8.3.2. Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. С кинематической точки зрения это такие стержневые системы, число степеней свободы которых меньше числа связей. Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы. На рис.8.14 приведены примеры статически неопределимых балок и рам.

Рис.8.14

Балка, изображенная на рис.8.14б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой  из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.

Прежде, чем приступать к расчету статически неопределимых систем, необходимо научиться определять степень их статической неопределимости. Одним из наиболее простых правил определения степени статической неопределимости является следующее:

, (8.3)

где  число связей, накладываемых на конструкцию;  число возможных независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.

Воспользуемся уравнением (8.3) для определения степени статической неопределимости систем, изображенных на рис 8.14.

Балка, изображенная на рис 8.14а, является один раз статически неопределимой, так как имеет три связи на левой опоре и одну связь на правой опоре. Независимых уравнений равновесия для такой балки можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости балки . Неразрезная балка, изображенная на рис 8.14б также один раз статически неопределима, так как обладает двумя связями на левой опоре и по одной связи на промежуточной опоре и на правой опоре – всего четыре связи. Таким образом, степень ее статической неопределимости.

Рама, изображенная на рис. 8.14в, три раза статически неопределима, так как обладает шестью связями в опорах. Независимых уравнений равновесия для этой рамы можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости для этой рамы из уравнения (8.3) равна: . Степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис.8.18,г равна четырем, так как рама обладает семью связями на опорах. Следовательно, степень ее статической неопределимости равна.

Рис.8.15

Правило (8.3) для определения степени статической неопределимости применяют только для простых систем. В более сложных случаях это правило не работает. На рис 8.15 представлена рама, степень статической неопределимости которой, пользуясь уравнением (8.3), определить невозможно.

Внешне, система, приведенная на рис 8.15, пять раз статически неопределима. Это легко установить с помощью уравнения (8.3): из шести внешних связей (три в сечении А, три в сечении В и два в сечении С) вычитаются три возможные уравнения равновесия. Однако, эта система обладает еще и внутренней статической неопределимостью. Учесть внутреннюю статическую неопределимость с помощью уравнения (8.3) нельзя. Прежде, чем перейти к определению степени статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15, введем несколько определений. Первое из этих определений включает в себя понятие о простом шарнире.

Простым называется шарнир, соединяющий два стержня (Рис.8.16).

Рис.8.16. Простой шарнир

Шарнир, соединяющий несколько стержней, называется сложным (Рис.8.17).

Рис.8.17. Сложный шарнир

Число простых шарниров, которые могут заменить один сложный шарнир, определим из формулы:

, (8.4)

где  число стержней, входящих в узел.

Пересчитаем сложный шарнир, изображенный на рис.8.17 в число простых шарниров с помощью формулы (8.4): . Таким образом, сложный шарнир, изображенный на рис.8.17, можно заменить четырьмя простыми шарнирами.

Введем еще одно понятие  замкнутый контур.

Докажем теорему: любой замкнутый контур три раза статически неопределим.

Для доказательства теоремы рассмотрим замкнутый контур, нагруженный внешними силами (Рис.8.18).

Рис.8.18

Разрежем замкнутый контур вертикальным сечением и покажем внутренние силовые факторы, возникающие в месте сечения. В каждом из сечений возникают три внутренних фактора: поперечная сила , изгибающий моменти продольная сила. Всего на каждую из отсеченных частей контура кроме внешних сил действуют шесть внутренних факторов (Рис.8.18,б,в). Рассматривая равновесие одной из отсеченных частей, например, левой (Рис.8.18,б), выясняем, что задача три раза статически неопределима, так как для отсеченной части можно составить всего три независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил, действующих на отсеченную часть, шесть. Таким образом, степень статической неопределимости замкнутого контура равна. Теорема доказана.

Теперь, используя понятие о простом шарнире и замкнутом контуре, можно сформулировать еще одно правило для определения степени статической неопределимости:

, (8.5)

где  число замкнутых контура;  число шарниров в пересчете на простые (8.4).

Пользуясь уравнением (8.5), определим степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15. Рама имеет пять контуров , включая контур, образуемый опорными стержнями. Шарнир в узле D простой, так как соединяет два стержня. Шарнир в сечении К – сложный, так как соединяет четыре стержня. Число простых шарниров, которые могли бы заменить шарнир в сечении К, равно по формуле (8.4):. Шарнир С также является сложным, так как соединяет три стержня. Для этого шарнира. Кроме того, система имеет еще два простых шарнира, с помощью которых крепится к основанию. Таким образом, число простых шарниров в системе равно. Подставляя число замкнутых контурови число простых шарнировв формулу (8.5) определяем степень статической неопределимости рамы:. Таким образом, изображенная на рис. 8.15 рама, семь раз статически неопределима. А это означает, что для расчета подобной системы необходимо составить дополнительно к трем уравнениям равновесия семь уравнений совместности деформаций. Решая полученную таким образом систему из 10 уравнений относительно неизвестных, входящих в эти уравнения, можно определить как величины реакций во внешних связях, так и внутренние усилия, возникающие в раме. Процедуру решения этой задачи можно несколько упростить, исключив из системы уравнений уравнения равновесия. Однако такой подход требует применения специальных методов решения, одним из которых является метод сил.