8.4. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил
Основное содержание метода сил (его идея) состоит в следующем. В рассчитываемой статически неопределимой стержневой системе отбрасываются “лишние” связи, число которых равно степени статической неопределимости. Получаемая при этом система оказывается статически определимой. В качестве обязательных условий, предъявляемых к этой системе, является условие ее геометрической неизменяемости. Действие отброшенных связей заменяется неизвестными силами (“лишними” неизвестными), в месте отброшенных связей определяются перемещения по направлению отброшенных связей от внешней нагрузки и от “лишних” неизвестных и приравниваются к нулю. Полученная система уравнений решается относительно неизвестных сил, действующих в “лишних” связях. Отсюда и название метода. Покажем применение метода сил на простом примере.
Рассмотрим один раз статически неопределимую балку (Рис.8.19). Требуется раскрыть ее статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
В сечении А балка имеет жесткую опору, исключающую перемещение и поворот сечения. Такая опора соответствует наличию трех связей. На правом конце балка опирается свободно и имеет одну связь. Таким образом, балка имеет четыре связи при трех степенях свободы. Степень статической неопределимости балки равна единице.
Изобразим
балку и расставим “характерные”
сечения: на левом конце, посредине и на
правом конце (Рис.8.19,а). Оборвем одну
связь в сечении В и действие связи
заменим реакцией
(Рис.8.19,б). Величина этой реакции
неизвестна, но она должна быть такой,
чтобы вертикальное перемещение сечения
В было равно нулю. В этом условии будет
заключаться эквивалентность исходной
системы (Рис.8.19а) и статически определимой
системе, изображенной на рис.8.19,б. Чтобы
описать условие эквивалентности двух
систем, воспользуемся принципом
независимости сил, сначала изобразим
балку, нагрузив ее только внешней
нагрузкой (Рис.8.19,в). Перемещение сечения
В, вызванное внешней нагрузкой, обозначим
.
Далее изобразим балку, нагруженную
только сосредоточенной силой
.
Перемещение сечения В, вызванное этой
нагрузкой, обозначим
.
Сумма этих перемещений должна равняться
нулю, так как в исходной системе сечение
В в вертикальном направлении не
перемещается:
.
(8.6)
Уравнение (8.6) удобно записывать в канонической форме:
,
(8.7)
где
.
Здесь
перемещение, вызванное силой, равной
единице, приложенной в сечении В
(Рис.8.19,е).
Рис.8.19
Неизвестную
реакцию
можно определить из уравнения (8.7), если
предварительно найти перемещение
,
которое назовем грузовым, и перемещение
,
которое назовем единичным.
Чтобы
определить грузовое перемещение
,
построим грузовую эпюру изгибающих
моментов (Рис.8.19д), единичную эпюру
(Рис.8.19ж) и перемножим их, воспользовавшись
формулой Мора-Симпсона:
.
(8.8)
В рассматриваемом примере:
.
Единичное
перемещение
найдем, умножив единичную эпюру
(Рис.8.19,ж) саму на себя, воспользовавшись
формулой треугольников:
,
(8.9)
где
число участков в стержневой системе.