Загальна фізика / Теоретичні курси / Конспект лекцій з фізики №2

спостерiгаючи дифракцiйну картинку. Далi були спостереженi дифракцiйнi картинки для пучкiв протонiв та нейтронiв. Це пiдтвердило те, що гiпотеза де Бройля представляє унiверсальний закон природи. Тобто любу макроскопiчну масу, що рухається з деякою швидкiстю, мажна спiвставити з хвилею. Але надто великiй масi 1г, що рухається зi швидкiстю 1м/с, вiдповiдає хвиля довжиною 6,62·10−31м. Виходячи з того, що для спостереження таких коротких хвиль, немає природних переодичних структур також поряку величини, волновi влативостi даних макрообєктiв не спостерiгаються.

Спiввiдношення невизначеностей, дифракцiя електронiв

Гайзенберг, беручи до уваги хвильовi властивостi мiкрочастинок, прийшов до висновку, що мiкрооб’єкт не можна водночас з наперед заданою точнiстю характеризувати i координатою вздовж якоїсь осi, i iмпульсом вздовж тiєї ж осi. Це є наслiдком того, що не можна говорити о довжинi хвилi в данiй точцi траєкторiї руху мiкрочастинки. Спiвiдношення Гайзенберга має вигляд

x px ≥ h,	y py ≥ h,	z pz ≥ h .
		(6.304)
Пояснимо змiст спiввiдношення (6.304)на

прикладi дифракцiї елетронiв крiзь круглий отвiр. Експеримент показує, що пiсля проходження електронiв крiзь отвiр на екранi спо-

стерiгається дифракцiйна картинка (є голов-

Рис. 49.

ний максимум, є спостерiгається перший мiнiмум), що є доказом iснування хвильвих характеристик для електрона, що рухається.

101

Припустимо, що до проходження крiзь щилину електрони рухались вздовж осi OY як показано на рис. 6.305. В момент проходження щилини невизначеннiсть положення електрона вздовж осi OX визначається шириною щилини x. Крiм того в той же момент часу iмпульс електрону вiдхiляється вiд початкового напрямку OY i, якщо обмежатися лише тими електронами, що утворюють перший дифракцiйний максимум, невизначеннiсть напряму вектора p~ обмежана кутом 2ϕ (рис. 6.305).

Тобто невизначеннiсть px вектора p~ вздовж осi OX в момент проходження щилини дорiвнює

px = p sin ϕ .

(6.305)

Згiдно з гiпотезою де Бройля iмпульс електрона дорiвнює p = h/λ i вираз (6.305) буде мати вигляд

px =	h	sin ϕ ,	(6.306)
	λ

де λ – довжина хвилi де Бройля, що вiдповiдає рухомуму електорону. З умови спостереження першого дифракцiйного мiiнiмуму слiдує, що мiнiмум повинен бути пiд кутом ϕ, який можна знайти

	з рiвняння			λ
	x sin ϕ = λ		x =			,	(6.307)
				sin ϕ
	де x – ширина шилини. Звiдки отримаємо
	px	x = h .					(6.308)

Якщо врахувати, що деяка невелика кiлькiсть електронiв при проходженi щилини виходить за межи кута 2ϕ (цi електрони утворюють дифракцiйнi максимуми настпних порядкiв за першим), то повинна виконується нерiнiсть

px ≥ p sin ϕ ,

(6.309)

102

з якої слiдує спiввiдношення невизначенностi Гейзенберга

px x ≥ h .

(6.310)

Спiввiдношення невизначенностi отримано (для данного прикладу) при одночасному використаннi як класичних характеристик рухомої частинки (координаи, iмпульсу), так i присутнiсть у неї хвильових властивостей. Спiввiдношення невизначенностi свiдчить про те, що нежливо одночасно точно визначити координату мiкрочастинки вздовж обраної осi i вiдповiдну їй проєкцiю iмпульсу на цю ж вiсь. Це спiввiдношення невизначеностi не пов’язане iз точнiстю приладiв, якi вимiрюють координату та iмпульс, а є наслiдком спецiфiки мiкрооб’єктiв – їх корпускулярно-волнової природи.

Хвильова функцiя та її статистичний змiст

Для опису стану мiкрооб’єкта в квантовiй механiцi застосовується хвильова функцiя (або Ψ-функцiя) так, що квадрат модуля

Ψ-функцiї характеризує ймовiрнiсть W знаходження мiкрочастинки в деякий момент часу t в координатному просторi x i x + dx, y i y + dy, z i z + dz

W | Ψ(x, y, z, t) |2, де | Ψ |2= Ψ Ψ

(6.311)

(Ψ є функцiєю, яка комплексно спряжена з функцiєю Ψ).

Iмовiрнiсть W знаходження частинки в момент часу t в кiнцевому

обємi V є

Z Z

W = dW = | Ψ |2 dV. (6.312)

V

V

Умова нормування ймовiрностi | Ψ |2 є

∞

Z
| Ψ |2 dV = 1,	(6.313)

−∞

103

що говорить про те, що частинка знаходиться десь у просторi, якщо вона реально iснує.

Хвильова функцiя задовольняє принципу суперпозицiї: якщо якась частинка може бути в декiкох станах в одночас, яким вiдповiдають хвильовi функцiї Ψ1, Ψ2, . . . Ψn, то частинка може знаходитись у станi Ψ, яке може бути описане за допомогою лiнiйної комбiнацiї хвильових функцiй Ψi

X
Ψ = CiΨi.	(6.314)

i

В квантовiй механицi за допомогою волнової функцiї Ψ знаходять

середнi значення рiзних фiзичних величин, якi характеризують стан данного макрооб’єкту. Наприклад, середня вiдстань електрона до ядра < r > визначається за формулою

∞
< r >= Z	r | Ψ |2 dV.	(6.315)

−∞

Загальне рiвняння Шредiнгера

Рiвняння Шредiнгера – головне рiвняння для волнової функцiїї Ψ(x, y, z, t), оскiльки величина | Ψ |2 визначає йомовiрнiсть знаходження мiкрочастинки в об’ємi dV , тобто в областi з координатами x i x + dx, y i y + dy, z i z + dz.

Рiвняння Шредiнгера в релятивiсткiй квантовiй механiцi не виводиться, а постулюється i має вигляд

~2

∂Ψ

−

Ψ + U (x, y, z, t) Ψ = i ~

,

(6.316)

2 m

∂t

h

∂2Ψ

∂2Ψ

∂2Ψ

де ~ =

, m – маса частинки, (Δ Ψ =

+

+

) –

2 π

∂x2

∂yx2

∂z2

оператор Лапласа, i – мнима одиниця, U (x, y, z, t) – потенцiальна функцiя частинки в силовому полi.

104

Рiвняння (6.316) має виконуватися для любої частинки (зi спином, що дорiвнює нулю), яка рухається з малою швидкiстю v (порiвняно iз швидкiстю свiтла c), v c. Волнова функцiя повинна бути скiнченною, однозначною i неперервною, повинна мати неперевнi

	∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂Ψ							, функцiя | Ψ |2 повинна бути iнте-
похiднi		,		,		, ,
	∂x2		∂y2		∂z2		∂t
		∞
грованою ( Z			| Ψ |2		dV = 1).

−∞

Атом водню в квантовiй механiцi

При виключеннi з рiвняння (6.316) залежностi вiд часу t отримаємо рiвняння Шредiнгера для стацiонарних станiв з фiксованою у часi енергiєю E

ΔΨ +	2 m	(E − U ) Ψ = 0,	(6.317)
	~2

рiшення якого з урахуванням граничних умов для функцiї Ψ взагалi дають власнi власнi функцiї Ψn i власнi значення енергiї

En.

Потенцiальна енергiя взаємодiї електрона з ядром, заряд якого є Z e (для атома водню Z = 1), дорiвнює

Z e2
U (r) = −4 π ǫ0 r ,	(6.318)

де r – вiдстань мiж електроном i ядром. Залежнiсть U (r) представлена на графiку.

Рiвняння Шредiнгера для атома водню (рiвняння для стацiонарних станiв), якщо повна енергiя електрона в атомi дорiвнює

E, має вигляд
ΔΨ +	2 m	E +	Z e2	Ψ = 0,	(6.319)
	~2		4 π ǫ0 r

105

дає слiдуючi власнi значення енергiї En

1			Z2 m e4
En = −				(n = 1, 2, 3, . . . ),	(6.320)
	n2		8 ~2 ǫ02

включаючи основне (n = 1) i збудженi (n = 2, 3. 4, . . .) стани, де n – головне квантове число.

Згiдно з рiвнянням Шредiнгера механiчний момент iмпульса електрона L теж квантується (приймає дискретнi значення)

p

Li = ~ l (l + 1), (6.321)

де l – орбiтальне квантове число, яке при заданому n, приймає значення

l = 0, 1, . . . (n − 1).

(6.322)

Оптичнi квантовi генератори (лазери)

Оптичнi квантовi генератори мають за мету генерувати майже монохроматичне плоско поляризовано потужне свiтло, яке розповсюджується за допомогою вузького свiтлового пучка (цуга).

Оптичнi квантовi генератори
обов’язково мають три головнi
компоненти:
1) активне середовище, в якому
утворюються стани з iнверсiєю
заселеностей (коли на дискрет-
них енергетичних рiвнях з бiль-
шою енергiєю, знаходиться бiл-
ше число атомiв);	Рис. 50.
2) систему накачування – при-

стрiй (iмпульсне потужне джерело свiтла), для утворення iнверсiї в активному середовищi;

3) оптичний резонатор – пристрiй, який визначає напрям пучка

106

10−27

у просторi фотонiв, що покидають активне середовище, i, який, взагалi, формує когерентний квазiмонохроматичний пучок свiтла. Принцип роботи квантового генератора вiдтворено на рис. 50.

Лекцiя №17

§ 7. Будова ядра, елементарнi частинки

Елементи фiзики атомного ядра

Атомне ядро складається з протонiв та нейтронiв. Протон (p) має додатнiй заряд, який дорiвнює заряду електрона, i масу спокою mp = 1, 6726 · 10−27 кг≈ 1836 me, me – маса електрона.

Нейтрон (n) – нейтральна частиця з масою cпокою mn = 1, 6749·

кг≈ 1839 me.

Разом протони i нейтрони називаються нуклонами. Загальна кiлькiсть нуклонiв в ядрi дорiвнює масовому числу ядра A.

Зарядове число ядра Z дорiвнює числу протонiв в ядрi i спiвпадає з порядковим номером хiмiчного елемента в Перiодичнiй системi елементiв Менделеєва.

Як нейтральний хiмiчний елемент X, так i ядро позначається однаково: AZ X, але позначка ядра має iндеси, якi виказують його масове A та зарядове Z числа.

Дефект маси i енергiя зв’язку ядра

Енергiя зв’язку Eзв – енергiя, яку необхiдно витратити для

розщеплення ядра на окремi нуклони Eнук. Згiдно з законом збереження енергiї

Eзв = X Eнук − Eядр =	2
= [Z mp + (A − Z) mn − mядр] c .		(7.323)

107

В таблицях, як правило, вказуються не mядр, а маси m атомiв. Тому

		Eзв = [Z mH + (A − Z) mn] c2,		(7.324)
де mH – маса атома водню.
Величина
m = [Z mp+(A−Z) mn]−mядр
		(7.325)
має назву дефект маси яд-
ра. На цю величину зме-
ньщується маса всiх нук-
лонiв, якi з’єднуючись, утво-
рюють атомне ядро. Пи-
тома енергiя зв’язку δEзв
нуклонiв ядра
δEзв =	Eзв	(7.326)	Рис. 51.
	A

характеризує стiйкiсть, мiцнiсть ядер. Залежнiсть δEзв вiд масового числа A наведено на рис. 51. З рисунка видно, що найбiльш стiйкими ядрами з енергетичної точки зору є ядра середньої частини таблицi Менделеєва. Легкi ядра можуть об’єднуватисся з видiленням зенергiї (реакцiя термо-ядерного синтезу), тяжкi ядра розпадатися на легкi теж з видiленням енергiї (термо-ядерний розпад).

Закон радiоактивного розпаду. Правило змiщення

Радiоактивний розпад – природне радiоактивне перетворення ядер, яке вiжбувається спонтанно (без втручання iз зовнi). Атомне ядро, яке випробовує радiоактивний розпад, називається материнським, а ядро, яке утворюється дочiрнiм.

108

Закон радiоактивного розпаду показує, до якої величини зменьшилась (згiдно з експоненцiальною залежнiстю) кiлькiсть ядер N , якi ще не розпалися в момент часу t

N = N0 e−λt,

(7.327)

де N0 – початкове число ядер, якi не розпалися, у момент часу t = 0, λ – стала радiоактивного розпаду.

Iнтесивнiсть процесу радiоактивного розпаду характеризують двi величини: перiод напiврозпаду T1/2 i середнiй час життя τ радiак-

тивного ядра, якi вiдповiдно дорiвнюють
T	=	ln 2	= 0, 693/λ,	τ =	1	.	(7.328)
1/2		λ			λ

Одиницю радiоактивного розпаду в СI є бекерель (Бк): 1 Бк – активнiсть нуклiда, при якiй за 1 c вiдбувається один акт розпаду.

Радiоактивний розпад вiдбувається в узгодi з так званим правилом змiщення, яке дозволяє встановити, яке ядро виникає пiс-

ля розпаду материнського ядра:
ZAX →ZA−−42 Y +24 He	для α − розпаду,	(7.329)
ZAX →ZA+1 Y +−01 e	для β − розпаду,	(7.330)

де AZ X – материнське ядро, Y – дочерне ядро, 42He – ядро гелiю, −01e

– символiчне позначення електрона з зарядом -1 i масовим числом A, яке дорiвнює нулю.

109

ПЕРЕЛIК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ

ПОСIБНИКИ

Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высш.шк., 1990. 478с. Савельев И.В. Курс общей физики. т.I,II,III М.: Наука, 1986. С.432, С.496, С.318.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М.: Наука, 1979.520с.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1979. 552с.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М.: Наука, 1983. 688с.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. М.: Наука, 1985.752с.

Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, т.I,II,III. М.: Физматгиз, 1962. С.466, С.547, С.644.

Детлаф Ф.Ф., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш.шк., 1989. 609с.

ЗБIРНИКИ ЗАДАЧ

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1965. 464с.

Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: Учеб.пособие для студентов втузов. М.: Высш.шк., 1988. 527с.

Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М., и др. Сборник задач по физике. М.: Наука, 1970. 416с.

Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы: Учеб.пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1986. 256с.

Кобушкин В.К. Методика решения задач по физике. Л.: Ленинградский университет, 1970. 245с.

110