Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

Рис. 41.

виглядi
1			n
tg iБрюст		=		cos iБрюст = sin β .	(3.237)
	sin β		cos iБрюст

Оскiльки тригонометричнi функцiї sin та cos зсунутi одна вiдносно другої вздовж осi абсцис на кут π/2 = 900. Тобто

iБрюст = π/2 − β iБрюст + β = π/2 .

(3.238)

Звiдки кут γ мiж вiдбитковим та заломленим промiнями дорiвнює

γ = π − (iБрюст ′ + β) = π − (iБрюст + β) = π − π/2 = π/2 , (3.239)

де кут iБрюст ′ – кут вiдбиття (рис. 40), який, згiдно з законом вiдбиття свiтла, дорiвнює куту падiння iБрюст свiтла.

Ступiнь поляризацiї заломленого промiня може бути значно пiдсилена, якщо скласши декiлька пластинок разом, так, що б на кожну наступну пластинку свiтло падало також, як i на першу, пiд кутом Брюстера iБрюст. Ця сукупнiсть великого числа плоскопараллельних пластин називається стпою та застосовується в оптичних приладах як поляризатор свiтла.

Поворот площини поляризацiї

Кут повороту плошини поляризацiї монохроматичного свiтла ϕ при проходженнi крiзь шар оптично активної речовини (рис. 41) товщиною d є

ϕ = α d,

(3.240)

де α – стала обертання.

Для оптично активних рiдин концентрацiєю n кут повороту площини поляризацiї є

ϕ = [α] d,

(3.241)

81

де W випр

ν, ν+dν

де [α] – питома обертання.

Лекцiя №12

§ 4. Квантова природа виппромiнювання

Квантова теорiя теплового випромiнювання

Свiчення тiл, яке обумовлено їх нагрiванням, називається тепловим (температурним) випромiнюванням.

Теплове випромiнювання (єдиний вид випромiнювання), яке є рiвноважним – за одиницю часу нагрiте тiло випромiнює i поглинає однакову кiлькiсть теплової енергiї, а iнакше, тiло повинно було би нагрiватися, або охолоджуватись.

Кiлькiстна характеристика теплового випромiнювання є спек-

тральна густина енергетичної свiтнiстi (випромiнюваннiсть) тiла Rν,T – потужнiсть випромiнювання площини поверхнi тiла, яка дорiвнює одинiцi площини, в iнтервалi частот одиничної шири-

ни	випр
	dWν, ν+dν			випр
Rν,T =				d Wν, ν+dν			= Rν,T dν, .			(4.242)
	dν
								c
Враховуючи те, що ν = c/λ i те, що dν							= −		dλ, вираз (4.242)
								λ2
перепишемо у виглядi
			випр
		d Wν, ν+dν = Rλ,T dλ,
					λ2
			Rν,T	= −Rλ,T		,				(4.243)
					c

– енергiя випроиiнювання за одиницю часу (потужнiсть випромiнювання) з одиницi площини поверхнi тiла у iнтервалi частот вiд ν до ν + dν. В виразi (4.243) знак ” - ” означає те, що при зростаннi, наприклад, ν, довжина хвилi λ зменьшується i, тому,

82

далi на цей знак не будемо звертати увагу, бо потужнiсть теплового випромiнювання є завжди додатня величина.

Розмiрнiсть спектральної густини енергетичної свiтностi Rν,T – Дж/м2.

Здатнiсть тiл поглинати падаюче на них випромiнювання характеризується спектральною поглинальною здатнiстю Aν,T , яка дорiвнює

		d W погл
A	=		ν, ν+dν	.	(4.244)
ν,T		d Wν, ν+dν
Величина Aν,T	показкє, яка доля принесе-
ної енергiї за одиницю часу на одиницю по-
верхнi iз зовнi до тiла за допомогою електро-
магнiтних хвиль з частотами в iнтервалi вiд						Рис. 42.
ν до ν + dν, поглинається тiлом.
Величини Rν,T	i Aν,T		залежать вiд природи тiла, його термоди-

намiчної температури.

Тiло, яке здатне при любiй температурi повнiстю поглинати падаюче на нього випромiнювання будь якої частоти називається абсолютно чорним тiлом. Приклад абсолютно чорного тiла приведена на рис. 42. Завдяки багаторазовому вiдбиттю свiтла вiд внутрiшньої поверхнi тiла, яка вкрита шаром поглинаючеї речовини, свiтло, що попадає у сферу, не виходить з неї. Згiдно з визначенням для абсолютно чорного тiла спектральна поглинальна здат-

нiсть дорiвнює
Aν,Tч ≡ 1.	(4.245)

Для сiрого тiла, якими є всi тiла (абсолютно чорних тiл не iснує)

Aν,Tсiр = const < 1

(4.246)

83

Закон Кiрхгофа

Вiдношення спектральної густини енергетичної свiтнiстi (випромiнюваннiстi) тiла Rν,T до величини спектральної поглинальної здатностi Aν,T не залежить вiд характеристик тiла i для всiх тiл є унiверсальною функцiєю rν,T , яка залежить вiд частоти (довжини хвилi) випромiнювання та температури

Rν,T	= r .	(4.247)
Aν,T	ν,T

Для абсолютно чорного тiла Aν,T = 1 i унiверсальна функцiя rν,T в законi Кiрхгофа (вираз 4.247) дорiвнює спектральнiй густинi енр-

гетичної свiтностi Rч	абсолютно чорного тiла
ν,T
	r	= Rч .	(4.248)
	ν,T	ν,T

Виходячи з закону Киргофа, iнтегральна енергетична свiтность тiла дорiвнює

	∞
RT = Z0		Aν,T · rν,T dν.		(4.249)
Для, так званого, сiрого тiла iнтегральна свiтнiсть дорiвнює
	∞
RTсiр = Aν,Tсiр	Z0	rν,T dν = AT · Rе,		(4.250)
де		∞
Aν,Tсiр = AT = const < 1,		Rе = Z0	rν,T dν.	(4.251)

Закон Стефана – Больцмана

Iнтегральна енергетична свiтнiсть абсолютно чорного тiла пропорцiйна четвертiй степенi його термрдинамiчної температури

Re = σ T 4,

(4.252)

84

де σ – стала закону Стефана – Больцмана (σ = 5, 67 · 10−8 Вт/(м2 · К4)).

Закон змiщення Вiна

При збiльшеннi температури максимум функцiї випромiнювальної здатностi rλ,T абсолютно чоного тiла змiщується в бiк бiльш коротких хвиль

λmax = b/T,

(4.253)

де b – стала Вiна (b = 2, 9·10−3 м·К). Змiщення максимуму функцiї

Кiргофа у бiк коротких довжин свiтлової хвилi при зростаннi тем-

ператури приведено на рис. 43. Рис. 43. Прилади, що вимiрюють тем-

пературу на вiдстанi без посереднього контакту з тiлом, принцип дiї якиї базується на законi Вiна (вираз (4.253)), називаються пирометрами.

Формула Рилея – Джинса i Планка

Основна задача теорiї свiтлового випромiнювання та поглинання полягає в знаходженнi явного виду унiверсальної функцiї енергетичної свiтностi Кiхгофа rν,T .

Застосувавши метод статистичної фiзики, була знайдена формула Рилея–Джинса для визначення функцiї rν,T , яка базується на законах рiвномiрного розподiлу енергiї по степенях вiльностi ко-

85

	ливань			2 π ν2		2 π ν2
	r		=		< ǫ > =		k T,	(4.254)
		ν,T
				c2		c2

де < ǫ >= k T – середня енергiя осцiлятора з власною частотою ν. Як з’ясувалось, вираз (4.254) узгоджується з експериментальними данними лише для малих частот електромагнiтних хвиль (рис. 44) та для великих температур. Є також абсурдним i те, що iнтегральна енергетична свiтнiсть абсолютно чорного тiла дорiвнює

∞		k T	∞
Re = Z0	rν,T dν =	2 π	Z0	ν2 dν = ∞ ,
		c2

(4.255)
а не дорiвнює T 4, як це передумовлює емпе-
ричний закон Стефана-Больцмана. Вираз
(4.254) також не узгоджується з законом	Рис. 44.
змiщення Вiна, бо унiвесальна функцiя Кiрх-
гофа за формулою Рилея-Джинса (4.254)

не має максимуму (рис. 44).

Для узгодження теоретичних та експериментальних данних в областi великих частот була запропонована формула Вiна (закон випромiнювання Вiна) – нова формула унiверсальної функцiї

енергетичної свiтностi Кiрхгофа
rν,T = Cν3A exp −	Aν	,	(4.256)
	T

де A i C – сталi величини закону випромiнювання Вiна. В сучасних позначеннях формула закону Вiна (4.256) може бути переписано у виглядi

rν,T =	2πhν	exp −	hν	,	(4.257)
	c2		kT

е h – стала Планка, c – швидкiсть свiтла у вакуумi.

86

Знiдно з квантовою гiпотезою Плака енергiя E поглинається i випромiнюється дискретними порцiями, якi кратнi кванту енергiїї ε0 (E = nǫ0 = n h ν = n h c/λ; n = 0, 1, 2, . . . ; h = 6, 625 ·

10−34 Дж с – стала Плака). В цьому випадку уневерсальна функ-
	·
цiя Кiрхгофа (густина енергетичної свiтнiстi rν,T ) має вигляд
r			2 π ν2		h ν		2 π h ν3	1		.	(4.258)
	ν,T	=				=
			c2				c2
					eh ν/(k T ) − 1				eh ν/(k T ) − 1

Формулу Планка (4.258) отримано з (4.254), в якiй середня

енергiя осцилятора < ǫ > з власною частотою ν дорiвнює
	hν
< ǫ >=		.	(4.259)
	eh ν/(k T ) − 1

Формула Планка (4.258) узгоджується з експериментальними данними у всьому диапазонi частот. Для малих частот (hν kT )

ehν/(kT ) =	1 +	hν		ehν/(kT )	−	1 =	hν	.	(4.260)
		kT
						kT

Пiсля пiдстановки (4.260) в (4.258) отримаємо формулу Релея-Джинса

r		=	2πhν3	1		=	2πν3	kT	(4.261)
	ν,T
			c2		hν/(kT )		c2

Фукцiя, яку описує формула Планка має максимум i, тому процедура iнтегрування її по частотах має давати сталу величiну. Тобто iнтегральна енергетична свiтнiсть абсолютно чорного тiла Re дорiвнює

∞∞

Re = Z	rν,T dν = Z	2πhν3	1				dν .	(4.262)
		c2		ehν/(kT )	−	1
0	0

В виразi (4.262) перейдемо до нової змiнної iнтегрування – для цього домножимо i подiломо ций вираз на kTh

∞

2πhν3 kT

1

d

hν

=

2πkT

∞

ν3

Re = Z

Z

dx ,

c2 h

ehν/(kT )

−

1

kT

c2

ex

−

1

0

0

(4.263)

87

= 5, 67 · 10−8

де x = hν/kT . Враховуючи цю замiну (v3 = x3/(h k T )3), отримаемо

2πk4

∞

x3

2πk4

π4

2π5k4

Re =

T 4

Z0

dx =

T 4

=

T 4 .

(4.264)

c2h3

ex − 1

c2h3

15

15c2h3

∞ x3dx

π4

Останнiй вираз (4.264) отримано за умови, що Z0

=

, i яв-

ex − 1

4

ляє закон Стефана-Больцмана – Re = o T 4. Причому, сталу закону Стефана-Больцмана можна обчислити за формулою

o = 2π5k4 [Вт/(м2 · К−4)] . (4.265)

15c2h3

Закон змiщення Вiна можна отримати, якщо знайти довжину хвилi, яка вiдповiдає максимальному значенню уiнiверсадьної функцiїї Кiрхгофа (4.258). Для цього необхiдно прирiвняти похiдну вiд

спектральної густини свiтностi тiла rλ,T = c · rν,T по довжинi хвилi

λ2

λ до нуля

drλ,T

d

c

rν,T

= 0

·

= 0 .

(4.266)

dλ

dλ

λ2

Враховуючи те, що

r =

2πhν3

1

=

2πc2h

1

,

(4.267)

ν,T

c2

ehν/(kT ) − 1

λ5

ehc/(kT λ) − 1

отримаємо трансцендентне рiвняння для знаходження λmax

y ey − 5(ey − 1) = 0 ,

де

y

=

h c

.

(4.268)

k T λ

Рiшення рiвняння (4.268) методом послiдових iтерацй дає значення кореня y = hc/(kT λmax) = 4, 965. Звiдки одержуємо рiвняння закону змiщення Вiна

T λmax =	hc	= b λmax = b/T ,	(4.269)
	4, 965 k

88

Рис. 45.

де b = 4, 965 k = 2, 9 · 10−3 [м · К].

Отже формула Планка (вираз 4.258) для спектральної густини енергетичної свiтностi абсолютно чорного тiла мiстить в собi всi закони теплового випромiнювання i є опосередненим доказом iснування квантової природи свiтла.

Лекцiя №13

Зовнiщнiй фотоефект

Зовнiшним фотоефектом

називається явище, яке пов’язано з iмiтуванням (вибиванням) електронiв провiдностi з об’єму металу пiд дiєю свiтла (або електромагнiтного випромiнювання). Зовнiшнiй фотоефект спостерiгається в твердих тiлах (металах, напiвпровiдниках, дiєлектриках), а також в газах на окремих молекулах або атомах ( фотоiонiзацiя).

Внутрiшнiй фотоефект - це стимульований електромагнiтним випромiнюванням (свiтлом) перехiд електронiв в об’мi напiвпровiд-

никiв або дiелектрикiв iз зв’язаного у вiльний стан електронiв (електронiв провiдностi) без виходу їх за межi об’му твердого тiла в оточуючий простiр.

Вентiльний фотоефект – представляє часний випадок внутрiшнього фотоефекту, коли виникає фото-ЕРС при опромiнюваннi контакту двох рiзних напiвпровiдникiв або напiвпровiдника та ме-

89

талу. Тобто вентiльний фотоефект вiдкриває можливiсть його застосування для прямого перетворення сонячної енергiї в електричну.

Вольт-амперна характеристика – залежнiсть фотоструму I, який утворюєnmcя електронами, що iмiтуються катодом пiд дiєю свiтла, вiд напруги U мiж електродами пояснюється. Експериментальна схема для спостереження зовнiшнього фотоефекту наведена на рис. 45.

Закони зовнiшнього ефекту

Вольт-ампернi характеристики мають такi особливостi:

1) iз зростанням наприги U мiж катодом та анодом фотострум зростає, а пiсля деяких значень рiзницi потенцiалу при збiльшеннi напруги U фотострум перестає збiльшуватися i дорiвнює фотоструму насичення Iнас;

2) значення фотоструму насичення Iнас залежить вiд енергiї свiтла (електромагнiтного випромiнiнювання), що попадає на катод – iз зростанням енергiї випромiнювання зростає фотострум насичення. Цi двi особливостi пояснюються тим, що при зростаннi напруги U зростає кiлькiсть електронiв, якi досягають аноду (зростання фотоструму), а при подальшому зростаннi напруги U всi фотоектрони, якi iметуються катодом за одиницю часу, дiстаються до аноду i їх кiлькiсть можна збiльшити лише за умови, що збiльшується енергiя випромiнювання (свiтла). Тобто,

Iнас = e · n,

(4.270)

де n – кiлькiсть фотоелектронiв, якi iметує катод, якщо енергiя електромагнiтного випромiнювання, що падає на катод, дорiвнює деякiй фiксованiй величинi; e – заряд електрона.

90