Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

ченного провiдника зi струмом I дорiвнює
	µ0I
B =		.	(2.40)
	2 π r

Отримана вiдповiдь спiвпадає з результатом (2.11), який був отриманий ранiше, виходячи iз закону Бiо-Савара-Лапласа.

Вираз (2.37) дозволяє також обчислити модуль B вектора магнiтної iндкцiї внутрiшнього однорiдного магнiтного поля в соленоїдi довжиною l, який має N виткiв, i, по якому тече струм I. Побудуємо замкнутий контур ABCD як показано на рис.11. Контур охоплює N виткiв соленоїда, тому циркуляцiя

~
вектора B повинна дорiвнювати
		Рис. 10.
I	Bldl = µ0N I .	(2.41)
ABCD

Оскiльки лише на вiдрiзку DA про-

~

екцiя Bl вектора B не дорiвнює нулю (Bl=B), вираз (2.41) трансформується

у

Рис. 11.

I

Bldl = B · L = µ0N I , (2.42)

ABCD

де L – довжина вiдрiзку DA. Виходячи з (2.42)

µ0		N I
B =			.	(2.43)
		L

Аналогiчним шляхом знаходиться внутрiщнє поле B тороїда радиусом r,

21

який має N виткiв, i, по якому тече струм I (рис. 12). Замкнутий контур в цьому випадку представлено колом (смугаста колова лiнiя на рис. 12), що охоплює N виткiв тороїда. Тому циркуляцiя вектора

~

B дорiвнює

Io	Bl dl = B 2πr = µ0N I .			(2.44)
Звiдки		µ0 N I
	B =		.	(2.45)
		2 π r

Потiк вектора магнiтної iндукцiї.

Теорема Остроградського-Гауса для магнiтного поля

По аналогiї з визначенням потоку вектора напруженностi елек-

~

тростатичного поля, потiк вектора B крiзь деяку поверхню S дорiвнює iнтегралу по цiй воверхнi S вiд скалярного добутку векторiв

~	~
B i dS = ~n dS (~n – одинична безрозмiрна нормаль до поверхнi S)
	Z		Z	Z
	ΦB =	~	~	Bn dS = B dS cos αРис, . 12. (2.46)
		B dS =
	S		S	S

~

де Bn – проекцiя вектора B на напрям нормалi ~n, α – кут мiж

~ ~

векторами B та dS. Потiк ΦB вектора магнiтної iндукцiїї може мати як додатнiй, так i вiд’ємний знаки – це залежить вiд кута α. Причому додатнiй нанпрям нормалi до деякої обраної поверхнi S пов’язується з доданiм напрямком нормалi до площини, яку охоплює контуром зi струмом (напрям додатньої нормалi визначається за правилом "правого гвинта").

Оскiльки лiнiї напруженостi магнiтного поля неперервнi (магнiт-

~

них зарядiв не iснує), потiк вектора B через довiльно обрану замкнуту поверхню S дорiвнює нулю (теорема Остраградского –

22

Гауса для магнiтного поля)

I			I
ΦB =	~	~	Bn dS = 0	(2.47)
	B dS =
S			S

Одиниця вимiрювання потоку ΦB вектора магнiтної iндукцiїї – 1 Вб (Вебер). Потiк, що дорiвнює 1 Вб, утворюється магнiтним полем 1 Тл крiзь площину 1 м2 i перпендикулярним до неї (1 Вб = 1 Тл·м2).

Робота по перемiщенню провiдника зi струмом у магнiтному полi

На провiдник зi струмом I з активною довжиною l (довжиною, яка перетинається лiнiями напруженостi магнiтного поля) дiє сила Ампера FA, яка перемiщує провiдник на вiдстань dx. Тому робота dA по перемiщенню провiдника дорiвнює

	~
~		.	(2.48)
dA = FA dx				Рис. 13.

Враховуючи, те, що напрям сили Ампера FA = I B l спiвпадає з напрямом вектора перемiщення провiд-

~

ника dx (рис. 13), робота dA дорiвнює добутку величину струму на величину змiни потока dΦ вектора магнiтної iндукцiї

dA = I B l dx cos 0 = I dΦ , (2.49)

де B l dx = B dS = dΦ (площа dS на рис.13 заштрихована).

23

Рис. 15.

Робота dA перемiщення колового провiдника визначається наступним чином. Коловий провiдник дiлиться на двi частини (як показано на рис. 15) так, що у двох половинках колового провiдника ABC i CDA струм тече в протележнi сторони.

Провiдник CDA перемiщується пiд дiєю сил Ампера, яка спрямована в бiк перемiщення. Тому додатня робота dA1 > 0, яку виконуэ магнiтне поле, дорiвнює

dA1 = I (dΦ0 + dΦ2) . (2.50)

Вiдємна робота dA2 < 0 (бо сила Ампера i вектор перемi-

щення спрямованi в протележнi сторони), яку виконує магнiтне поле при перемiщеннi ABC-частини колового провiдника, дорiвнює

dA2 = −I (dΦ0 + dΦ1) .

(2.51)

Повна робота, яку виконує поле при перемiщеннi колового провiдника зi струмом, дорiвнює

dA = dA1 + dA2 = I (dΦ0 + dΦ2) − I (dΦ0 + dΦ1) .	(2.52)
Тобто
dA = I (dΦ2 − dΦ1) = I dΦ′ .	(2.53)

Проiнтегрувавши лiву та праву частини рiвняння (2.53), отримаємо повну роботу A, яку виконує магнiтне поле при перемiщеннi провiдника з положення "1" в положення "2"

2		2
Z1	dA = Z1	dΦ′	A = Φ′|21 .	(2.54)

24

Остаточно маємо, що робота, яку виконує поле при перемiщеннi замкнутого провiдника, пропорцiйна змiнi магнiтного потока через площу, яку охоплює провiдник

A = I ΔΦ.

(2.55)

З формули (2.55) слiдує, що робота, яку виконує поле не залежить вiд форми замкнутого провiдника, пропорцiйна змiнi потоку вектора магнiтної iндукцiї, який є зцепленим з контуром провiдника в кiнцевому та початковому положеннях колового провiдника.

Лекцiя №4

Електромагнiтна iндукцiя

Явище електромагнiтної iндукцiї полягає в тому, що в замкнутому провiдному контурi при змiнi потоку вектора магнiтної iндукцiї, охоплюємого цим контуром (або зцепленого з цим контуром), виникає електричний струм, який получив назву iндукцiйного.

Закон Фарадея

Яка б нi була причина змiни потоку Φ вектора магнiтної iндукцiї, який зчеплений iз замктутим провiдним контуром, виникаюча у контурi електрорушiйна сила ǫi пропорцiйна змiнi потоку у часi

dΦdt , що взят зi знаком "мiнус"

dΦ
ǫi = − dt .	(2.56)

Знак "мiнус" в виразi (2.56) визначається за правилом Ленца: iндукцiйний струм в контурi має завжди такий напрям, що утворене їм магнiтне поле перешкоджує змiнi магнiтного потоку, який викликає iндукцiйний струм.

25

Iндуктивнiсть контура. Самоiндукцiя

Згiдно з законом БСЛ, струм I, який протiкає по провiднику, збуджує магнiтне поле, яке в свою чергу обумовлює iснування магiтного потоку ΦB. Тобто магнiтний потiк ΦB пропорцiйний величенi струму I

Φ = L I .

(2.57)

Коефiцiєнт пропорцiйностi L в формулi (2.57) i визначає iндуктивнiсть контура. Величина iндуктiвнiстi L залежить лише вiд розмiрiв та форми провiдника.

Явище виникнення ЕРС у замкнутому провiдному контурi при змiнi е ньому величини струму називається ефектом самоiндукцiї.

Iндуктивнiсть солiноїда, як i любого провiдника, визначається лише його геометричними характеристиками: довжиною l, площею поперечного перерiзу S i кiлькiстю виткiв N . Згiдно з виразом

					µ0µ N I
(2.41), модуль вектора манiтної iндукцiї дорiвнює B =						,
					l
а потiк Φi вектора магнiтної iндукцiї крiзь один виток дорiвнює
Φi = B · S =		µ0µ N S	I .		(2.58)
		l
N
P
Повний потiк Φ = Φi буде дорiвнювати
i=1
	µ0µ N 2 S
Φ = Φi · N =				I .	(2.59)
		l

Порiвнюючи формули (2.57) i (2.59), отримаємо, що iндуктивнiсть

	L солiноїда дорiвнює				N 2 S
		L = µ0 µ				.	(2.60)
					l
	Враховуючи (2.57)	i те, що I	dL		= 0 (бо вважаэться, що форма
			dt

26

провiдника э незмынною), закон Фарадея (2.56) можна перепи-

сати у вигляi					dI
	dΦ		d
ǫi = −		= −		(L I) = −L		.	(2.61)
	dt		dt		dt

Перехiднi процеси. Екстраструм

Завдяки явищу самоiндукцiї при розмиканнi RL-контура, який був пiдключений до джерела струму з електрорушiйною силою ε, величина струму I буде зменшуватись не миттево, а по експоненцiальному закону, асимптотично зменшучись так, що не за який час не досягає нулевого значення.

Спочатку в RL-контурi упорядковується струм, який визначаєть-

	ся за законом Ома	ε
	I0 =		,	(2.62)
		R

де R – опiр контура. Якщо в момент часу t = 0 вiдключити вiд контура джерело струму, струм, який почне зменшуватись, буде iндуцировати ЕРС сомоiндукцiї εs, яка визначається за законом

Фарадея
	dI(t)
εs = −L		.	(2.63)
	dt

В кожний наступний момент часу струм I(t) в RL-контурi (за умови вiдключення джерела струму – ε = 0) буде визначатися згiдно iз законом Ома

	εs
I(t) =		,		εs = I(t) · R .		(2.64)
	R
Виходячи з цього, вираз (2.63) можна переписати у виглядi
				dI(t)
	I(t) · R = −L				.	(2.65)
				dt

Рiшення рiвняння (2.65) знайдемо за допомогою методу роздiлення

27

змiнних
	dI(t)		R
		= −		dt .	(2.66)
	dt		L

Пiсля iнтегрування (2.66) в межах змiни струму вiд I0 до I(t), коли час змiнюється вiд нуля до t, отримаємо

	I(t)		R
ln		= −		t .	(2.67)
	I0		L

Провiвши операцiю потенцювання виразу (2.67), отримаємо залежнiсть струму вiд часу в RL-контурi пiсля вiдключення джеоела струму

	I(t) = I0 e−t/τ ,		(2.68)
де τ = L/R має розмiрнiсть часу.
При пiдключеннi RL-контура з опорм
R та iндуктiвнiстю L до джерела стру-
му з електрорушийною силою ε, завдя-
ки iснуванню явища самоiедукцiї, ве-
личина струму I(t) збiльшується по-
ступово теж за експоненцiальним зако-
ном, асимптотично наближаючися до
значення I0 = ε/R
I(t) = I0	1 − e−t/τ .	(2.69)	Рис. 16.

У виразах (2.68) i (2.69) величина τ = L/R називається часом релаксацiї (час, за який струм змiнюється в e ≈ 2.7 разiв). Графiки змiни струму при вiдключеннi (1), або включеннi джерела струму

(2) до RL-контура наведенi на рис. 16.

Знайдемо ЕРС самоiдукцiї εs, що виникає в RL-контурi з опором R0 та iндуктивнiстю L при миттєвому вiдключеннi джерела струму ε (при цьому RL-контур залишається замкненим). Струм в RLконтурi почне спадати по експоненцiальному закону I(t) = I0 e−RLt ,

28

	де I0 = ε/R0. Тобто, залежнiсть струму вiд часу має вигляд
	I(t) =		ε		e−R t/L ,			(2.70)
			R0
	Пiсля диференцювання (2.70), отримаємо εs
		dI(t)				R
	εs = −L				=		e−R t/L .	(2.71)
		dt				R0

Аналiз формули (2.71) показує, що струм I(t) може значно збiльшуватися, бо при зозмиканнi RL-контура його опiр може значно збiльшуватися (R → ∞). Цей "екстра-струм" в момент розмикання RL-контура може перевищувати дозволений рiвень, вище якого може спостерiгатися електричний "пробой" iзоляцiї.

Енергiя магнiтного поля

Виходячи з закону збереження енергiї, енергiя магнiтного поля повинна дорiвнювати роботi, що виконує струм I, щоб утворити данне магнiтне поле.

Якщо контур, по якому тече струм I пiдпорядковує iндуктiвнiсть L, потiк вектора магнiтної iндукцiї дорiвнює Φ = L I. Робота струму dA = I dΦ. Тобто, енергiя магнiиного поля W враховуючи те, що dΦ = L dI, дорiвнює повнiй роботi A, що виконує струм

I		1
W = A = Z0
	L I dI =	2L I2 .	(2.72)

Енергiя магнiтного поля, що утворюється в об’ємi солiноїда з параметрами L = µ0µNl 2 S (де S – площа переоiзу соленоїда, l – довжина соленоїда та N – клькiсть виткiв соленоїда), буде дорiв-

нювати			N 2 I2
1
W =		µ0µ		S .	(2.73)
2			l

29

Виходячи з того, що B = µ0µH i для соленоїда (дивись вираз ()) B = µ0 N I/l, енргiя манiтного поля дорiвнює

	B2		B H
W =		S l =		V ,	(2.74)
2µ0µ			2

де V – об’єм соленоїда. Тобто, якщо енергiю магнiтного поля W нормувати на одиницю об’єму, отримаємо об’ємнугустину енергiї w = W/V магнiтного поля, яка вже не залежить вiд об’єму V

w =	B H	.	(2.75)
2
Лекцiя №5
Основи теорiї Максвела для електромагнiтного поля
~			~

Для змiнних з часом електричних E(t) та магнiтних B(t) полiв Максвел записал систему iнтегральних рiвнянь.

Узагальнення закону фарадея

Згiдно з законом Фарадея, ЕРС електромагнiтної iндукцiї ǫi, яка є наслiдком змiнного у часi магнiтого потока ΦB, дорiвнює

dΦB
ǫi = − dt .	(2.76)

Роль стороннiх сил, якi зумовлюють ǫi та iндукйiйний струм, в даному випадку виконує змiнне у часi магнiтне поле. Оскiльки,

	A	L
взагалi, ǫ =	Q	(де A = Q I		E~B d~l , робота, яку виклнують

стороннi сили при переносi заряда Q по замкнутому контуру L), ЕРС iндукцiї ǫi дорiвнює

I
ǫi =	~	~	(2.77)
	EB dl ,

L

30