Вопросы для самоконтроля

1.Какие экономические задачи решает сетевое планирование?

2.Дайте определение графа, ориентированного графа, пути.

3.Дайте определение сетевого графика, работы, события.

4.Перечислите основные свойства построения сетевого графика.

5.Как рассчитывается критический путь в сетевой модели?

6.Как рассчитываются резервы времени некритических операций?

7.Что учитывается при построении сетевого графика?

8.Перечислите правила полных и свободных резервов времени.

Задачи

Задача 1. Составить сетевой график выполнения работ и рассчитать временные параметры по данным, представленным в таблице.

Содержание работы	Обозначение	Предыдущая	Продолжительность
		работа
Заказ и доставка оборудования	а1		10
Составление сметы	а2	а1	15
Распределение кадров	а3	а1	5
Установка оборудования	а4	а2	20
Подготовка кадров	а5	а3	9
Оформление торгового зала	а6	а4	8
Доставка товаров	а7	а5	7
Заказ и получение ценников	а8	а5	5
Заказ и получение формы	а9	а5	6
Выкладка товаров	а10	а6 , а7	3
Заполнение ценников	а11	а8	4
Генеральная репетиция	а12	а9 , а10 , а11	2

Тема 7. Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания и метод статистических испытаний (Мон- те-Карло), как теория вероятностей и математическая статистика, применяются в тех экономических задачах, в которых решение определяется случайными факторами и обстоятельствами, то есть такими, которые могут принимать различные, заранее не известные значения.

Теория массового обслуживания дает возможность учесть эти случайности в процессах, связанных с потоками требований (заказов) на обслуживание. Например, в течение ограниченного времени необходимо обслужить покупателей магазинов, клиентов сферы обслуживания, принять заявки на ремонтные работы, телефонные сети, железнодорожные кассы, автозаправочные станции и т.п.

Обслуживаемые объекты называются каналами обслуживания. Требования (заказы) на обслуживание называются заявками.

Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы оказываются занятыми, происходит сбой в обслуживании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют также теорией очередей.

74

Блоки обслуживания в различных системах различаются между собой по многим показателям. Во-первых, блок обслуживания может состоять из одного или нескольких «приборов» (под «прибором» понимается устройство или человек, обслуживающий заявки). Например, в магазине может быть одна или нескольких касс. В первом случае система называется одноканальной, во втором – многоканальной. Во-вторых, системы массового обслуживания могут быть однофазными и многофазными. В первом случае заявка обсуживается только одним прибором, во втором – последовательностью приборов. Например, касса в магазине – однофазная система, сберкасса – двухфазная, т.к. сначала клиент обслуживается контролером, а затем получает деньги у кассира.

В зависимости от характера формирования очереди различают:

•системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной. Например, позвонив в справочную «09» Вы в трубке слышите короткие гудки, значит все каналы заняты и Вашу заявку в очередь не поставили;

•системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы заняты. Например, позвонив

всправочную «09» Вы в трубке услышите: «справочная 09 просит ожидать соединения с телефонисткой». Значит в этот момент все каналы заняты, но Вы поставлены в очередь.

Теория массового обслуживания ставит своей задачей организовать обслуживание таким образом, чтобы длина очереди была минимальной, а время прохождения заявки – оптимальным. При этом должно обеспечиваться минимальное время простоя помещений, оборудования и персонала системы обслуживания и ее возможная максимальная загрузка.

Для решения таких задач необходимо уметь рассчитывать следующие показатели СМО:

1.Вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся свободными.

Pc	=		1				,
		n
				ρ k
		∑
					k!
		k =0

где k – количество занятых каналов;

n – общее число каналов обслуживания;

ρ = λ/μ,

где λ – среднеожидаемое количество заявок на обслуживание в единицу времени (плотность потока заявок);

1/μ – среднее время обслуживания одной заявки;

μ– среднее количество обслуживаемых в ед. вр.

2.Среднеожидаемое число свободных каналов.

N c = n∑−1(n − k )Pn ,

k =1

75

где Pn – вероятность того, что все каналы будут заняты.

Pn = Pc × ρn

n!

3. Вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся занятыми.

Pз = Pc × ρn n!

4. Среднеожидаемое число занятых каналов.

n

N з = ∑ k Pk

k =1

5. Коэффициент простоя каналов.

K n = Nnc

6. Доля загрузки каналов (за время обслуживания).

K з = Nnз

7.Вероятность того, что k каналов заняты.

ρk

P	=	k!
k		n	ρ k
		∑
			k!
		k =0

Пример 1. Пусть необходимо выбрать один из пяти вариантов строительства АЗС. Автомобили прибывают на станцию случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди: «первым пришел – первым обслужен». Известны следующие данные: средний интервал между прибытиями автомобилей ( 1 λ ) составляет 4 минуты; среднее время об-

служивания автомобилей ( 1 μ ). Результаты расчетов по исследованию различ-

ных вариантов строительства АЗС приведены в таблице 2.1.28.

Из анализа результатов расчетов следует:

Первый вариант строительства АЗС не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности.

Второй вариант хорош по показателю загруженности ρ = 0,875 и малой средней доли простоя оборудования 0,125, но при этом варианте возникают большие очереди и больше среднее время простоя автомобиля 27 мин 48 с.

Третий вариант приводит к тому, что оборудование, в среднем, половину времени простаивает, но ср. число автомобилей в системе равно только 1, а средние потери времени составляют 4 мин. при среднем времени обслуживания 2 мин.

В остальных вариантах очереди практически нет, но большую часть времени оборудование простаивает, поэтому эти варианты неэффективные.

76

Таблица характеристик

Характеристики СМО

1

2

3

Интервал м/у прибытиями ( 1					λ	)	4 мин	4 мин	4 мин
Ср. время обслуживания ( 1 μ )							5 мин	3,5 мин	2 мин
Интенсивность нагрузки
	ρ = (λ μ )						1,25	0,875	0,5
Коэф. простоя системы (1 −					ρ )		-0,25	0,125	0,5
Ср. число клиентов в очереди							-5	7	1
	ρ
	1	−
			ρ
Ср. длина очереди ( ρ 2						)	-6,25	6,125	0,5
			1 − ρ
Ср. время пребывания клиента в							-20	27,477	4
системе		1
			μ − λ
Время пребывания клиента в							-25	24,305	2
очереди		ρ
			μ − λ

Таблица 2.1.28

4	5
4 мин	4 мин
1 мин	0,5 мин
0,25	0,125
0,75
	0,875
0,333	0,143
0,083	0,018
1,333	0,571
0,333	0,071

Предварительная рекомендация по результатам анализа может состоять в предложении третьего варианта, если исходить из того, что наблюдается постоянная тенденция роста количества автомобилей в стране.

Пример 2. Торговое предприятие, обслуживающее покупателей по телефонным заказам, располагает пятью операторами (n = 5). Заказы на товары поступают в случайные моменты времени независимо друг от друга, в среднем по два заказа в минуту (λ = 2). Среднее время обслуживания покупателя составляет одну минуту (1/μ = 1).

Необходимо рассчитать:

1.Вероятность того, что в любой момент времени все операторы окажутся свободными − Рс.

2.Среднеожидаемое число свободных операторов − Nc.

3.Вероятность того, что у позвонившего покупателя некому будет принять

заказ, так как все операторы окажутся занятыми − Рз.

4.Среднеожидаемое число занятых операторов − Nз.

5.Коэффициент простоя операторов за время обслуживания − Kn.

6.Долю загруженных операторов − Kз.

Решение:

Сначала рассчитаем ρ = (λ μ )= 2×1 = 2 заказа.

1. Вероятность, что все операторы будут свободными:

Р

с

=

1

=

1

=

1

= 0,138

ρ

0

+

ρ

1

+

ρ

2

+

ρ

3

+

ρ

4

+

ρ

51

1 + 2 +

4

+ 86 + 1624 +

32

7,27

2

120

0!

1!

2!

3!

4!

5!

77

2. Среднеожидаемое число свободных операторов − Nc. Для этого найдем Рn: Pn = 0,138× 255! = 0,037

Произведем ряд вспомогательных расчетов:

Таблица вспомогательных расчетов

Число каналов (k)		ρ k		P	k × Pk	(n − k ) Pk
				k
		k!			0,0
0		–		0,138		0,688
1	2,0			0,275	0,275	1,101
2	2,0			0,275	0,550	0,826
3	1,333			0,183	0,549	0,367
4	0,667			0,092	0,368	0,092
5	0,267			0,037	0,185	0,0
Сумма				1,0	1,927	3,074

3.Вероятность, что все каналы заняты, мы рассчитали в предыдущем пункте:

Рз = 0,037

4.Среднеожидаемое число занятых операторов:

5

Nз= ∑ kPk = 1,927 = 2

k=1

5.Коэффициент простоя операторов:

Kn = 3,074/5 = 0,615

6. Доля загрузки операторов:

Kз = 1,927/5 = 0,386

Вопросы для самоконтроля

1.Для решения каких экономических задач применяется ТМО?

2.Основная задача, которая ставится перед ТМО?

3.Какую систему называют «системой с отказами»?

4.Какую систему называют «системой с неограниченным ожиданием»?

5.Какие основные показатели ТМО Вы знаете? Напишите формулы для расчета.

Задачи

Задача 1. В салоне-парикмахерской работает 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Определите среднюю длину очереди на обслуживание, считая ее неограниченной.

Задача 2. Дежурный по администрации города имеет 5 телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.

78