвнює

v

1

1

c

,

(3.163)

=

=

√

√

√

ǫ0 µ0

ǫ µ

ǫ µ

де швидкiсть c = 1/√

, ǫ0

i µ0

– вiдповiдно електрична та

ǫ0 µ0

магнiтна сталi, ǫ i µ – вiдповiдно електрична та магнiтна проникливiстi середовища.

→→

Вектори пружностi E та H змiнного у часi електромагнiтного поля взаємно перпендикулярнi в любий довiльний момент часу i перпендикулярнi до напряму вектора швидкостi розповсюдження

→	→	→ →
електоромагнiтної хвилi v так, вектори E,		H i v утворюють пра-

вогвиртову систему векторiв (рис. 24).

55

→ →

Для електромагнiтної хвилi вектори E, i H у любий час коливаються у однакових фазах.

Амплiтуди (миттєвi значення E i H) електромагнiтних хвиль в любий час i в любiй довiльнiй точцi простору зв’язанi спiввiдношенням

√ε0 ε E = √µ0 µ H. (3.164)

Рiшення диференцiальних рiв-

нянь, якi вiдповiдають попе-

речнiй електромагнiтнiй хви-

Рис. 24.

лi

∂2 Ey

1

∂2 Ey

=

,

(3.165)

∂x2

v2

∂t2

∂2 H

1

∂2 H

z

=

z

,

(3.166)

∂x2

v2

∂t2

є рiвняння плоскої електромагнiтної хвилi

Ey = E0 cos (ωt − kx + ϕ) ,

(3.167)

2π

2π

ω

Hz = H0 cos (ωt − kx + ϕ) ,

(3.168)

k =

=

=

– хвильове число, ϕ – початкова фаза коливань

vT

λ

~

v

~

векторiв E та H в точках з координатою x = 0.

Енергiя електромагнiтної хвилi. Iмпульс електромагнiтного поля

Як люба хвиля, електромагнiтна хвиля має переносити iнергiю. Об’ємна густина w енергiї електромагнiтної хвилi складається з об’ємної густини електричного wел та об’ємної густини магнiтного

wм полiв		ε E2			µ H2
	ε0			µ0
w = wел + wм =			+			.	(3.169)
		2			2

56

Враховуючи спiввiдношення 3.164, отримаємо, що wел = wм. Тому

w = 2 w

= ε

ε E2 =

√

E H =

1

E H .

(3.170)

ε

ε

√

µ

µ

ел

0

0

0

v

Помноживши плотнiсть електромагнiтної w хвилi, що росповсюджується в середовищi, на швидкiсть хвилi v, отримаємо модуль

~
вектора S – потока густини енергiї
S = w v = E H	(3.171)

Вектор Умова – Пойтiнга

~ ~

Оскiльки вектори E i H електромагнiтної хвилi взаємно пепендикулярнi та перпендикулярнi до напрму росповсюдження електромагнiтної хвилi, який спiвпадає з напрямом переносу енергiї хви-

~ потоку електромагнiтної енергiї

лею, вводиться вектор S . Век-

~
тора S, що є коленiарний звектором швидкостi ~v хвилi, називається
вектором Умова-Пойтiнга
→ → →	S = w v = E H sin 90	0	= E H,	(3.172)
S= hE Hi
~	~

де враховано, що E i H для електромагнiтної хвтлi взаємно перпендикулярнi.

Якщо електромагнiтна хвиля поглинається (вiдбивається) тiлами, то хвиля повинна здiйснювати на тiла тиск, при якому змiнiється iмпульс електромагнiтного поля так само, як молекули газу, утворюючи тиск на внутрiшню поверхню посудни, змiнiють свої iмпульси. Виходячи iз загальних мiркувань, модуль iмпульса p електромагнiтної хвилi можна представити через енергiю поля W i швидкiсть c свiтла у вакуумi

p = W/c

(3.173)

Дiйсно, iмпульс тiла p масою m, яке рухається зi швидкiстю v дорiвнює

	p = mv =	F	v =	F ·	X	=	W	,	(3.174)
		a		a ·	t		v

57

де X – модуль вектора перемiщення маси m.

Якщо для електромагнiтної хвилi, яка росповсюджеється зi швидкiстю свiтла c, iмпульс дорiвнює p = mф c = W/c В даному випадку mф – вiртуальна маса, або маса корпускули (фотона) електромагнiтного поля. Звiдки отримаємо залежнiсть енергiї електромагнiтного поля W вiд маси mф та вiд швидкостi c хвилi (корпускули електромагнiтного поля) у вакуумi

W = mф c2

(3.175)

Лекцiя №8

Елементи геометричної оптики

Закони вiдбиття та заломлення

1. Свiтло в оптично однорiдному середовищi розповсюджується прямолiнiйно (закон прямолiнiйного розповсюдження свiтла).

2.Ефект дiї окремiх свiтлових пучкiв не залежить вiд того, який ефект можуть здiйснювати, чи не здiйснювати у той же час iншi свiтловi пучки – закон незалежностi (cуперпозицiї) свiтлових пучкiв.

3.Свiтловий пучок, який потрапляє на межу роздiлу двох однорiдних середовищ рiзної оптичної густини, роздiляється на два

-вiдбитий та заломлений, або утворюється тiльки вiдбитий пучок свiтла.

4.Вiдбитий промiнь свiтла вiд площини, яка роздiляє два середовища з рiзною оптичною густиною лежить в однiй площинi, в якiй знаходяться падаючий промiнь свiтла та перпендикуляр до площини роздiлу середовищ, возведений в точцi падiння свiтлового промiня. Кут вiдбиття i′1 дорiвнює куту падiння i1, якi вiдлiковуються вiд нормалi до площини роздiлу середовищ

i1′ = i1.

(3.176)

58

5. Падаючий, заломлений, вiдбитий промiнi та нормаль, возведена в точцi падiння промiня на площину роздiлу двох середовищ. Кут заломленого променя i2, який вiлiковується теж вiд нормалi до площини роздiлу середовищ, визначається iз спiввiдношення

sini1/sini2 = n21,

(3.177)

де n21 – вiдносний показник заломлення другого середовища вiдносно першого.

6. Вiдносний показник заломлення двох середовищ n21 дорiвнює

	вiдношенню їх абсолютних показникiв заломлення n1 та n2
	n21	=	n2	,	(3.178)
			n1

де n1 i n2 абсолютнi показники заломлення, якi характеризують в скiльки разiв швидкiсть свiтла у даному середовищi v меньша, нiє у вакуумi c

ni =	c	,	(3.179)
	vi

а вiдносний показник заломлення n21 характерезує во скiльки разiв швилкiсть свiтла у другому середовищi меньша, нiж у першому

	n21	=	n2	=	c/v2	=	v1	,	(3.180)
			n1		c/v1		v2

7. Якщо свiтло проходить через межу подiлу двох середовищ iз меньш оптично густiшого середовища ц бiльш оптично густiше середовище (наприклад, з води у скло)

n21 = n2/n1 = v1/v2 > 1.

(3.181)

8. При падiннi свiтла iз середовища з бiльшою. оптичною густиною на межу з середовищем, яке має меньшу оптичну густину, iснує максимальний кут падiння iг – граничний кут повного вiдбиття. Якщо кут падiння свытла превищує величину кута iг, свтлоне виходить за межу подылу середовищ, а повнiстю вiдбивається вiд неї.

59

Цей кут залежить вiд зачення вiдносного показника заломлення

n < 1
1
iг = arc sin		.	(3.182)
	n

Тонкi лiнзи

Лiнза – прозоре тонке тiло, яке обмежано двома сферичними поверхнями, Лiнза називається тонкою, якщо її товщина мала порiвняно з радiусами кривизни поверхонь; Основнi єлементи тонкої лiнзи:

1) Головна оптична вiсь – пряма, що проходить через центр сферичних поверхонь лiнзи;

2) Оптичний центр лiнзи знаходиться на головнiй оптичнiй осi лiнзи, маючи таку властивiсть, що промiнь, який проходить крiзь неї не переломлюється;

3)Побiчна оптична вiсь – будь яка пряма, яка проходить через оптичний центр лiнзи;

4)Фокус – точка, в якiй збираються всi промiнi, що падають на лiнзу паралельно головнiй оптичнiй осi (для збиральної лiнзи), або збираються продовженны розсiяних променiв (для розсiювальної

лiнзи);

5) Фокусна вiдстаь – вiдстань вiд оптичного центра лiнзи до її фокусу;

6)Фокальна площина – площина, прведена через фокус лiнзи перпендикулярно до головної осi i, яка характерна тим, що всi променi, якi падають на лiнзу паралельно до побiчної осi, збираються

вточцi перетину фокальної площини та даної побiчної осi;

7)Оптичний центр лiнзи, яка збирає свiтло, знаходиться у

найтовшому мiсцi лiнзи. Промiнi, що падають на лiнзу паралельно до головної оптичноосi, збираються у фокусi;

8) Оптичний центр лiнзи, яка розсiює свiтло, знаходиться у

60