Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

Для випадку, коли розглядається RLC-контур, добротнiсть дорiвнює

Θ = R r			C	(3.116)
1			L

i характеризує швидкiсть затухання амплiтуди коливань.

Рiвняння вимушених коливань

Диференiальне рiвняння вимушених коливань заряду Q(t)

в RLC-контурi є

d2Q(t)	+	R dQ(t)			+	1	Q(t) =	Uвн	cos ωвнt,	(3.117)
dt2		L dt				L C		L

де Uвн i ωвн – вiдповiдно амплiтуда i частота вимушених коливань. Розв’язок рiвняння (3.117) дає залеж-

нiсть амплiтуди Qm вимушених коливань заряду вiд частоти ωвн вимушених коливань. Аналiз цiєї залежностi показує, що амплiтуда Qm приймає максимальне значення, якщо частота коливань зовнiшнього генератора ωвн дорiвнює частотi ωрез

				Рис. 20.
	ωрез = qω02 − 2δ2 .
				(3.118)

Це явище, що називається резонансом – значне збiльшення амплiтуди коливань, спостерiгається, якщо частота зовнiшнього генератора спiвпадає з резонансною частотою (3.118).

Резонансная крива – крива залежностi вiдношення амплiтуди A власних коливань системи до амплiтуди Aвн коливань зовнiшнього генератора вiд частоти коливань зовнiшнього генератора як представлено на рис. 20.

Виходячи з виразу для резонансної частоти (вираз (3.118)), можна зауважити, що iз збiльшенням R (або δ) резонансна частота

41

ωрез

зменьшується (максимум резонансної кривої перемiщюється в бiк меньших частот), що i представлено на рис. 20. Крiм того, зростання R приводить до "розширення" резонансної кривої та "зменьшення" висоти пiку кривої.

Складання гармоничних коливань одного напрямку та однакової частоти

Розв’яжемо цю задачу на прикладi механичних коливань. Припустимо, що одна i таж частинка середовища може приймати участь вiдразу у декiлькох коливальних процесах i, тому, для того,щоб визначити коливання цiєї частинки, необхiдно знайти результуюче коливання. Припустимо, що частинка в одночас приймає участь у двох коливаннях, якi вiдбуваються в одному i тому ж напрямку з однаковою частотою, але у рiзних фазах. Коливання частки середовища вздовж осi OX можна представити наступним чином

x1 = A1 cos(ω0t + ϕ1) , x2 = A2 cos(ω0t + ϕ2) .

Складемо цi коливання методом обертового руху вектора амплiтуди (коливальний процес представляє вектор (рис. refvect), що обертається з частотою ω0, а довжина вектора дорiвнює амплiтудi коливання). Тобто вектори ~x1 i ~x2 обертаються з однаковою частотою i з постiйною рзницею фаз, що дорiвнює ϕ = (ϕ2 − ϕ1).

Згiдно з теоремою косiгусiв сумарне коливання частинки буде

описуватися вектором ~x
~x = ~x1 + ~x2 = A cos(ω0t + ϕ) ,	(3.119)

де A i ϕ – вiдповiдно амплiтуда i фаза сумарного коливання, якi дорiвнюють

q

A = A21 + A22 + 2A1A2 cos ϕ ; (3.120)

42

tg ϕ =	A1 sin ϕ1	+ A2 sin ϕ2	(3.121)
	A1 cos ϕ1	+ A2 cos ϕ2

Розглянемо два випадки, коли рiзниця фаз φ = ϕ2 − ϕ1 дорiвнює 1) ϕ = ±2mπ (m = 0, 1, 2, ...) i cos ϕ = 1, амплiтуда A складного коливання дорiвнює простiй сумi амплiтуд двох коливань A =

A1 + A2.

2) ϕ = ±(2m + 1)π (m = 0, 1, 2, ...) i cos ϕ = −1, амплiтуда

A складного коливання дорiвнює рiзницi амплiтуд окремих двох коливань A = |A1 − A2|.

Роглянемо випадок, складаються двох ко-
ливаннь однакового напрямку з однаковими
амплiтудами A, але якi мають рiзнi часто-
ти ω i ω + ω (сумарне коливання має на-
зву бiїння). Припустимо, що початковi фа-
зи обох коливань дорiвнюють нулю
x1 = A cos ωt ,
x2 = A cos(ω + ω)t .
					Рис. 21.
Пiсля "тригонометричного" складання двох коливань, враховуючи
те, що ω/2 ω, отримаємо сумарне x коливання
		x = 2A cos	ω	t cos ωt .	(3.122)
			2
Коливання (3.122) можна розглядати як
квазiгармонiчнi коливання з частотою ω i
змiнною у часi амплiтудою Aбн. Тобто, ко-
ливання (3.122) перепишемо як
x = Aбн cos ωt ,			(3.123)
де Aбн = 2A cos	2ω t – переодична функцiя

амплiтуди бiїнь, яка змiнюється з частотою

43

ω, бо функцiя "cos" для амплiтуди коливання береться за модулем. Тобто амплiтуда

Aбн представляє повiльну периодичну функцiю амплiтуди ("огинаючу"), яка мiстить швидкi коливання з частотою ω.

Функцiя бiїнь (3.122) пред-
ставлена на рис. 22 за до-
помогою суцiльної лiнiї, пунк-
тирнi лiнiї – функцiя ам-
плiтуди бiїнь. На рис. 22 та-
кож показано як визна-
чаються перiод квазiгар-
монiчних коливань T =
2π/ω та перiод амплiтуди	Рис. 22.
бiїнь Tбн = 2π/ ω.

Складання гармоничних взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти

Розглянемо результат складання двох гармонiчних коливань з однаковою частотою ω, що одночасно вiдбуваються у двох взаємно перпендикулярних напрямках (вздовж, наприклад, осей ox i oy)

x = A cos ωt ;

y = B cos(ωt + α) ,

(3.124)

де α – постiйна у часi рiзниця фаз двох коливань, A i B – амплiтуди цих коливань.

Систему рiвняннь розв’яжемо методом виключення однiєї невiдомої величини, наприклад, t з системи рiвняннь 3.124. Для цього перепишемо систему рiвняннь 3.124 в такому виглядi

Ax = cos ωt;

44

y

= cos(ωt + α) = cos(ωt) cos

α − sin(ωt) sin α .

(3.125)

B

Враховуючи те, що cos ωt = x/A, а sin ωt = √

=

1 − cos2 ωt

= r1 −

x

2

, рiвняння 3.125 перепишемо у виглядi

A

y

x

x

2

−

cos α = −r1

−

sin α .

(3.126)

B

A

A

Пiсля возведення до квадрату лiвої та правої частин рiвняння 3.126 отримаємо

x2			2xy		y2			x2
	cos2	α −		cos α +		= sin2	α −		.	(3.127)
A2			AB		B2			A2

Пiсля зведення подiбних додаткiв рiвняння 3.127 приймає вигляд рiвняння елiпсу

x2		2xy		y2
	−		cos α +		= sin2 α ,	(3.128)
A2		AB		B2

головнi вiсi якого орiєнтованi довiльно вiдносно осей координат x та y.

Оскiльки кiнець вектора результуючого коливання описує елiпс (користуючись методом векторних дiаграм), сумарне коливання називається елiптично поляризованим.

Орiєнтацiя та розмiри елiпсу залежать вiд амплiтуд A та B i вiд рiзницi фаз α двох взаємно пепендикулярних коливань:

1) коли α = mπ (m = 0, ±1, ±2, ...), елiпс перероджується у пряму

лiнiю
	B
y = ±		x .	(3.129)
	A

i результуєче коливання в данному випадку є лнiйно поляризова-

ним гармонiчним коливанням з частотою ω та амплiтудою C =

√

A2 + B2; кут ϕ цiєї лiнiї з вiсью x становить

ϕ == arctan BA cos(mπ) ;

45

2) коли α = (2m + 1)	π	(m = 0, ±1, ±2, ...), рiвняння 3.128 приймає
	2
вигляд елiпсу			x2		y2
				+		= 1 ,	(3.130)
			B2		B2

вiсi якого спiвпадають з осями ординат x та y, а елiптичнiсть якого залежить вiд спiввiдношення мiж амплiтудами A та B (у випадку, коли A = B, сумарне коливання стає циркулярно поляризованим гармонiчним коливанням, бо кiнець вектора сумарного коливання описує коло.

Лекцiя №7

Пружнi хвилi

.Процес розповсюдження коливань у межах пружного средови-

ща з деякою постiйною швидкiстю називається хвильовим процесом (або пружною хвилею).

Пружнi хвилi переносять енергiю збудження хвилi i не переносять частинки пружного середовища (частинки середовища знаходяться у коливальнрухах вiдносно положень рiвноваги, якi є нерухомими).

Iснує два типи пружних хвиль: поперечнi, якi розповсюджуються лише в твердих тiлах, де є деформацiя зсуву, та повздовжнi, якi можуть розповсюджуватися в газах, рiдинах, та твердих тiлах.

Вiдстань мiж двома найближчими частинками середовища, якi коливаються у одноковiй фазi, є довжина хвилi λ. Це вiдстань, на яку розповсюджилась зi швидкiстю v у середовищi деяка означена фаза коливань за час, що дорiвнює перiоду коливань T

	λ = v T	v =	λ	= λ ν.	(3.131)
			T

46

Рiвняння хвиль, що бiжать. Фазова швидкiсть

Хвилi, що бiжать називаються такi хвилi, якi переносять енергiю вiд одних точок до iнших точок середовища, якi кiлькiстно характерезується вектором Умова-Пойтiнга.

Коливаня частинок середовища, якi розповсюджуються у напрямку осi ox, можна описати за допомогою спiввiдношення, яке

має назву, рiвняння хвилi, що бiжить
x	+ ϕ0i = A cos (ω t ± kx + ϕ0) . (3.132)
ξ(x, t) = A cos hω t ± v

Це спiввiдношення вказує на те, що ξ(x, t) є переодичною функцiєю не тiльки часу, но i переодичною функцiєю координати x. Знак плюс, чи мiнус обирається в залежностi вiд напряму розповсюдження хвилi вiдносно напрямку обраної осi ox. Хвилю можна характеризувати (вираз (3.132)) за допомогою хвильового числа k, яке визначається за виразом

	2 π		2 π		ω
k =		=		=		.	(3.133)
	λ		v T		v

В рiвняннi (3.132) хвилi, що бiжить, A – амплiтуда хвилi, (ω t ± kx + ϕ0) – фаза хвилi, ϕ0 – початкова фаза хвилi.

Фаза хвилi є фукцiєю як часу t так i координати x. Геометричне мiсце точок середовища, до яких дiстається хвиля в момент часу t, називається волновим фронтом.

Геометричне мiсце точок, якi коливаються в однаковiй фазi, називається волновою поверхнею.

Двi найпростiшi форми волнових поверхней (площиннi та концентричнi) вiдповiдають двом типам хвиль: плоским, або сферичним.

Фазова швидкiсть – це швидкiсть v розповсюдження незмiнної

фази хвилi, коли
ω(t − x/v) + ϕ0 = const,	(3.134)

47

Доведемо це, продеференцювавши праву та лiву частини виразу (3.134) для постiйної фази, попередньо подiливши його на ω,

t −	x	+	ϕ0	= const′		1 −	1 dx			= 0 .	(3.135)
	v		ω				v		dt

Звiдки отримаємо, що дiйсно швидкiсть v для незмiнної фази хвилi (тобто фазова швидкiсть) є

v =	dx	.	(3.136)
	dt

Враховуючи визначення хвильового числа (вираз (3.133)), отримаємо, що фазова швидкiсть дорiвнює

v =	ω	.	(3.137)
	k

Рiвняння сферичної хвилi, що бiжить, вiдрiзняється вiд плоcrої хвилi тим, що для неї амплiтуда згасає пропорцiйно 1/r (r – вiдстань вiд джерела коливання до точки середовища, до якої дiста-

	лась хвиля)	A0
	ξ(r, t) =		cos (ω t ± kx + ϕ0) ,	(3.138)
		r

Дисперсiєю хвиль називається залежнiсть фазової швидкостi хвилi вiд її частоти v = ω/k, а середовище, в якому зпостерiгається дисперсiя, називається диспергуючим середовищем.

Доведено, що вираз (3.132)), який выдповiдає розповсюдженню хвиль в однородному iзотропному середовищi, є рiшенням хвильо-

вого рiвняння у часних похiдних, яке має вигляд

∂2ξ

∂2ξ

∂2ξ

1 ∂2ξ

(3.139)

+

+

=

∂ x2

∂ y2

∂ z2

v2

∂ t2

або

1

∂2 ξ

ξ =

,

(3.140)

v2

∂ t2

48

де – оператор Лапласа, який дорiвнює

	∂2		∂2		∂2
=		+		+		.	(3.141)
	∂x2		∂y2		∂z2

Для плоскої хвилi рiвняння (3.139) зпроститься до наступного виразу

∂2ξ		1 ∂2ξ
	=				.	(3.142)
∂ x2		v2		∂ t2

Принцип суперпозицiї для хвиль. Гуртова швидкость

Для хвиль также як для електромагнiтних полiв виконується принцип суперпозицiї (або ефект накладання хвиль однiєї на одну при їх розповсюдженнi в лiнiйнiйному середовищi). При цьому, кожна iз хвиль розповсюджується так, якби iншi хвилi були вiдсутнiми, а резельтуєче змiщення деякої частинки середовища в будь-який довiльний момент часу дорiвнює геометричнiй сумi змiщень, якi отримує частинка, беручи участь окремо в кожному з хвильових процесiв.

Хвильовий пакет – це суперпозицiя хвидь, якi мало вiдрiзняються одна вiд одної по частотi ω (або хвильовому вектору k), i, якi займають в кожний момет часу обмежану область простору. Хвильовий пакет утворюється при накладаннi двох хвиль, для яких виконуються спiввiдношення

dω ω i dk k ,

(3.143)

де dω i dk – величини, на якi вiдрiзняються частоти ω i волновi чмсла k двох хвиль, що утворюють волновий пакет. Сума двох хвиль буде мати вигляд

ξ = A0 cos (ωt − kx) + A0 cos[(ω + dω)t − (k + dk)x] =
0		2		−
2A cos		t dω − x dk	cos (ωt		kx)	(3.144)

49

Ця нова хвиля вiдрiзняється вiд гармонiчної тим, що має повiльно змiнну у часi амплiтуду A

	A =		2A	0	cos		2			(3.145)
Швидкiсть	розповсюдження хвильового пакету								u	визначається як

швидкiсть перемiщення максимуму хвильового пакета при його перемiщеннi. Тобто, виходячи з виразу 3.145 для амплiтуди хвильвого пакету, рiвняння перемiщення максимуму можна знайти за умови незмiнного значення аргументу функцiї "cos" амплiтуди хвильово-

го пакету
tdω − xdk = const .							(3.146)
Звiдки
xdk = const′ + tdω					dω
				x = const” +		t .
					dk
Гуртова швидкiсть u дорiвнює
u =	d x	=	d ω	.			(3.147)
	d t
			d k

Зв’язок мiж гуртовою та фазоврю швидкостями можна визначити, згадавши визначення хвильвого числа 3.133, i пiсля дифференцювання виразу ω = k v по k, памятаючи, що за визначенням k = 2π/λ

u = dk

=

dk

= v + k dk = v + k dλ

· dk

=

(3.148)

dω

d(v k)

dv

dv

dλ

= v + k dλ

: dλ

= v + k

dλ

: dλ

λ .

dv

dk

dv

d

2π

Враховуючи те, що

dλ

λ = −λ2 ,

d

2π

2π

отримаємо

λ2

u = v

+ k −

.

2π

50