2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

РАЗДЕЛ 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Тема 1. Экономико-математическое моделирование. Выбор математического метода для решения экономических задач

Экономико-математические методы представляют собой своеобразный инструментальный набор, с помощью которого экономисты, бизнесмены, менеджеры, стремясь добиться наилучшего эффекта, «обрабатывают» свой материал. Этот инструментарий имеет свою историю.

История возникновения

Обычно исторически первой моделью общественного производства считают экономическую таблицу Ф. Кенэ (1694-1774). В 1758 г. он опубликовал первый вариант своей «Экономической таблицы». Математические модели использовались А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли). В ХIХ в. складывается самостоятельное математическое направление политической экономии, главным содержанием которого является теория полезности (маржинализм). Родоначальником математической школы считается французский ученый О. Курно (1801-1877). В 1838 г. вышла его книга «Исследование математических принципов теории богатства». Яркими представителями этой школы являются Л. Вальрас (1834-1910) в Швейцарии, Ф. Эджворт

(1845-1926) в Англии, В. Парето (1848-1923) в Италии, В. Дмитриев (1868-1913) в

России. Заслуженное место в истории математического моделирования потребления занимает работа известного русского ученого Е.Е. Слуцкого (1880-1948) «К теории сбалансированного бюджета потребителя». Важное место в развитии математического направления в экономике занимает работа Л.Н. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», которая положила начало новому направлению – методам линейного программирования, методам математического программирования.

Построение моделей

Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Между моделью и ее прототипом не может существовать взаимнооднозначного соответствия, так как модель – это абстракция, связанная с обобщением и потерей информации. Как обычно строится экономическая модель?

1.Уясняем задачу, ее экономический смысл. На этой основе устанавливаем цель решения.

2.Оцениваем экономическую ситуацию – определяем, от чего зависит достижение установленной цели.

3.Выбираем численный показатель, от которого зависит достижение цели.

7

4.Строим математическую модель операции, устанавливающую количественные зависимости избранного показателя от условий задачи. Для этого обращаемся к таблице 2.1.1, подбираем соответствующий экономико-математичес- кий метод.

5.С помощью математической модели и найденного экономико-математи- ческого метода решаем задачу.

Таблица 2.1.1

Выбор математического метода для решения экономической задачи

	№	Экономический смысл задачи	Математический
	п/п		метод
		Экономические расчеты, связанные с определением долей,	Арифметика (доли, про-

1процентов, пропорций материальных ресурсов, счетом деценты, пропорции), алнег, вычислением прибыли, налогов, рентабельности и т.п. гебра (уравнения, функ-

	ции, графики)
Расчеты задач, содержащих последовательности взаимо-	Арифметические и гео-
2 связанных экономических показателей и объектов (напри-	метрические прогрессии
мер, так называемые «пирамиды»)

3Вычисления, связанные с сочетанием различных экономиКомбинаторика ческих объектов, их перестановкой и размещением

4Расчеты в области пространственных отношений и форм Геометрия экономических объектов

Оценка экономических ситуаций, связанных с определениЛогика

5ем истинности или ложности информации, необходимостью найти выход из затруднительного положения

Выбор оптимального варианта решения экономической заЛинейное

6дачи для случая, когда условия описываются уравнениями программирование 1-й степени

Выбор оптимального варианта решения экономической заНелинейное

7дачи для случая, когда условия описываются уравнениями программирование 2-й и более степени Выбор оптимального плана многоэтапной экономической Динамическое

8операции, когда результаты каждого последующего этапа программирование зависят от предыдущего

9	Экономические расчеты, связанные с явлениями и величи-	Теория вероятностей
	нами случайного характера	Математическая
10	Сбор, обработка и анализ статистических экономических
	материалов	статистика
	Расчеты производственно-экономических показателей и	Теория массового
11	выработка необходимых рекомендаций в массовых пов-	обслуживания
	торяющихся случайных явлениях	(теория очередей)
	Экономические расчеты, связанные с явлениями и величи-	Методстатистических
12	нами случайного характера, на основе искусственно произ-	испытаний(Монте-Карло)
	веденных статистических материалов	Теория игр
	Выработка экономических решений в условиях неопреде-

13ленности ситуации, вызванной сознательными злонамеренными действиями конфликтующей стороны

	Выработка экономических решений в условиях неопреде-	Теория
14	ленности ситуации, вызванной объективными обстоятель-	статистических решений
	ствами	Сетевое планирование
	Составление и реализация рациональных планов проведе-
15	ния экономических операций, предусматривающих реше-
	ние задач в кратчайший срок и с наилучшими результатами

8

Лучше всего рассмотреть применение экономико-математических методов на конкретном примере.

Пример 1. Вам предлагают купить товар весом в 100 тонн. Взвешивание проводилось некоторое время назад, при этом было определено процентное содержание в товаре жидкости, которое составило 99%. На момент покупки за счет усушки доля жидкости уменьшилась до 96%. Необходимо рассчитать, сколько весит предлагаемый товар.

Итак, по порядку:

1.Экономический смысл задачи в том, что, рассчитывая уменьшение веса за счет усушки, мы не располагаем прямыми данными об уменьшающемся весе товара. Цель решения – определить, на сколько снизился вес за счет усушки.

2.Снижение веса зависит от изменения количества испаряющейся в процессе усушки жидкости. Это отражается на весе товара.

3.Основным показателем снижения веса товара является его абсолютное изменение, а не изменение процентного содержания жидкости. Так как изменение содержания жидкости на определенный процент совсем не означает, что и вес товара изменится на тот же процент.

4.Математическая модель должна установить зависимость абсолютного изменения веса при усушке от изменения процентного содержания воды. Поскольку в нашей задаче стоит вопрос об определении процентов и пропорций, в качестве экономико-математического метода следует выбрать арифметику и алгебру.

5.Обозначим через х искомый вес товара при втором замере содержания жидкости. Составим уравнение, которое и будет математической моделью нашей задачи:

	х − 1	= 96% =		96	(1)
	х		100

Здесь 1 тонна – это вес сухого остатка – неиспаряемой части товара, одинаковой для первого и второго замера содержания жидкости:

(100 т – 99% от 100 т. = 1 т.).

Решая уравнение (1), получим:

х = 100/4 = 25 т.

6. Делаем проверку найденного решения (табл. 2.1.2):

							Таблица 2.1.2
		Проверочная таблица
Замер	Сухой остаток		Жидкость			Всего
	%	вес, т	%	вес, т	%		вес, т
1-й	1	1	99	99	100		100
2-й	4	1	96	24	100		25

Что и требовалось доказать.

9

Экономико-математические модели дают возможность сделать прогноз на будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь.

Основные типы моделей

Классифицируют экономико-математические модели по различным признакам.

По признаку целевого назначения выделяют теоретические и прикладные модели.

Теоретические модели предназначены для изучения общих закономерностей и свойств рассматриваемой экономической системы.

Прикладные модели дают возможность определять и оценивать параметры существования конкретных экономических объектов и создавать рекомендации для принятия практических решений.

По признаку масштаба (величины) изучаемого экономического объекта модели делят на макроэкономические и микроэкономические.

Макроэкономические модели описывают экономику государства как единое целое, связывая между собой укрупненные материально-вещественные и финансовые показатели: ВНП, инвестиции, потребление, инфляцию, количестводенегит.д.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде.

По признаку характера зависимости от времени модели делят на ста-

тистические и динамические.

Статистические модели – это модели, в которых значения всех параметров относятся к одному моменту или периоду времени.

Динамические модели – это модели, у которых параметры изменяются во времени.

По признаку способа отображения времени модели делятся на непрерывные и дискретные.

Непрерывные модели – это те, в которых, время рассматривается как непрерывный фактор.

Дискретные – это модели, в которых время квантовано.

По характеру отображения причинно-следственных связей различают детерминированные, стохастические и теоретико-игровые модели.

Детерминированные модели – это модели, в которых предполагаются жесткие функциональные связи между переменными.

Стохастические модели – модели, в которых допускается наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используются законы теории вероятностей и математической статистики.

Теоретико-игровые модели – модели, в которых учитывается воздействие факторов, обладающих более высокой степенью неопределенности.

10