8.6. Матричная форма метода сил

При ручном счете возникают серьезные вычислительные трудности уже при степени статической неопределимости три и выше. Кроме этого, возрастает вероятность ошибок при определении грузовых и единичных перемещений, решении систем канонических уравнений и т.д. С развитием ЭВМ появилась возможность некоторые рутинные и громоздкие вычислительные операции переложить на электронную машину. Однако, ряд операций, связанных с подготовкой задачи, приходится решать вручную. Речь идет о построении эпюр грузовых и единичных изгибающих моментов. Численные значения грузовых и единичных моментов, длины участков, жесткости элементов конструкции можно специальным образом обработать и занести в память ЭВМ. Все дальнейшие расчеты ЭВМ производит без участия человека по специально разработанной программе. В результате этих расчетов ЭВМ выдает на печать информацию о распределении внутренних силовых факторов.

Сформулируем матричную запись системы канонических уравнений. Для этого сформируем несколько матриц, в число которых входят матрица-столбец “лишних” неизвестных, матрица-столбец свободных членов, матрица единичных коэффициентов.

Матрица-столбец “лишних” неизвестных , матрица-столбец свободных членови матрица единичных коэффициентовимеют соответственно вид:

; ;. (8.20)

Матричная запись системы канонической системы уравнений с учетом (8.20) принимает вид:

. (8.21)

Решение матричного уравнения (8.21) относительно вектора “лишних” неизвестных принимает вид:

, (8.22)

где матрицу свободных членов можно определить с помощью матричного уравнения:

. (8.23)

Здесь матрица податливости. Дляго элемента системы матрица податливости имеет вид:

. (8.24)

Матрицу единичных коэффициентов найдем из матричного уравнения:

. (8.25)

С учетом (8.23) и (8.24) матричная форма системы канонических уравнений имеет вид:

. (8.26)

Матричное уравнение для определения суммарных изгибающих моментов записывается в виде:

. (8.27)

Сформулируем порядок решения статически неопределимых систем методом сил матричным методом:

1. Разбиваем статически неопределимую систему на участки (Рис.8.32), выбираем точку наблюдения, вводим положительные и отрицательные стороны и проставляем слева направо “характерные” сечения на каждом участке.

Рис.8.32. Подготовка задачи к решению

2. Определяем степень статической неопределимости системы.

3. Выбираем основную систему.

4. Изображаем эквивалентную систему.

5. Строим эпюру грузовых моментов .

6. Изображаем единичные состояния системы и строим эпюры единичных моментов .

7. Формируем матрицу грузовых моментов:

, (8.28)

где  число участков.

8. Формируем матрицы единичных моментов:

. (8.29)

9. Формируем матрицу податливости :

, (8.30)

где  ый элемент матрицы податливости определяется из выражения (8.24).

10. Вводим сформированные матрицы в определенной последовательности в память ЭВМ. Электронная машина вычисляет значения всех “лишних” неизвестных и суммарные изгибающие моменты и поперечные силыв каждом из “характерных” сечений и выдает на печать в виде соответствующих векторов. На печать выводится также вся вводимая информация.

11. По векторам истроим соответствующие суммарные эпюры.

12. Методом вырезания узлов строим эпюру продольных сил .

8.7. Особенности расчета статически неопределимых (неразрезных) балок методом сил

Рассмотрим неразрезную балку (Рис.8.33). Балка нагружена сосредоточенной силой и имеет четыре опоры: крайняя левая опора жесткая, три остальные опоры шарнирно подвижные. Степень статической неопределимости балки равнаи может быть определена по формуле (8.3).

Рис.8.33

Решая эту задачу в традиционном плане, было бы естественным взять в качестве “лишних” связей неизвестные реакции ,и. Однако, традиционное решение задачи путем отбрасывания внешних связей оказывается при расчете неразрезных балок весьма громоздким. В связи с этим обычно такие задачи решают путем врезания шарниров в тело балки таким образом, чтобы при этом балка была статически определимой и оставалась геометрически неизменяемой. Вариант основной системы в такой постановке приведен на рис.8.34.

Рис.8.34. Вариант основной системы

Шарниры можно врезать в любом месте балки при условии ее геометрической неизменяемости. Но проще врезать шарниры на промежуточных опорах. В результате мы получаем статически определимую (разрезную) балку, состоящую из нескольких независимых друг от друга балок. В качестве “лишних” неизвестных при этом принимаются внутренние опорные моменты. Вид эквивалентной системы представлен на рис.8.35.

Рис.8.35. Эквивалентная система

Смысл канонических уравнений метода сил при таком выборе основной системы принципиально меняется. Если в прежней постановке идея метода сил состояла в определении перемещений в месте отброшенных связей и приравниванию этих перемещений нулю, то при расчете неразрезных балок такой подход не годится. Исходя из энергетической природы метода Мора, момент может совершать работу только на угле поворота сечения. Но углы поворота сечений, в которых приложены опорные моменты, кроме крайнего левого, в процессе деформации не равны нулю. А вот взаимные углы поворота двух прилегающих к опоре сечений на опоре, где поставлен шарнир, равны нулю (Рис.8.36).

Рис.8.36

В этом и состоит физический смысл системы канонических уравнений метода сил при расчете неразрезных балок.