Задача 3. Предприятие коммунального обслуживания населения принимает от граждан заявки на ремонт вышедшего из строя оборудования систем: электричества, газа, водопровода, канализации. Среднеожидаемое количество заявок на обслуживание составляет 1 вызов в две минуты, средняя продолжительность приема заявки − 3 минуты. Необходимо рассчитать, какое количество операторов должно работать на приеме заявок на ремонт, чтобы обеспечить вероятность приема каждой заявки более 0,98?

Задача 4. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем 1 машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин. Определить характеристики работы АЗС как объекта СМО.

Задача 5. В минимаркете покупателей обслуживают 2 продавца. Среднее время обслуживания 1 покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в мин. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, не ждет снаружи и уходит. Определить вероятность того, что пришедший покупатель покинет магазин необслуженным.

РАЗДЕЛ 2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Тема 8. Функции полезности. Исследование модели потребительского спроса

Задача потребительского выбора

Любой из нас является потребителем. Каждый день мы приобретаем определенные количества блага, учитывая при этом структуру цен, доход, собственные предпочтения и мн. др. Математическая модель такого нашего поведения называется моделью потребительского выбора.

Следует отметить, что термин «полезность» имеет два различных значения. Первое – это качественная или сравнительная оценка, предпочтение одного объекта другому, второе значение этого термина – количественная оценка предпочтения, выраженная в виде числа. Учитывая эту двойственность, для отображения качественных характеристик используется термин «предпочтение», а термин «полезность» – для количественного представления предпочтений.

Рассмотрим потребительские наборы из двух благ А (х1,х2), где х1 – количество единиц первого блага, а х2 – количество единиц второго блага. Наш выбор, т.е. потребительский выбор, характеризуется отношением предпочтения: считается, что потребитель про каждые 2 набора А (а1,а2), В (b1,b2) может сказать, что один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы.

На множестве потребительских наборов (х1,х2) определена функция u(х1,х2) – функция полезности потребителя – способность блага удовлетворять одну или

79

несколько потребностей человека, значение которой на потребительском наборе (х1,х2) равно потребительской оценке для этого набора. Предельная полезность продукта убывает с каждым приростом того ее количества, которое есть в распоряжении человека в данный момент времени.

Потребительскую оценку u(х1,х2) набора (х1,х2) называют уровнем (степенью) удовлетворения потребностей индивидуума. Каждый потребительский набор имеет свою функцию полезности: если набор А предпочтительнее набора В,

то u (А) > u (В).

Свойства функции полезности:

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценке.

Если х12 > x11 ,		то u(х12 , x2 )>u(х11 , x2 )
Если х22 > x12 ,		то u (х1 , x22 )> u (х1 , x12 )
Следствие:
Пусть	∂u(x1, x2 )	=u1′ >0 ,	∂u(x1, x2 )	=u2′ >0
	∂x1
			∂x2

Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов. Для предельных полезностей первого и второго продуктов используется также символика М1 u(х1,х2), М2 u(х1,х2). Описывают отношение потребителя к приросту объема потребления данного товара на малую величину при условии фиксированных уровней потребления остальных товаров.

2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет – закон убывания предельной полезности (Закон Госсена).

Следствие:

Пусть	∂2u	= u11″ < 0 ,	∂2u	= u22″ < 0
	∂x2		∂x2
	1		2

Вторые частные производные описывают скорость изменения предельных полезностей каждого из товаров.

3. Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретет большую ценность и может быть потреблена более эффективно. Если блага могут полностью замещать друг друга в потреблении, то данное свойство не выполняется.

Следствие:

Пусть	∂2u		″		∂2u		″
			=u12	=			=u21	> 0
	∂x	∂х			∂x	∂х
	1	2			2	1

Помимо приведенного выше определения предельной полезности продукта в виде частной производной под предельной полезностью понимают отношение приращения функции полезности к приращению вызвавшего его количества этого продукта:

М1u(x1, x2 )= u(x1 + x1, x2 )−u(x1, x2 ) − предельная полезность первого продукта x1

80

М2u(x1, x2 )= u(x1, х2 + x2 )−u(x1, x2 ) − предельная полезность второго продукта x2

Линия, соединяющая потребительские наборы (х1,х2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей, называется линией безразличия. Линия безразличия − линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия.

y

х

Рис. 2.2.1. Линии безразличия

y

y

	х
			х
		Жесткая взаимозаменяемость
Абсолютная взаимозаменяемость

Рис. 2.2.2. Формы кривых безразличия

y

Зона замены (субсидии)

М

	О
					х
			К

Рис. 2.2.3. Образование зоны замены

На рис. 2.2.3 ОМ – min потребление товара у, от которого потребитель никогда не откажется;

ОК – min потребление товара х, от которого потребитель никогда не откажется.

Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Чем «северо-восточнее» расположе-

81

на линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует. Линии безразличия убывают, выпуклы к началу координат. Также справедлива следующая формула:

dx2 = − u1′ , dx1 u2′

из которой следует важное приближенное равенство:

−x2 ≈ u1′ x1 u2′

Отношение − x2 показывает, на сколько должен потребитель увеличить x1

(уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетво-

	рения своих потребностей. Поэтому дробь −	x2	называют нормой замены пер-
		x
		1			dx2
	вого продукта вторым на потребительском выборе (х1, х2), а производная –
					dx
			x2		1
	(которая равна предельному значению дроби	−		при х → 0 ) – предельной
			x1	1

нормой замены первого продукта вторым.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х10, х20 ), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода: p1x1 + p2x2 ≤ I , где р1 и р2 – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов, а I – доход потребителя, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов, точнее, его расход. Рассматриваемую задачу можно записать в следующем виде:

u(x1, x2 )→max

p1x1 + p2x2 ≤ I

x1 ≥0, x2 ≥0 p1x1 + p2x2 ≤I

Набор (х10, х20 ), который является решением задачи потребительского выбора, называет оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.

Общая модель потребительского выбора.

Пусть заданы:

-целевая функция предпочтения потребителя u (х1, х2 ,..., хn), где хi – количество i-го блага;

-вектор цен р = (р1, р2,…, рn);

-доход I.

82

Запишем математическую модель задачи потребительского выбора в общем виде:

u (х) → max рх ≤ I, x ≥ 0

Для решения этой задачи надо записать функцию Логранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.

L (x, λ) = u (х) + λ (px − I).

Необходимые условия экстремума – равенство нулю частных производных:

Li′ = ui′ +λ pi = 0, i =1Kn

Lλ′ =px − I = 0

Исключив из полученной системы (n+1) уравнения неизвестную λ, получим систему из n уравнений:

u	′		p
i		=	i	,
u j′
			p j

которую можно записать в другой форме:

	ui′	=	u j′
	pi		p j

Последняя запись означает, что дополнительная полезность, приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в точке оптимума одинакова по всем видам благ.

Функция спроса. Эффект компенсации

Функция D (p, I), ставящая в соответствие паре (р = цены на товары, I = доход потребителя) альтернативу х*, доставляющую потребителю максимальную полезность при условиях (p, I), называется функцией индивидуального спроса.

Свойства функции индивидуального спроса:

1.Функция D (p, I) непрерывна и дважды дифференцируема по всем переменным. Предположение непрерывности (малые изменения цен и дохода влекут за собой малые изменения количественных параметров спроса) естественным образом вытекает из определения функций спроса. Частные производные индивидуального спроса характеризуют свойства товаров как объектов покупательского спроса: производные по доходу I характеризуют ценность товара для потребителя, производные по ценам p типизируют товары по эффективности их для потребителя.

2.Функция индивидуального спроса является функцией нулевой степени однородности. Это означает, что пропорциональное изменение цен и дохода не изменяет абсолютной величины спроса потребителя ни по одному из видов товаров.

Если функция спроса имеет вид Di (pi , I), то спрос на i-й товар не зависит от цены на любой j-й товар. Функции спроса характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость. Общий эффект изменения

83