Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

→

визначається за допомогою радiус-вектора r (рис. 2), як векторний добуток.

→

→

→

µ0 µ I

dl r

dB =

.

(2.5)

4 π

r3

Величина модуля вектора магнiтної iндукцiї

~

→

dB залежить вiд кута α мiж векторами dl та

→

r

µ0 µ I dl sinα

dB =

.

(2.6)

4 π

r2

Рис. 2.

Закон БСЛ у векторному виглядi (2.5) дозволяє визначити напрям

~

вектора магнiтної iндукцiї B, модуль якого визначається за фор-

~

мулою (2.6). Напрям вектора магнiтної iндукцiї B визначається за

~

правилом векторного добутку. По-перше, вектор B перпендикуля-

~

ний до площини, яка утворюються векторами dl та ~r (що заштрихована на Рис. 2), якi виходять з однiєї точки цiєї площини. По-друге,

~

остаточний напрям вектора B визначається за правилом "правого

~

гвинта": якщо обертальний рух першого вектора dl у векторному добутку у бiк другого вектору ~r i в бiк меншого кута мiж векторвми, спiвпадає з обертальним рухом правого гвинта, то

поступальний рух гвинта вкаже на напрям вектора ~ .

B

Магнiтне поле прямого току

~

Для визначення вектора магнiтної iндукцiї B на найкоротшiй вiдстанi R вiд прямого провiдника, по якому тече струм I (Рис. ??) треба скористатися принципом суперпозицiї. Вектор магнiтної

~
iндукцiїB в точцi A (рис. ??) дорiвнює
~	∞	~	∞
	X		X
B =		dBi B = dBi.		(2.7)
	i=1		i=1

11

Виходячи з того, що провiдник зi струмом нескiнченний, i, вра-

~

ховуючи симетрiю Рис. 3, модуль векторiв dBi, залежить вiд кута

~

αi, а напрями векторiв dBi спiвпадають i спiвпадають з вектором

~

B. Тому вираз (2.7) можна змiнити на iнтеграл з границями iнтегрування по куту α, що змiнюється вiд 0 до π

π
B = Z0	dB.	(2.8)

		~
	Визначимо модуль вектора dB, який залежить вiд кута α. Виходя-
	чи з геометричних мiркувань (рис. ??) i з того, що
	r =	R		i	dl =	r dα	,	(2.9)
		sin α				sin α
	знайдемо згiдно з законом БСЛ (вираз (2.5))
		dB =		µ0µ	sin α dα .			(2.10)
				4 π R

Пiсля iнтегрування виразу (2.9) отримаємо величину модуля век-

~
тора B				π
	µ µ I					µ µ 2 I
B =	0			Z0	sin αdα =	0			.	(2.11)
	4 π		R			4 π		R

?? ~

Аналiзуючи рис. , можна показати, що напрям вектора B можна визначити або за правилом векторного добутку, або за правилом правого гвинта.

Магнiтне поле в центрi крувого провiдника iз струмом

Якщо по кiльцевому провiднику радiусом R тече струм I, модуль

~

вектора магнiтної iндукцiї B в центрi колового провiдника згiдно з принципом суперпозицiї полiв (рис. 4) визначається за формулою

I

B = dB , (2.12)

12

де dB, згiдно з виразом (2.5), дорiвнює

dB = µ0µ I dl . 4 π R2

Пiдставляя (2.13) в вираз (2.12), отримаємо

	µ µ I			I		µ µ I				I
B =	0				dl =	0			2πR = µ0µ		.
	4 π		R2			4 π		R2		2R

(2.14) Вiдомо, що dl = R dϕ. Тому iнтеграл у виразi (2.14) дорiвнює

	2π
I	dl = R Z0	dϕ = 2 π R .	(2.15)

(2.13)

Рис. 4.

~

Нарям вектора B в данному випадку спiвпадає з напрямом додатньої нормалi до площини, яку охоплює коловий провiдник зi стумом (рис. 4) i може бути визначений як за правилом правого гвинта, або за правилом векторного добутку.

Лекцiя №2

Закон Ампера

→

→

Закон Ампера визначає силу dFA, з якою магнiтне поле B дiє на

→

елемент провiдника dl, по якому тече струм I, як векторний добуток

→	→ →
dFA = I	dl, B .	(2.16)

Причому, за напрям струму приймається напрям руху додатнiх носiїв струму у провiднику. У випадку, якщо носiї струму мають

13

вiд’ємний знак, напрям струму буде протележним порiвняно з на-

→

прямом руху вiд’ємних зарядiв. Модуль вектора сили Ампера dFA

→ →

залежить вiд кута α мiж векторами dl та B i дорiвнює

dFA = I B dl sin α.

(2.17)

→

Напрям вектора dF визначається за правилом вектрного добутку, або за правилом "лiвої руки": долонь лiвої руки треба розташувати так, щоб лiнiї магнiтної iндукцiї входили в долонь, чотири пальцi лiвої руки спiвпадали з напрямом струму у провiднику, то-

дi вiдiгнутий на 90o великий палець вкаже на напрям сили Ампера

→

dF .

Взаємодiя паралельних струмiв

Модуль cила dF12, з якою перший провiдник дiє на другий, згiдно з третiм законом Ньютона (рис. 5), дорiвнює модулю сили dF21, з якою другий провiдник дiє на перший (dF12 = dF21). Припустимо, що перший провiдник зi струмом (який познаяено на рис. 5 iндексами "1") утворює в мiсцi знаходження елемента другого

~ ~

провiдника dl2 магнiтне поле B1. Вектор B1 спрямований по дотичнiй до кола, яке перпендикулярно першому провiднику (центр кола спiвпiдає з першим провiдником), i, яке проходить крiзь точку, в якiй розташовано другий провiдник.

~

Модуль вектора B1, який утворюється першим нескiнченним провiдником в мiсцi положення другого провiдника, визначається за законом БСЛ i згiдно з виразом (2.11) дорiвнює

	~		µ0µ 2 I1
	B1	=				.	(2.18)
			4 π R

~

На на елемкет dl2 другого провiдника, який знаходиться в полi B1 першрго провiдника дiє сила Ампера dF12, яка, згiдно з законом

14

Ампера (вираз (2.17)), дорiвнює
dF12 = I2 B1 dl2 sinα	=	µ0 µ 2 I1			I2	dl2.	(2.19)
		4 π		R
Аналогiчно знаходмться сила dF21, яка в свою чергу дорiвнює
dF21 = I2 B1 dl1 sinα	=	µ0 µ 2 I1			I2	dl1.	(2.20)
		4 π		R

Оскiльки нескiченно малi елементи двох провiдникi є однаковими (dl1 ≡ dl2), отримуємо, що модулi сил дорiвнюють одне одному

dF12 = dF21 ,

(2.21)

що узгоджується з третiм законом Ньютона. Якщо струми (рис. 5) у паралельних провiдниках мають однаковий напрям (наприклад, перпендикулярно до площини – "до нас"), провiдники притягуються i провiдники будуть вiдштовхуютися, якщо струми мають протележнi напрями.

Нагодаємо, що одиниця вимiрювання магнiтної iндукцiї тесла (Тл). Виходячи з закону Ампера, 1 Тл – магнiтна iндукцiя такого однорiдного магнiтного поля, яке дiє з силою 1 Н на кожний метр довжини прямолiнiйного провiдника, розташованому перпендикулярно до напрямку поля (на-

Рис. 5.

прямку вектра магнiтної iндукцiї), якщо по цьому провiднику тече струм 1А:

1 Тл = 1 Н/(А · м) .

(2.22)

Магнiтна стала µ0 дорiвнює
µ0 = 4 π · 10−7 Н/А2 .	(2.23)

15

Магнiтне поле заряу, що рухається

Додатнiй заряд Q, який перемiщується з постiйною швидкiстю

→ →

v так же, як i струм, утворює магнiтне поле B в точцi простору M , яка характеризується радiус-вектором ~r (рис. 6). Вектор магнiтної iндукцiї визначається векторним добутком i дорiвнює

B =						→ →			(2.24)
					h 3 i .
→	µ0 µ Q					v r
	4 π					r
→								→	→
Модуль вектора B залежить вiд кута α мiж векторами v									i r
		µ0 µ Q v
B =							sinα.		(2.25)
		4 π r2

→

Напрям вектора B при русi додатнього зарду визначається за правилом векторного добутку, або за правилом лiвої руки, як показано на рис. 6. При русi вiд’ємного заряду вектор магнiтної iндукцiї буде спрямовано в протележний бiк порiв-

~

няно з напрямком вектора B при русi додатнього заряду.

Рис. 6.

Дiя магнiтного та електричного полiв на заряд, що рухається

Дiя магнiтного i електричного полiв визначається векторною

~	~	~
сумою сил F	= FE + FB, якi дiють на заряд Q з боку цих полiв.

Електричне поле дiє на заряд незалежно вiд того, рухається вiн, або покоїться. Сила, що дiє на заряд в електричному полi залежить вiд

~
напруженностi E електростатичного поля i дорiвнює
~	~	(2.26)
FE = Q E .

Магнiтне поле дiє лише на заряди, що рухаються. Сила, з якою магнiтне поле дiє на рухомий заряд Q називається силою Лорен-

16

~	~
ца. Сила Лоренца FB	= Fл

~

вектора магнiтної iндукцiї B

~

залежить вiд швидкостi V заряду i i визначається як векторний добуток

→	→
Fл= Q h→v Bi ,		(2.27)
	→	→
модуль якої залежить вiд кута α мiж векторами v та B
Fл = v B sinα .		(2.28)

→

Напрям сили Лоренца Fл, згiдно iз загальним визначенням векторного добутку, перпендикуляр-

→

ний до векторiв v (рис. 7), на якому вiдтворе-

→

но однорiдне магнiтне поле) та B i його напрям можна знайти за правилом векторного добутку, або за правилом лiвої руки.

Сумарна сила, що дiє на рухомий заряд Q, визначається за формулою Лоренца i дорiв-

нює	→ →	→
→
F =FE + Fл= QE~		+ Q h→v Bi .

Рис. 7.

(2.29)

Рух заряджених частинок у магнiтному полi

Вмагнiтному полi пiд дiєю сили Лоренца заряджена частинка

ззарядом Q i масою m, яка має початкову швидкiсть ~v, змiнює траєкторiю руху. Якщо заряджена частка влiтає в магнiтне поле так, що вектор швидкостi ~v складає довiльний кутом α до силових

лiнiй однорiдного магнiтного поля (рис. 8), її можна розкласти на

~

двi складовi: перпендикулярної до напряму магнiтного поля V i

~ ~

паралельної складової – Vk. Паралельна складова швидкостi Vk не змiнюється в магнiтному полi тому, що, як видно з виразу (2.28),

~ ~

кут α мiж векторами Vk i B i sin α дорiвнюють нулю. Тому сила

17

Лоренца, яка дiє на рухомий заряд в напрямку магнiтного поля теж, вiдповiдно, дорiвнює нулю.

Перпендикулярна складова швидко-

~

o

до

стi V яка спрямована пiд кутом 90

лiнiй магнiтної iндукцiї, буде змiнюва-

тися пiд дiєю постiйної сили Лоренца

(вираз (2.28)) i заряджена частинка бу-

де рухатися по колу. Визначимо радiус

R цього кола. Вiдомо, що рiвномiрний

рух по колу вiдбувається пiд дiєю до-

центрової сили (в даному випалку – си-

Рис. 8.

~

ли Лоренца Fл), яка спричиняє доцен-

торве aц (або нормальне an

= V 2/R). Згiдно з другим законом

Ньютона запишемо

B sin 90o = m

V 2

F

= m a

,

Q V

.

(2.30)

ц

ц

R

Звiдки

m

V

R =

.

(2.31)

Q B

Пеоiод T , за який заряджена частинка робить повний оберт, дорiв-

нює		π R			2 π m
2
T =			,	T =				.	(2.32)
		V			R		Q

Частота ν = 1/T обертання (число оберiв за одиницю часу) зарядженої частинки в магнiтному полi в площинi, яка є перпендикулярною до вектора магнiтної iндукцiї однорiдного поля, не залежить

~
вiд лiнiйної швидкостi V i дорiвнює
ν =	1	=	Q R	.	(2.33)
	T
			2 π m

Виходячи з принципу незалежностi рухiв, момна стверджувати, що заряджена частинка, що влiтає в магнiтне поле в загальному випад-

18

ку може одночасно знаходитися одразу у двух рухах: рiвномiрному прямоллiнiйному вздовж нанряму вектора магнiтної iндукцiї зi

~

швидкiстю Vk, модуль якого дорiвнює Vk = V · cos α i рiвномiрному по колу з лiнiйною швидкiстю V = V · sin α. Таким чином заряджена частинка в магнiтному полi рухається по спиралi (рис. 7) з радiусом R i шагом h = Vk T . Тобто шаг спиралi дорiвнює

h = V · cos α	2 π m
	R Q .	(2.34)

Оскiльки сила Лоренца завжди спрямована перпедикулярно до

	~						~
векторiв швидкостi Vk та вектора перемiщення dr, робота сили Ло-
				~	~
ренца, як скалярний добуток векторiв Fл i dr, дорiвнює
	~ ~	= Fл dr cos 90				o	= 0.	(2.35)
	dA = Fл dr
Лекцiя №3
Ефект Холла
Ефект Холла виникає у мета-
лах (напiвпровiдниках) з опором R,
по яким тече струм I, завдяки дiї
сили Лоренца на зарядженi частин-
ки (носiї струму) з зарядом e. Якщо
	~
вектор магнiтної iндукцiї B спря-
мовано (рис. 9 ) перпендикулярнр
	~
до вектора густини струму j, у на-
прямку, який є перпендикулярним							Рис. 9.
~	~
до векторiв B i j, виникає рiзниця
потенцiалiв	ϕ		I B
		ϕ = R		,				(2.36)
			d

19

де d – товщина провiдника вздовж напряму прикладеного магнiтного поля. де d – товщина провiдника вздовж напряму прикладеного

магнiтного поля.

Циркуляцiя вектора магнiтної iндукцiї

На вiдмiну вiд циркуляцiї вектора напруженостi електроста-

~ ~

тичного поля E, яка дорiвнює нулю, циркуляцiя вектора B як iнтеграл по замкнутому колу пропорцiйний агебраїчнiй сумi (з урахуванням знакiв) струмiв, якi охоплює цей замкнутий контур

I		B~ d~l	= µ0	k	Ii .	(2.37)
				i
L				X

Вираз (2.37) представляє закон повного струму у вакуумi,

теорему про циркуляцiю вектора магнiтної iндукцiї ~

або B, який виконується лише для вакууму (µ = 1).

~

Теорема про циркуляцiю вектора B має для магнитизму таке ж значення як теорема Остроградського-Гауса для електростатики. Наприклад, теорема про циркуляцiю вектора магнiтної iндукцiїї (2.37) дозволяє обчислити модуль B вектора магнiтної iндкцiї на вiдстанi r вiд нескiнченного провiдника зi струмом I. Проведемо замкнутий коловиц контур перпендикулярно до провiдника так, щоб радiус цого кола дорiвнював r (рис. 10). Циркуляцiя вектора

~

B, згiдно з рис. 10, дорiвнює

I I

~ ~	= B dl = B · 2πr .	(2.38)
B dl
L	L

~

Виходячи з теореми про циркуляцiю ветора B в данному випадку маємо

B · 2πr = µ0I .

(2.39)

Звiдки модуль B вектора магнiтної iндукцiї на вiдстанi r вiд нескiн-

20