8.8. Примеры расчета статически неопределимых стержневых систем методом сил
Пример 8.1. Определить усилия (в кН) в стержнях фермы, изображенной на рис.8.37.
Рис.8.37
Решение:
1.
Определяем степень статической
неопределимости:
.
2. Выбираем основную систему (Рис.8.38).Основная система получается из заданной путем рассечения одного из стержней, например, стержня ВС.
Рис.8.38. Основная система
3. Изображаем эквивалентную систему (Рис.8.39).
Рис.8.39. Эквивалентная система
Каноническое уравнение метода сил имеет вид:
.
(а)
Физический смысл этого уравнения состоит в том, что взаимное перемещение сечений, которые получились при рассечении стержня ВС, равно нулю.
4. Изображаем грузовое состояние системы (Рис.8.40) и определяем усилия в стержнях фермы АВ и ВD.
Рис.8.40. Грузовое состояние системы
Составляем уравнения равновесия сил
на оси
и
:
;
(б)
,
(в)
откуда находим:
кН;
.
5. Изображаем единичное состояние системы (Рис.8.41) и находим единичные усилия в стержнях фермы:
Рис.8.41. Единичное состояние системы
Составляем уравнения равновесия на оси
и
:
;
(б)
,
(в)
откуда находим:
;
.
6. Определяем грузовое
и единичное перемещения
.
Для этого воспользуемся формулой
Максвелла:
;
.
Из уравнения (а) находим “лишнюю”
неизвестную
:
кН.
Усилия в стержнях
и
найдем из формулы:
. (г)
Подставляя в формулу (г) значения “лишней” неизвестной, грузовых и единичных изгибающих моментов, получаем:
кН;
кН.
Пример 8.2.Определить реакцию опоры В рамы, изображенной на рис.8.42.
Рис.8.42
Следует отметить, что в заданной постановке можно избежать построения суммарных эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для определения реакции опоры В. Для этого нужно выбрать таким образом основную систему, чтобы связь в опоре В оказалась “лишней”. Тогда “лишняя” неизвестная, заменяющая действие “лишней” связи, и будет искомой реакцией.
Решение:
1. Разбиваем раму на участки, выбираем точку наблюдения, вводим положительные и отрицательные стороны и проставляем “характерные” сечения.
2. Определяем степень статической
неопределимости:
.
3. Выбираем основную систему. Так как
нас интересует реакция опоры В, принимаем
в качестве “лишней” неизвестной
реакцию в этой опоре (Рис.8.43).
Рис.8.43. Основная система
4. Изображаем эквивалентную систему (Рис.8.44).
Рис.8.44. Эквивалентная система
Каноническое уравнение метода сил имеет вид:
.
(а)
Физический смысл этого уравнения –
равенство нулю перемещений в направлении
“лишней” неизвестной
,
вызванное самой “лишней” неизвестной
и внешней нагрузкой.
5. Изображаем грузовое состояние системы
(Рис.8.45,а) и строим грузовую эпюру
изгибающих моментов
(Рис.8.45,б).
Рис.8.45
6. Изображаем единичное состояние системы
(Рис.8.46,а) и строим единичную эпюру
изгибающих моментов
(Рис.8.46,б).
Рис.8.46
7. Перемножая грузовую эпюру
и единичную эпюру
изгибающих моментов по формуле
Мора-Симпсона (8.8), находим грузовое
перемещение
:
.
(б)
8. Перемножая единичную
изгибающих моментов саму на себя по
формуле треугольников (8.9), находим
единичное перемещение
:
.
(в)
Подставляя (б) и (в) в уравнение (а) и решая
его относительно
,
получим:
кН
Полученная значение для “лишней”
неизвестной
и есть величина опорной реакции В.
Положительный знак у реакции означает,
что направление “лишней” неизвестной
,
а, следовательно, и реакции опоры В
выбрано верно.
Пример 8.3.Определить реакции опор неразрезной балки, представленной на рис.8.47.
Рис.8.47
Решение:
1.Разобьем балку на участки и проставим на каждом участке “характерные” сечения (Рис.8.47).
2. Определяем степень статической
неопределимости:
.
3. Выбираем основную систему (Рис.8.48).
Рис.8.48. Основная система
4. Изображаем эквивалентную систему (Рис.8.49).
Рис.8.49. Эквивалентная система
Каноническое уравнение метода сил имеет вид:
.
(а)
Физический смысл этого уравнения –
равенство нулю взаимного угла поворота
двух, прилегающих к опоре В сечений,
вызванного внешними силами и опорными
моментами
,
принятыми в качестве “лишней”
неизвестной.
5. Изображаем грузовое состояние системы
(Рис.8.50,а) и строим эпюру грузовых
изгибающих моментов
(Рис.8.50,б).
Рис.8.50
6. Изображаем единичное состояние системы
(Рис.8.51а) и строим эпюру единичных
изгибающих моментов
(Рис.8.51б).
Рис.8.51
7. Используя формулу треугольников
(8.9), определяем грузовое перемещение
и единичное перемещение
,
перемножая соответствующие эпюры
изгибающих моментов:
;
(б)
(в)
8. Подставляя (б) и (в) в (а), находим
:
кНм.
(г)
9. Определяем суммарные изгибающие
моменты
в “характерных” сечениях по формуле
(8.10) и строим суммарную эпюру изгибающих
моментов (Рис.8.52).
кНм;
кНм;
кНм;
кНм;
кНм;
кНм;
.
Рис.8.52. Суммарная эпюра изгибающих моментов
10. Вырезаем участки (Рис.8.53), составляем
уравнения равновесия, определяем
значения поперечной силы и строим
суммарную эпюру поперечных сил
(Рис.8.54).
Рис.8.53
Составляем уравнение равновесия для участка №1:
.
Откуда:
кН.
Поперечная сила на участке будет постоянной, так как на участке отсутствует распределенная нагрузка. Поэтому при определении поперечной силы на участке достаточно составить только одно уравнения равновесия.
Составляем уравнение равновесия для участка №2:
.
Откуда:
кН.
Составляем уравнение равновесия для участка №3:
.
Откуда:
кН.
Строим суммарную эпюру поперечных сил (Рис.8.54).
Рис.8.54. Эпюра суммарных поперечных сил
11. Пользуясь эпюрой поперечных сил (Рис.8.54), определяем опорные реакции и проставляем их на рис.8.55.
кН;
кН;
кН.
Рис.8.55. Опорные реакции неразрезной балки