объема спроса на товар под влиянием изменения цены этого товара делится на 2 составляющие:

1.Эффект замены − изменение объема спроса, вызванное исключительно изменением относительно цены товара при неизменном реальном доходе, т.е. при сохранении уровня полезности потребляемого набора благ.

2.Эффект дохода − изменение объема спроса, вызвано исключительно изменением реального дохода при неизменности относительных цен товаров.

Функция спроса для конкретной функции потребительского предпочтения называется функцией Р. Стоуна и была выведена следующим образом:

u(x)= ∏n (xi −ai )αi → max ,

i=1

где аi – минимально необходимое количество i – ого блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора. Для того чтобы набор {аi} мог

быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход I был больше ∑ piai − i

количества денег, необходимых для покупки этого набора. Коэффициенты степени αi > 0 характеризуют относительную «ценность благ» для потребителя.

Добавив к целевой функции бюджетные ограничения ∑ piai ≤ I, xi ≥ 0 , по-

i

лучим задачу, называемую моделью Р. Стоуна. Функция Р. Стоуна имеет следующий вид:

			αi I − ∑ p ja j
x	= a	i	+		j
i					pi ∑α j

j

Сначала приобретается минимально необходимое количество блага аi. Затем рассчитывается сумма денег, остающаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности αi . Разделив количество денег на цену pi, получаем дополнительно приобретаемое сверх минимума количество I-го блага и добавляем его к аi.

Тема 9. Производственные функции

Связь между количеством продукта и количествами затраченных факторов может быть представлена математически с помощью непрерывной дифференцируемой функции, имеющей первые и вторые производные.

Производственная функция − это математически выраженная зависимость между максимальным количеством полученного продукта y и набором затраченных факторов производства x1, х2,…, хn за период времени для заданного множества технологий.

Производственная функция многих переменных: y = f (x1, х2,…, хn).

При анализе производства с помощью набора затрат факторов в форме ка- питал-труд производственная функция системы связывает количество полученного продукта y с затратами факторов труда L и капитала К за период времени y = f (L, К).

84

С точки зрения управленческого учета, затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства. Поэтому в краткосрочном периоде система производства может изменять только количество затрат труда, но не может изменить затраты капиталовложений. В долгосрочном периоде возможно изменение количества двух факторов производства – как труда, так и капитала.

Производственная функция ƒ (x1 ,x2) как формальная конструкция определена в первой четверти двумерной плоскости (т.е. определена при x1 ≥ 0, x2 ≥ 0). ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ − своему) свойств:

1.ƒ(0,0) = 0;

f(0, x2) = ƒ(x1 ,0) = 0.

2.x(1) ≥ x(0) (x(1) ≠ x(0)) ƒ(x(1)) > ƒ(x(0)) (x(k) = (x1(k), x2(k), k = 0,1));

x > 0 ∂f∂(x) > 0 (i = 1,2), x = (x1,x2). xi

3. x > 0 ∂f 2 (2x) ≤ 0 (i = 1,2), x = (x1,x2)

∂xi

x > 0 ∂∂f 2∂(x) ≥ 0 0 x = (x1,x2); x1 x2

4. ƒ(tx1 ,tx2) = t pƒ(x1 ,x2).

Свойство 1 означает, что без ресурсов или при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем вы-

пуска растет. Первая частная производная ПФ ∂f (x) положительна и означает,

∂xi

что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет. Упорядоченная пара (x1, x2) чисел x1 и x2 для краткости здесь и далее обозначается символом x, т.е. x = (x1, x2).

Свойство 3 (вторая частная производная ПФ ∂2 f (2x)		неположительная) оз-
	∂x
	i

начает, что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности). Смешанная производная неотрицательна и означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

Свойство 4 показывает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени p > 0. При p > 1 с ростом масштаба производства в t раз (число t > 1), т.е. с переходом от вектора x к вектору tx, объем выпуска возрастает в tp ( > t) раз, т.е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства.

При p < 1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба

85

производства. При p = 1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба (или независимость удельного выпуска от масштаба производства).

Для ПФКД y = a0x1a1x2a2 (a1 + a2 = 1) свойства 1-4 выполняются.

Для ЛПФ y = a0 + a1x1 + a2x2 (a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0) свойства 1 и 1' (при а0 = 0)

и свойство 4 не выполняются.

Пример. На рис. 2.2.4 (а) даны эскизы изоквант lq1 и lq2 ПФКД. Отметим, что изокванта lq2, расположенная «северо-восточнее» изокванты lq1, соответствует большему объему выпуска (т.е. q2 > q1). Если объем используемого основного капитала неограниченно растет (т.е. x1 = K→ +∞), то, как видно на рис. 2.2.4 (а), затраты труда неограниченно убывают (т.е. x2 = L→ +0). Аналогично, как видно на рис. 2.2.4 (а), если x2 = L→ +∞, то x1 = K→ +0. На рис. 2.2.4 (б) даны эскизы изоквант lq1 и lq2 (q2 > q1) ЛПФ.

Х2 Х2

l g 2

	l g		l g 1
						l g	l g 1		l g 2
			Х1							Х1
а)
					б)

Рис. 2.2.4. Примеры производственных функций

Тема 10. Статистическая модель межотраслевого баланса

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса. Математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

86

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x i − общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1, 2,…, n);

x ij − объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью в процессе

производства (I, j = 1, 2,…, n);

y i − объем конечного продукта I-й отрасли для непроизводственного по-

требления.

Так как валовой объем продукции любой I-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то:

n
xi = ∑xij + yi ,(i =1,2,...,n)	(1)

j =1

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать

стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1),

имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

	aij =	xij	, (i, j =1,2,..., n),	(2)
		x j

показывающие затраты продукции I-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij

будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

xij =aij xj ,(i, j =1,2,...,n),

(3)

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной..

Теперь соотношения баланса (1) примут вид:

				n
			xi = ∑aij xj + yi
				j =1
	x	1		a	11	a	12
Обозначим X =	x	2		a	21	a22
			, A =
	...			... ...
						an 2
	xn			an1

,(i =1,2,...,n)						(4)
...	a	1n		y	1
...
				y	2
... ...			, Y	=		,
				...
...	ann
				y n

87

где X − вектор валового выпуска; Y − вектор конечного продукта;

A − матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица). Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

X = AX + Y

(5)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрицы прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (5) в виде:

(E – A)X = Y	(6)
Если матрица (E – A)-1 невырожденная, т.е.		E − A		≠ 0,
X = (E – A)-1Y	(7)

Матрица S = (E − A)-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (s ij ), зада-

дим единичные векторы конечного продукта Y1 = (1, 0,…, 0)’, Y2 = (0, 1,…, 0)’, Yn = (0, 0,…, 1)’. Тогда по (7) соответствующие векторы валового выпуска будут:

X1 = (s11, s21, …, sn1)’, X2 = (s12, s22, …, sn2)’,…,

Xn = (s1n, s2n, … snn).

Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимая для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли yj =1 (j = 1, 2,…, n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xj должны быть неотрицательнымипринеотрицательных значенияхyi ≥ 0 иaij ≥ 0, гдеi, j = 1, 2,…, n.

Матрица A≥0 называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥0 существует решение X ≥0 уравнения (6). В этом случае модель Леонтьева называ-

ется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единиц, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица A продуктивна, если aij ≥0 для

	n	n
любых I, j = 1, 2,…, n и j=max1,2,...,n	∑aij ≤1, и существует номер j такой, что ∑aij p1.
	i=1	i=1

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, у.д.е.:

Отрасль		Потребление		Конечный	Валовой
		Энергетика	Машиностроение	продукт	выпуск
Производство	Энергетика	7	21	72	100
	Машино-	12	15	123	150
	строение

88

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение:

х1 = 100, x2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x21 = 12, x22 = 15; y1 = 72, y2 = 123

По формуле (2) находим коэффициенты прямых затрат:

a11 = 0,07, a12 = 0,14, a21 = 0,12, a22 = 0,10,т.е. матрица прямых затрат:

0,07		0,14		имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию
A=
	0,12	0,10

продуктивности:

max {0,07 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max{0,19; 0,24) = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле (7):

X = (E − A)-1Y

Найдем матрицу полных затрат S = (Е – А)-1:

0,93	−0,24			. Так как определитель,
E – A =
	0,90
−0,12
S = (E – A)-1 =	1			0,90	0,14
	0.8202			0,12
					0,93

По условию вектор конечного продукта Y= .

Тогда получаем вектор валового выпуска:

X =	1	0,90		0,14	144			179		,0
								=			,
	0,8202		0,12	0,93		123			160	,5

E − A = 0.8202 ≠ 0, то

	144
	123

Т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 у.е., а в машиностроительной − до 160,5 у.е.

89