Uchebnoe_posobie

столбца				данного									определителя: M																a22					a23				.			Чтобы				получить минор
																								11					a32					a33
M12 , необходимо вычеркнуть																								первую строку и второй столбец исходного
определителя: M															a21			a23					и т.д.
											12				a31			a33
	Количество миноров всегда равно количеству элементов данного
определителя.
																																									2	0
																																					1
	Пример. Найти все миноры определителя																																				3				7	12			.
																																					5				4	2
	Решение:										M11								12					62 ; M12								3	12								66 ; M13						3	7		23 ;
																7
																4			2													5	2														5	4
	M21										0		4		;									M 22							1		0								2 ;		M23				1	2			14 ;
						2
						4					2																			5			2														5	4
M31					0						24 ;				M32					1				0				12 ;				M33									1	2		13 .
		2
		7			12															3				12																	3	7
	Определение: алгебраическим дополнением элемента																																													aij		определи-
теля называется минор Mij																			этого элемента, взятый со знаком																												1 i	j , и обо-
значается					A								1 i		j M		ij	.
					ij
	Пример.										Найти алгебраические дополнения элементов																																				a13,a21 и a32
определителя
																												2			3
																									1
																									2			0					3	.
																									3			2			5
	Решение:
											0																			2			3
A			1	1	3		2						4 0 4; A											1			2	1													10 6			4 ;
13							3				2								21											2			5
A			1 3		2					1			3				3		6					3.
32								2					3

11

§3. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Вычисление определителей

Теорема: сумма произведений элементов любой строки или столбца определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

D a A	a A	....	a A	или D		a		A	a A	.... a A .
i1 i1	i2 i2		in in				1 j 1 j		2 j 2 j	nj nj
					1	2
				3
Пример.	Определитель		D	1	2	5		разложить по		элементам 1-й
				0	4	2

строки и по элементам 2-го столбца и вычислить.

Решение: 1. Разложим определитель по элементам 1-ой строки и вы-

числим:	D 3 1	1 1	2	5	1 1	1 2	1	5	2 1	1 3	1	2
			4	2			0	2			0	4

3 1		4	20			1	1			2	0	2 1				4		0					48	2		8		54.
		2.Разложим определитель по элементам 2-го																									столбца и вычислим:
D	1	1	1 2		1		5		2	1	2	2		3	2		4	1	3	2			3	2
					0		2							0	2								1	5
1		1	2		2 1 6				0		4	1			15	2		2		12			68			54 .
																							0	1
																					1
		Пример. Вычислить определитель D																			2		1	3			.
																					5		0	1
		Решение:				данный определитель удобно вычислить,																						разложив его по

элементам 2-го столбца, т.к. 1-ый и 3-ий элементы этого столбца равны нулю.

В результате имеем:	D 1 1	2	2	1	1	1 1 1 5	6 .
				5	1

Если определитель имеет четвертый или более высокий порядок, то его также можно разложить по элементам строки или столбца, а затем понижать порядок алгебраических дополнений.

	3	0	2	0
Пример. Вычислить определитель D	2	3	1	4	.
	0	4	2	3
	5	2	0	1

12

Решение: данный определитель удобнее вычислить, разложив его по

элементам			1-ой строки,								т.к. эта			строка				содержит два нулевых элемента:
							1	4									2	3	4
				3
D 3 1 1 1				4 2 3						0 A 2 1						1 3	0	4	3			0 A
											12												14
				2			0	1									5	2	1
3 2	1	3 1				1	4		1 1		3 3		3	1		2	4	1	2 2			2	4		3	1	2	3		2	3
						2	3						4	2								5	1							5	2
=
3 2 1	3		8			1 1		6		4	2 4 1 2					20		3	1		4		15			3 8		2			39	54

Сделав выводы из §1 и §3, можно перечислить основные способы вы-

числения определителей:

1. Определители второго и третьего порядков можно вычислять, используя непосредственно их определения, причем правило справедливое для вычисления определителей второго порядка не применимо для вычисления определителей третьего порядка и наоборот (см.§1).

2. Определители любых порядков можно вычислить с помощью их разложения по элементам строки или столбца (см.§3).

3. Определители можно вычислить способом приведения их к треугольному виду. Для этого к какой-либо строке или столбцу заданного определителя нужно прибавлять соответствующие элементы другой строки или столбца умноженные на одно и тоже число, до тех пор пока не придем к определителю треугольного вида (см. метод Гаусса).

	1	1	1	1
Пример. Вычислить определитель D	1	1	2	2	приведя его к
	1	1	1	3
	1	1	1	1

треугольному виду.

Решение: вычитая первую строку из всех остальных, сразу получим

			1	1	1	1
	определитель треугольного вида	D	0	2	1	1	1 2 2 2	8 .
			0	0	2	2
			0	0	0	2

13

§4. Обратная матрица. Обращение матриц Определение: квадратная матрица A называется вырожденной, если

ее определитель равен нулю. Если A - квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется матрица, которая, будучи умноженной на A , дает единичную матрицу, которая обозначается E . Обозначив обратную мат-

рицу через A 1, имеем A 1A E .

Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Теорема: для того чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы ее опре-

делитель был отличен от нуля.

При условии D

A

0обратная матрица находится по формуле

A11 / D

A21 / D ....

An1

/ D

A11

A21

....

An1

A / D

A / D ....

A

/ D

1 A

A

....

A

A 1

12

22

n2

12

22

n2

,

....

....

....

....

D .... .... .... ....

A1n / D

A2n / D ....

Ann / D

A1n

A2n

....

Ann

где A , A .....A

- алгебраические дополнения элементов матрицы A ;

11

21 nn

D - определитель матрицы A .

Для нахождения обратной матрицы используют следующий алгоритм:

1.Находят определитель матрицы A .

2.Находят алгебраические дополнения всех элементов aij матрицы A

изаписывают из них новую матрицу.

3.Транспонируют полученную в п.2 матрицу.

4.Умножают транспонированную матрицу на 1 / D

		Пример. Найти матрицу, обратную матрице A									2	1 .
											4	3
			Решение:					1.	Находим	определитель		матрицы	A :
D		A				1		2 3	1 4 10 . Так	как определитель не равен нулю, то
					2
					4	3

данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица.

2. Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы A :

14

A	1 1 1 3 3; A									1 1 2 4	4; A	1 2 1		1 1;
11							12				21
A	1 2 2				2		2. Запишем из найденных алгебраических дополнений но-
22
вую матрицу:					3		4 .
					1		2
	3. Транспонируем полученную п.2 матрицу:												3	1 .
													4	2
	4. Умножив полученную матрицу на 1 / D												1 / 10 ,		получим обратную
матрицу:		A 1			1		3	1		3 / 10	1 / 10	.
							4	2		4 / 10	2 / 10
					10
														1	2	3
	Пример. Найти матрицу, обратную матрице A													0	1	2 .
														3	0	7
	Решение: 1. Находим определитель матрицы:
							2	3
					1
	D		A		0 1 2				1 1 7 2 2 3 0 0 3 3 1 3 2 0 7 1 2 0 14
					3		0	7
.Т.к.	D	0 , то матрица A является невырожденной и, значит, можно найти
матрицу A 1.

2. Найдем алгебраические дополнения всех элементов исходной мат-

рицы:	A	7; A		6; A 3;	A	14; A	2; A	6; A	7; A	2;
	11	12		13	21	22	23	31	32
A33	1. Запишем новую матрицу, составленную из алгебраических допол-
	7	6	3
нений:	14	2	6 .
	7	2	1

3. Транспонируем полученную матрицу, в результате имеем:

					7	14	7
					6	2	2 .
					3	6	1
4. Умножив полученную матрицу на 1 / D								1 / 14 , получим:
	1		7	14	7		1 / 2	1	1 / 2
A 1			6	2	2		3 / 7	1 / 7	1 / 7 .
	14
			3	6	1		3 / 14 3 / 7		1 / 14

15

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1

a12x2

a13x3

....

a1nxn

b1

a21x1

a22x2

a23x3

.... a2nxn

b2

....... .. ..... ... ...... .......... ....... ... ...

an1x1

an2x2

an3x3

.... annxn

bn

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу A , а из свобод-

ных членов – матрицу-столбец B :

a11

a12

a13 ...

a1n

b1

A

a21

a22

a23 ...

a2n

B

b2

...

...

... ... ...

..

an1

an2

am3

... ann

bn

Определитель матрицы A обозначим

и назовем определителем сис-

темы. Тогда,

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

.

...

... ... ...

an1

an2

...

ann

Пусть

0 .

Если

в

определителе

системы заменить поочередно

столбцы коэффициентов при x1, x2,..., xn на столбец свободных членов, то по-

b1

a12

...

a1n

лучим n новых определителей:

x1

b2

a22

...

a2n

,

... ... ... ...

bn

an2

...

ann

a11

b1

...

a1n

a11

a12

...

b1

x2

a21

b2

...

a2n

,…,

xn

a21

a22

...

b2

.

... ... ... ...

...

... ... ...

an1

bn

...

ann

an1

an2

...

bn

Теорема: система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби,

16

знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов:

	x	x1	, x	x2	,..., x	xn	.
	1		2		n
Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь
возможны два варианта:
1.	0 и каждый определитель		xi	0 . Это имеет место только тогда,

когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

2.	0 и хотя бы один из определителей	xi	0 . Это имеет место то-

гда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не умеет решения.

Пример. Решить систему уравнений																								5x			3y		12 .
																								2x			y		7
Решение: вычислим определитель системы и определители																														xи	y :
				3				11;							12			3				33; y			5		12		11.
		5
		2		1								x			7			1							2		7
Найдем значения x и y по формулам Крамера:
x		x						33			3; y				y			11				1.
								11										11
Итак, решение системы есть x																						3; y		1 .
Пример. Решите систему уравнений																								3x			2 y		5 .
																								6x 4 y 11
Решение: вычислим определитель системы и определители																														xи	y :
				2					0;				5				2		2;				3	15			1.
		3
		6		4							x		11				4					y	6	11
Так как									0 , а			x	0;				y		0 , то система не имеет решений.
Пример. Решите систему уравнений																								2x			3y		11 .
																								6x			9 y		33

17

	Решение:				находим				определитель						системы	и	x , y :
2	3		0;		11	3		0;		2	11		0	. Так как все определители
6	9			x	33	9			y	6	33

равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений.

																				3x		2 y z 3
	Пример. Решить систему уравнений																			5x		2 y	2z		3.
																					x	y	z		2
	Решение: вычислим определитель системы и определители при неиз-
											2			1														3		2	1
									3
вестных									5		2			2	25 ;									x				3		2	2	25 ;
									1		1			1														2		1	1
		3	1								3			2	3
	3
у	5	3	2		25;			z			5			2	3			50 . Найдем значения неизвестных
	1	2	1								1			1	2
по формулам Крамера:
				x		x				25			1; y			y				25		1; z		z			50			2 .
								25												25							25
	Ответ: x		1; y		1;				z		2.

§2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записывать систему линейных уравнений. Пусть дана система уравнений

				a11x1		a12x2	a13x3	b1
				a21x1		a22x2	a23x3	b2
				a31x1		a32x2	a33x3	b3
Составим		матрицу		A	из	коэффициентов при неизвестных:
a11	a12	a13
A a21	a22	a23	. Свободные члены и неизвестные можно записать в ви-
a31	a32	a33
			b1			x1
де матриц столбцов:			B b2	,	X	x2 .
			b3			x3

18

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений

a11	a12	a13	x1	b1
можно записать в виде: a21	a22	a23	x2	b2	или AX B . Это равен-
a31	a32	a33	x3	b3

ство называется простейшим матричным уравнением. Его решение мож-

но записать в виде X A 1B .

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1.Найти обратную матрицу A 1.

2.Найти произведение обратной матрицы на матрицу столбец свободных членов, т.е. A 1B .

3.Пользуясь определением равных матриц, записать ответ. Необходимо заметить, что поскольку обратную матрицу можно найти

только для квадратной матрицы, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений матричным методом

												x1		2x2		7
												3x1		4x2		17.
			Решение: 1.Запишем систему уравнений как матричное уравнение
												1	2	X		7 .
												3	4			17
			2. Найдем				обратную матрицу A 1.								Для существования обратной мат-
рицы			определитель					матрицы				A должен				быть не	нулевым. Проверяем:
D		1	2		2	0	. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраиче-
		3	4
ские					дополнения				каждого						элемента			матрицы	A :
A		4, A				3, A		2, A		1.		Запишем матрицу из найденных алгебраи-
11			12				21		22
ческих дополнений:								4	3	и транспонируем ее:							4	2 . Учитывая, что
								2	1								3	1
1 / D 1 / 2 , запишем обратную матрицу:
								A	1	1		4		2		2	1	.
										2		3		1		3 / 2	1 / 2

3. Умножим обратную матрицу A 1 на матрицу B :

19

	X A 1B		2		1	7		2	7 1 17		3 .
			3 / 2		1 / 2 17		3 / 2 7			1 / 2 17	2
4.	Так как	x1	3	,	то по определению равных матриц получим
		x2	2
x1 3, x2	2.
							3x1	x2		5
Пример. Решить систему уравнений							2x1		x2	x3	0 .

2x1 x2 4x3 15

Решение: 1.. Вычислим определитель системы:

	3	1	0
D	2	1	1	5 0 . Вычислим все алгебраические дополнения эле-
	2	1	4

	3	1	0
ментов матрицы A	2	1	1	, составленной из коэффициентов при неиз-
	2	1	4

вестных:

A	5; A	10; A	0; A		4; A	12; A	1; A	1; A	3; A	1.
11	12	13		21	22	23	31	32	33
									5	10	0
	Запишем из алгебраических дополнений новую матрицу								4	12	1	и
									1	3	1
			5	4	1
транспонируем ее:			10	12	3 . Учитывая, что 1 / D 1 / 5 , запишем обрат-
			0	1	1
			1	4 / 5	1 / 5
ную матрицу: A 1			2	12 / 5	3 / 5 .
			0	1 / 5	1 / 5

2. Умножим обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов:
1	4 / 5	1 / 5	5	1 5 4 / 5 0	1 / 5 15	2
X A 1B 2	12 / 5	3 / 5	0	2 5 12 / 5 0	3 / 5 15	1 .
0	1 / 5	1 / 5 15		0 5 1 / 5 0 1 / 5 15		3

x1	2
3. Итак, x2	1	, т.е. x1 2; x2 1; x3 3.
x3	3

20