Курс і прибутковість безкупонної облігації з погашенням по номіналу

Доход від такої облігації одержують як різницю між номіналом N при погашенні і ціною Р облігації. Через те, що поточних виплат немає, то і поточна прибутковість нульова. Якщо облігація куплена за m років до погашення, то дисконтуючи платіж N до сучасного моменту по процентній ставці і, одержимо теоретичну ціну облігації

(8.11)

Отже, курс облігації

(8.12)

Ясно, що для такої облігації курс завжди менше 100%.

Тепер знайдемо прибутковість облігації, вважаючи ціну відомою. Ціна Р, нарощувана по ставці прибутковості j, через m років стане дорівнювати номіналові облігації.

Отже,

або ,

звідки остаточно

(8. 13)

Курс і прибутковість безкупонної облігації з виплатою купонних процентів при погашенні

Проценти по такій облігації нараховуються з капіталізацією по складній купонній ставці q і виплачується наприкінці терміну одночасно з погашенням. Через те, що поточних виплат немає, то поточна прибутковість нульова. Нехай q i i − ставки купона і процента відповідно, і нехай через n років після випуску облігація буде погашена.

Таким чином, загальна сума, що виплатять власникові при погашенні, дорівнює . Припустимо, що облігація куплена заm років до погашення. Дисконтуючи до цього моменту суму по процентній ставціі, одержимо теоретичну ціну облігації Р.

Отже, , і курс облігації є

(8.14)

Тепер визначимо прибутковість облігації. Відома ціна P, нарощувана по ставці прибутковості j, через m років повинна вирости до , маємо, таким чином, рівняння для визначення ставки прибутковості:

,

звідки

(8.15)

Курс і прибутковість облігації з періодичною виплатою процентів і погашенням

Це самий загальний тип облігацій. Сумарний доход від облігацій даного типу складається з регулярних купонних виплат і росту курсу, що дає доход при продажі облігації або від погашення облігації. Тут доход може визначатися різницею ставок процента при випуску облігації й у момент її погашення. Купонні виплати формують поточну прибутковість.

Нехай q i i – ставки купона і процента відповідно. Якщо облігація куплена за m років до погашення, то майбутні купонні доходи (q N) складають річну ренту і її сучасна величина є , де– коефіцієнт приведення цієї ренти, тобто .

Додавши сюди ще сучасну величину номіналу погашення , одержимо теоретичну ціну облігаціїР.

Отже,

, (8.16)

отже, курс облігації

(8.17)

Тепер визначимо прибутковість облігації розглянутого типу. Дисконтуючи номінал облігації при погашенні і купонні платежі по поки ще невідомій ставці прибутковості j, ми повинні одержати ціну облігації Р.

Отже, маємо рівняння

,

звідки можна знайти j.

Це трансцендентне рівняння щодо шуканого параметра, яке можна вирішити тільки приблизно. В даний час такі рівняння легко вирішуються за допомогою комп’ютера. З такими рівняннями ми вже зіштовхувалися при визначенні додаткових фінансових параметрів.

Залежність ціни облігації від ставки процента

Розглянемо самий загальний тип облігацій, а саме, з періодичною виплатою процентів і погашенням. Ціна такої облігації

(8.18)

складається з дисконтованих до сучасного моменту номіналу погашення N і купонних виплат q N. Легко бачити, що обидві ці величини убувають при підвищенні ставки процента i, виходить, і ціна облігації при цьому також падає. Це падіння ціни тим більше, ніж далі момент погашення облігації.