Uchebnoe_posobie

Определение. Пусть y является функцией переменной u , а переменная

u , в свою очередь, является функцией переменной x , т.е. y f (u) и u									(x) .
Тогда функция y f (		(x))	называется функцией от функции или сложной
функцией, если область определения функции f						содержит множество значе-
ний функции	. Переменная u в этом случае называется промежуточной пе-
ременной.
Например, функция y			lg(x2	5x) является сложной функцией, так как
ее можно представить в виде y lgu, где u					x2	5x . Функция y		sin(2x 1)
также есть	сложная функция,			ее	можно		представить	в	виде
y sin u, где u	2x 1. Сложная функция может содержать несколько проме-
жуточных переменных. Например, если y					2t , где t		cosu , u x2 , то слож-
ная функция y	cos x2	содержит две промежуточные переменные.
	2
Определение. Если зависимость между x						и y	выражена уравнением,
разрешенным относительно y , то величина					y называется явной функцией
аргумента x , в противном случае –				неявной функцией.
Пример. Функциональная зависимость между радиусом окружности и
ее длиной выражается формулой L				2 R . Величина L - явная функция аргу-
мента R , а R - неявная функция аргумента L .

§4. Классификация функций. Основные элементарные функции

Функции подразделяются на: однозначные и многозначные; явные и неявные; элементарные и неэлементарные.

Определение. Элементарными функциями называются функции, по-

лучающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех

51

арифметических действий и суперпозиций (т.е. формирования сложных функций), примененных конечное число раз.

Определение. Неэлементарные функции – это такие функции, кото-

рые могут выражаться математическими формулами посредством перехода к пределу, посредством интеграла или дифференциального уравнения.

Определение. Основные элементарные функции – функции, опреде-

ляемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических действий, производимых над независимыми величинами и некоторыми постоянными. Они подразделяются на алгебраические и

трансцендентные.

В алгебраических функциях независимая переменная x и ее функция y связаны алгебраическим уравнением F x, y 0 . Если уравнение удается алгебраически разрешить относительно y , то имеем один из следующих

простых типов алгебраических функций:
1. Линейная функция y	kx	b , где k			R,b	R .
Область определения функции -			x	R . Графиком линейной функции
является прямая, рис.31. Если b	0, то		y	kx	и эта функция выражает пря-
мую пропорциональную зависимость между x и y .						В этом случае, прямая
проходит через начало координат, рис.32.
Угловой коэффициент k	tg	, где		угол, образованный прямой с по-
ложительным направлением оси абсцисс.				Функция возрастает, если k 0 ,

рис.31 и убывает, если k 0 , рис.33. Свободный член уравнения b - это ордината точки пересечения прямой оси OY . Если, k 0, то f (x) b, f ( x) b, т.е. в этом случае функция четная, рис.34.

52

Если, b	0, то f (x)	kx, f (	x)	kx, т.е. в этом случае функция нечет-
ная. Если k	0,b 0, то	f (x) kx	b, f ( x)		kx	b, т.е. в этом случае функ-
ция является функцией общего вида.
2. Квадратическая функция (квадратный трехчлен) y											ax2 bx c .
Ее графиком является парабола, координаты вершины которой опреде-
ляются формулами: x		b / 2a; y	4ac	b2	/ 4a .
3. Дробная (рациональная) функция - y						ax	b	.
						cx	d
4. Иррациональная функция, например, y							2x		3 .
Трансцендентные функции – такие, в которых x									и y		не могут быть
связаны алгебраической зависимостью. Простейшие из них:
5. Степенная функция y			x , где		R;
При	2 получим квадратичную функцию y						x2 . Ее графиком явля-

ется парабола, рис.28. Область определения функции – множество всех дей-

ствительных чисел. Функция четная, поскольку x2								( x)2 .	Она ограничена
снизу,	так	как x2 0.	Функция		возрастает		при x	0,	и убывает при
x	,0 .
При		3 получим функцию y				x3 , графиком которой является куби-
ческая парабола, рис.29. Область определения функции x									R . Функция не-
четная, так как ( x)3			x3 .	Функция возрастает во всей области определе-
ния.
Степенная функция y				xa в том случае, когда a - четное число, обла-
дает теми же свойствами, что и функция y							x2 , а в случае,		когда a - нечет-
ное число,		- теми же свойствами,			что и функция y			x3 . При	1 получим
		функцию y			1 / x , которая выражает обратно пропор-
		циональную зависимость между x и y . Графиком
		функции является гипербола, рис.9. Область определе-
		ния функции x				0 . Функция нечетная. Убывает при
		x		,0 и при x		0, .

53

6. Показательная функция y		ax, где a - любое положительное чис-
ло, отличное от единицы: a	0, a 1;
Область определения функции: x			, . Областью изменения функ-
ции служит интервал 0,	, т.е. график находится в верхней полуплоскости,
рис.30.
7. Логарифмическая функция y			loga x, где a любое положитель-
ное число, отличное от единицы: a		0;a	1.

Эта функция является обратной по отношению к показательной функции. Отсюда следует, что график логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно биссектрисы І и ІІІ координатных углов, рис.30. Область определения функции – множество всех положительных чисел, т.е. x 0, . Область значений функции – множество всех действительных чисел. Свойствами четности и нечетности функция не

обладает. Функция является монотонной; она возрастает при a				1 и убывает
при 0 a 1. График проходит через точку	1;0 , так как loga 1			0.
8. Тригонометрические функции y	sin x, y	cos x, y	tgx, y ctgx .
Функции y sin x, y cos x определены для всех x			,	. Они явля-
ются периодическими с периодом 2 . Функция y		sin x - нечетная; функция
y cos x - четная. Графики этих функций изображены на рис.36.

		Функция y			tgx не определена только в точках, где cos x	0 , т.е. в точ-
	ках	x		k , а	функция y ctgx не определена только	в точках, где
			2
	sin x	0, т.е. в точках x k . Обе функции – нечетные и периодические с пе-
	риодом		, рис.37.

54

9. Обратные тригонометрические функции y arcsin x , y arccos x , y arctgx , y arcctgx .

Более полные сведения о тригонометрических и обратных тригонометрических функциях можно найти в учебной и справочной литературе.

§5. Построение графиков функций

Определение. Графиком функции y f (x) называется множество то-

чек плоскости XOY с координатами (x; f (x)) .

При построении графиков функций применяются следующие приемы:

-построение «по точкам»;

-действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графи-

ков);

-преобразование графиков (сдвиг, растяжение).

Пример. Построить «по точкам» график функции y x2 . Задаваясь значениями аргумента x , по формуле y x2 найдем соответствующие значения функции y . В результате получим таблицу, в которой указаны координаты ( x; y ) 7 точек.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	8

Построим прямоугольную систему координат, нанесем «точки», координаты которых указаны в таблице и соединим их отрезками прямых. В ито-

ге получили график функции y x2 , рис.38.

55

Пример. Построить график функции y sin x cos x .

График данный функции можно построить сложением графиков двух функций y sin x и y cos x . Для нахождения суммарного графика необходимо сложить ординаты кривых sin x и cos x для одних и тех же значений аргумента, рис 39.

56

Исходя из графика функции y f (x) , можно построить графики следующих функций:

1)	y	f (x	a) - первоначальный график, сдвинутый вдоль оси OX на
величину a , если (+), то влево, если (-), то вправо.
2)	y	f (x)	b - тот же график, сдвинутый вдоль оси OY на величину

b , если (+), то вверх, если (-), то вниз.

3)y Af (x) - исходный график, растянутый в A раз вдоль оси OY ;

4)y f (kx) - тот же график, сжатый в k раз вдоль оси OX .

Таким образом, можно по графику функции y f (x)				построить график
функции вида y	Af [k(x	a)] b .
Пример. Построить график функции			y 2sin(2x 1).
Решение. Преобразуем данную функцию к виду				y	2sin 2(x	1 / 2) .
Здесь: A 2, k=2 ,	a 1 / 2 . В качестве исходного, возьмем график функции
y sin x (кривая 1,рис.40). Затем строим график функции				y	sin 2x , сжимая
исходный график вдоль оси абсцисс в			два раза, (кривая 2). После этого
строим график функции y		sin 2(x 1 / 2) , сдвигая кривую 2 на 1 / 2				вправо,

(кривая 3). Наконец, растяжением в два раза вдоль оси ординат последнего графика получаем искомый график (кривая 4).

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ §1. Предел функции. Свойства предела функции

Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности точки a . Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается

к числу a . Это значит, что мы можем придавать x	значения сколь угодно
близкие к a , но не равные a . Будем обозначать это	как x a . Для таких x

57

найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения функции также неограниченно приближаются к некоторому числу b . Тогда

говорят, что число b есть предел функции f (x) при x a : lim	f (x)	b .
x a
Определение. Число b называется пределом функции y	f (x)	при x

стремящемся к a , если для любого положительного, сколь угодно малого

числа

можно найти такое положительное, сколь угодно малое, число

, что

для всех x

a из области определения функции,

удовлетворяющих неравен-

ству

x

a

, выполняется условие

f (x)

b

.

Проиллюстрируем

это

определение

на графике функции, рис.41. Т.к. из нера-

венства

x

a

должно следовать нера-

венство

f (x)

b

,

т.е.

при

x

(a

;a

)

соответствующие

значе-

ния функции

f (x)

(b

;b

) , то, взяв

произвольное

0 ,

мы можем подобрать

такое число

, что для всех точек x , лежа-

щих в

- окрестности точки a ,

соответствующие точки

графика функции

должны лежать внутри интервала

2 ,

ограниченного прямыми

y

b

и y

b .

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Определение. Если

функция f (x)

A

при

1

x

a только при x

a ,

то

lim

f (x)

A

- называ-

x

a 0

1

ется пределом функции f (x)

в точке

x

a

слева.

Если

функция

f (x)

A2

при x

a

только при

x

a ,

то

lim

f (x)

A2

называется пределом

x

a

0

функции f (x) в точке x

a справа, рис.42.

Свойства предела функции:

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. lim C C, где C

const.(постоянная величина).

x

a

3. Если существует

lim

f (x) и C - постоянная величина, то

x a

lim

C

f (x)

C

lim f (x) .

x

a

x

a

58

4. lim f (x) n	n
	lim f (x) .
x a	x a

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы при x a .

5. lim f (x) g(x)	lim f (x)	lim g(x).
x a	x a	x a

6.

lim f (x)

g(x)

lim f (x)

lim g(x) .

x a

x

a

x

a

f (x)

lim f (x)

7. lim

x

a

, при

lim g(x)

0.

x

a g(x)

lim g(x)

x

a

x

a

§2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение.

Функция

(x)

называется бесконечно малой

при

x a (или при x

), если

lim

(x)

0(или

lim

(x) 0 ).

x a

x

Бесконечно малой

функция может быть в определенных условиях, на-

пример, если указать к какому числу стремится аргумент x ,

для заданного

вида зависимости y

f (x).

Пример. Функция

f (x) xn

является бесконечно малой при x

0 и

не является бесконечно малой при x

1 , т.к.

lim xn

1.

x

1

Пусть (x) и

(x) - бесконечно малые при x

a , тогда:

1.

Если lim

0 , то говорят, что

является бесконечно малой

x

a

высшего порядка по сравнению с

. В этом случае пишут

0 .

2. Если lim

m , где m - число, отличное от нуля, то говорят, что

xa

и- бесконечно малые одного и того же порядка. В частности, ес-

ли lim			1, то бесконечно малые и называются эквивалентными.
x a
Запись			означает, что и - эквивалентные бесконечные малые.
3. Если /				, то это означает, что lim /	0. Таким образом,

является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .

Отметим некоторые свойства бесконечных малых:

59

1. Произведение двух бесконечных малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями.

2. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда

их разность	является бесконечно малой высшего порядка по сравне-
нию с и .

3. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей

бесконечно малой, т.е. если lim /	m, 1,	1, то lim	1 / 1 m .
x a		x a

Свойство 3 особенно важно на практике, т.к. дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может значительно упростить вычисление пределов.

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых:

если x

0 , то sin x x,tgx x, arcsin x x, arctgx x,ln x x.

Пример. Найти предел

lim

tg5x

.

x

0 sin 7x

Решение. Так как tg5x 5x

и sin 7x 7 x при x

0 , то

заменив функ-

ции

эквивалентными

бесконечными

малыми,

получим:

lim

tg5x

lim

5x

5

.

x 0 sin 7x

x 0

7x

7

Пример. Найти предел

lim

x3

.

x

0

1

cos x

Решение. Так как 1

cosx

2sin

2 x

2

x

2

при x

0 , то

2

2

lim

x3

lim

x3

lim 2x

0 .

x

01

cos x

x

0 x2

x

0

2

Определение.

Функция

f (x)

называется бесконечно большой

при x

a ,

если

lim

f (x)

. Аналогично определяется бесконечно боль-

x

a

шая функция при x

, т.е.

lim f (x)

.

x

Если функция

(x) бесконечно малая при x

a

и не обращается в

нуль, то функция

f (x)

1

- бесконечно большая.

(x)

60