2. Прості проценти

2.1. Нарощення по простій процентній ставці Позичкові проценти

Оскільки прості проценти нараховуються тільки на початкову суму, проценти I₁, нараховані за одиницю часу, дорівнюють:

(2.1)

I₁ = PV · i

Тому нарощена вартість грошей за n періодів є

FV = PV + PV · i + … + PV ·I = PV + PV · n · I = PV (1+ ni)

тут

PV · n · i = I_n

Проценти за n періодів.

Таким чином,

Якщо процентна ставка перемінна, а саме, протягом n₁ періодів процентна ставка дорівнює i₁, протягом n₂ періодів процентна ставка дорівнює i₂, протягом n_k періодів процентна ставка дорівнює i_r, то формула (2.2) прийме вигляд:

Формула (2.3) – це формула для обчислення нарощеної суми грошей у випадку використання схеми простих процентів при перемінній процентній ставці.

Розрахунки з заданим числом періодів зустрічаються рідко. Частіше задається річна ставка і і термін операції, виражений у днях, рідше – у місяцях.

Позначимо термін реалізації через t (time), тривалість року, виражену в тих же одиницях, через y (year). Тоді формула (1.2) прийме вигляд:

де

I = ·i · PV

- проценти за час t. У цьому випадку t i y можуть бути обчислені як точно, так і приблизно, відповідно до таблиці 2.1. У фінансових розрахунках, як правило, за звітний період приймається рік.

В залежності від сполучення t i y можуть бути наступні способи розрахунків.

1) Англійська практика: t i y виміряні точно. Метод називається вирахуванням точних процентів з фактичним терміном операції. Для визначення t користуються таблицею порядкових номерів днів у році: з номера дня закінчення операції віднімають день її початку, якщо день видачі і день погашення позички вважається за 1 день.

2) Французька практика: t виміряно точно, а y – приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів з фактичним терміном операції. У цьому випадку проценти виходять більшими, ніж у першому, тому що знаменник дробу дорівнює 360, а не 365 або 366. Звичайно по такому принципу ведуться банківські операції.

3) Німецька практика: t i y виміряні приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів з наближеним терміном операції. З застосовується при деяких розрахунках з населенням.

Випадок, коли t виміряно приблизно, а y – точно, на практиці не використовується.

Таблиця 2.1.

Можливі сполучення t I y.

Показник Вимір	t	y
Точний	Фактично днів у місяці	Фактично днів у році (365 або 366)
Наближений	Число днів у всіх місяцях дорівнює 30	Тривалість року дорівнює 360

Важливим поняттям фінансової математики є прибутковість фінансової операції, під якою розуміється процентна ставка за період. Формула (2.4) є вихідною для виведення базової формули ставки прибутковості фінансової операції. З (2.4) одержуємо:

(2.5)

i =

2.2. Дисконтування по простій процентній ставці Позичкові проценти

Означення дійсної вартості майбутніх грошей називається дисконтуванням (на відміну від компаудинга). Дійсна вартість залежить, насамперед, від застосовуваної схеми нарахування процентів.

Для випадку простих процентів з формул (2.2) і (2.4) одержуємо:

або

Доход або проценти при цьому дорівнюють: