Uchebnoe_posobie

§3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Численное решение линейных алгебраических уравнений с помощью определителей и матриц удобно производить для систем двух и трех уравнений. В случае же систем большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса. Кроме этого, ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причем определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Поясним смысл этого метода на системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

a11x a12 y		a13z	a14u	a15	а
a21x	a22 y	a23z	a24u	a25	б
a31x a32 y		a33z	a34u	a35	в
a41x	a42 y	a43z	a44u	a45	г

Допустим, что a11 0 (если a11 0 , то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю).

1-й шаг: делим уравнение а на a11, умножаем полученное уравнение на a21 и вычитаем из б . Затем умножаем на a31 и вычитаем из в , нако-

нец, умножаем на a41 и вычитаем из г . В результате первого шага приходим к системе:

x b12 y	b13z b14u b15		д
b22 y	b23z b24u	b25	е
b32 y	b33z b34u	b35	ж
b42 y	b43z b44u	b45	з

2-ой шаг: поступаем с уравнениями е , ж , з точно так же, как с

уравнениями а , б , в , г и т.д. В итоге исходная система преобразуется к треугольному или диагональному виду:

x b12 y	b13z	b14u	b15
y	c23z	c24u	c25
	z	d34u	d35
		u	e45

21

Из преобразованной системы неизвестные находят с помощью последовательных подстановок.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

	a11	a12	a13	a14	a15
	a21	a22	a23	a24	a25	,
	a31	a32	a33	a34	a35
	a41	a42	a43	a44	a45

и затем приводят ее к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований, к которым относятся следующие:

1.Перестановка строк или столбцов;

2.Умножение строки на число, отличное от нуля;

3.Сложение строк.

				3x 2 y		z	4
Пример. Решить систему уравнений				2x	y	3z	9 .
				x 2 y 2z 3
Решение: перепишем третье уравнение на место первого и запишем
1	2	2
			3
расширенную матрицу: 3	2	1	4 .	Чтобы	в	1-ом столбце получить
2	1	3	9

3	6	6	9
a21 a31 0 , умножим 1-ю строку на 3: 3	2	1	4	и вычтем результат из
2	1	3	9

	1	2	2	3		2	4		4	6
второй 0		8	7	5	. Умножим 1-ю строку на 2: 0		8		7	5 и вычтем
	2	1	3	9		2	1		3	9
		1	2	2
					3
из третий		0	8	7	5 . Разделим вторую строку на 8,				умножим на 3:
		0	3	1	3
1	2	2			1	2	2		3
			3
0	3	21 / 8	15 / 8		и вычтем из третий 0	1	7 / 8		5 / 8 . Запишем
0	3	1	3		0	0	13 / 8	39 / 8

22

x 2 y 2z 3

новую систему y 7 / 8 z	5 / 8 . Из третьего уравнения находим							z 3 ,
13 / 8 z	39 / 8
подставляем это значение во второе уравнение, получаем					y	5 / 8 , и нако-
нец из первого уравнения - x	1. Ответ: x	1; y	5 / 8; z 3 .
		4x 2 y 8z 24
Пример. Решить систему уравнений		2x	4 y	2z	0 .
		6x	4 y	2z	8
					4	2	8
									24
Решение: составим расширенную матрицу системы					2	4	2		0 .
					6	4	2		8

Избавимся то x во всех уравнениях кроме первого. Для этого необходимо уравнять значения коэффициентов при x и вычесть первое уравнения из всех последующих. С целью упрощения расчетов целесообразно сначала первое

1	1 / 2	2	6
уравнение разделить на -4: 2	4	2	0	. Чтобы избавиться от x во
6	4	2	8

2	1	4	12
втором уравнении, сначала умножим первое на 2: 2	4	2	0	, затем
6	4	2	8

вычтем его из второго уравнения, оставив первое уравнение без изменения,

1	1 / 2	2	6
т.е. с коэффициентом при x равным единице 0	3	6	12 . Чтобы из-
6	4	2	8

бавиться от x в третьем уравнении, необходимо умножить первое уравнение

1	1 / 2	2		6
на 6 и вычесть его из третьего уравнения: 0	3	6	12 . Избавимся от
0	7	10	44
y в третьем уравнении, для чего второе	уравнение			разделим на -3:

23

1	1 / 2	2	6
0	1	2	4	. Если второе уравнение умножить на 7 и вычесть его из
0	7	10	44
				1	1 / 2	2	6
третьего уравнения, то получим: 0					1	2	4 .

00 24 72

Врезультате выполненных действий мы избавились от x во втором уравнении и от x и y в третьем уравнении. Из последней строки следует, что

24z	72 ,	т.е. z	3 . Из второй строки: y 2z		4 или с учетом значения
z : y	4	2 3	2 . И,	наконец, из первого уравнения x (1 / 2) y 2z 6 на-
ходим: x		1. Ответ: x		1; y 2; z 3.

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ГЛАВА 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ §1. Предмет и задачи аналитической геометрии

В элементарной геометрии решение каждой отдельной задачи требует большей или меньшей изобретательности, и часто задачи, весьма схожие друг с другом, требуют различных приемов решения, которые нелегко угадать.

Аналитическая геометрия, созданная двумя французскими учеными – Декартом и Ферма, дает единообразные приемы решения геометрических задач и сводит решение широкого круга задач к немногим методически применяемым способам. Для достижения этой цели используется метод координат, когда все данные и искомые точки и линии относят к некоторой системе координат. При решении задач аналитической геометрии, кроме декартовой прямоугольной системы координат для определения положения точки на плоскости применяется полярная система координат. Выбрав систему координат, можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением. Этим данная геометрическая задача сводится к алгебраической, а для решения алгебраических задач существуют хорошо разработанные общие методы.

Определение: раздел математики, занимающийся изучением свойств геометрических фигур с помощью алгебры, носит название аналитической геометрии. Она решает общую задачу, состоящую в исследовании методами

24

математического анализа форм, расположения и свойств данной линии или поверхности.

Из общей задачи, можно выделить две основные задачи аналитической геометрии на плоскости:

1.Дана линия, рассматриваемая как множество точек. Необходимо составить уравнение этой линии.

2.Дано уравнение некоторой линии. Необходимо изучить по этому уравнению ее геометрические свойства.

Если линия описывается уравнением, в котором неизвестные входят только в первой степени, то такие линии называются линиями первого порядка. Если в уравнение линии неизвестные величины входят во второй степени, то такие линии называются линиями второго порядка. Линиями первого порядка являются только прямые линии.

§2. Метод координат

Метод координат представляет собой один из наиболее универсальных методов и используется для решения самых разнообразных задач. В основе метода лежит понятие координат на прямой, плоскости и в пространстве.

1.Координаты на прямой.

Пусть дана некоторая прямая. Укажем на ней положительное направление, выберем единицу масштаба и отметим на этой прямой какую-нибудь точку 0 , которую примем за начала отсчета. Выполнив эти действия, полагают, что на этой прямой введена декартова система координат, рис.

1. Положение любой точки на координатной оси можно определить числом, называемым координатой точки.

Определение: координатой точки A на оси называется число x , рав-

ное величине направленного отрезка OA , т.е. x OA. Так как каждой точке x соответствует действительное число и наоборот, каждому действительному числу соответствует одна определенная точка A x , то координатную ось называют числовой осью.

2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных координатных осей: оси OX (ось абсцисс) и оси

OY (ось ординат). Каждой точки M , рис.2, соответствует пара чисел x; y , называемых ее координатами и наоборот,

25

каждой паре чисел соответствует определенная точка, имеющая свои координаты.

3. Полярная система координат.

Возьмем на плоскости, рис.3, произвольную точку О (полюс) и проведем луч OX (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол за единицу измерения углов (обычно берется радиан). Тогда положение точки М на плоскости можно задать двумя числами: положительным числом , выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус), и

числом , выражающим величину угла XOM (полярный угол). Числа и называются полярными координатами точки M . Установим связь между полярными и прямоугольными координатами. Пусть заданы две системы координат, полярная и прямоугольная, в которых совпадают: 1)начала прямоугольной и полюс полярной системы координат; 2) положительное направление оси Ox и полярная ось; 3) единицы длины. Тогда точка М будут харак-

теризоваться, рис.4, одновременно декартовыми						x; y			и по-
лярными	; координатами. При известных полярных ко-
ординатах,	прямоугольные	координаты			равны:	x			cos ;
y sin .	Если известны	прямоугольные, то					полярные
					arctg		y	.
можно найти по формулам:			x2 y2 ,
							x
	§3. Прямая на плоскости
1. Общее уравнение прямой.
Определение: всякое уравнение первой степени относительно x и y ,
т.е. уравнение вида, Ax By		C 0 где A, B,C - постоянные коэффициенты,

причем A и B одновременно не равны нулю, определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

	Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой, рис.5.
	1.Пусть A =0. Тогда уравнение примет
вид	By C 0 .	Преобразуем	его:
y	C / B; обозначим	C / B b; тогда y	b .

Получили уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

26

2.	Пусть B	0 . Тогда уравнение примет вид Ax C	0 . Преобразуем
его: x	C / A ; обозначим C / A a; тогда x a . Получили уравнение пря-
мой, параллельной оси ординат.
3.	Пусть A	0,C 0. Тогда уравнение примет вид By	0 , откуда y 0.
Получили уравнение оси абсцисс.

4.Пусть B 0,C 0. Тогда уравнение примет вид Ax 0 , т.е. x 0. Получили уравнение оси ординат.

5.Пусть С 0 . Тогда уравнение примет вид Ax By 0 . Получили

уравнение прямой проходящей через начало координат.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если в общем уравнении прямой B

0 , то разрешив его относительно

y

получим y

A

x

C

.

Обозначим

A

k,

C

b .

Тогда

получим

B

B

B

B

y

kx

b . Это уравнение называют уравнением прямой с угловым коэф-

фициентом, рис.6.

Поскольку угловой коэффициент k

tg

, (

90 ), где

- угол, образованный прямой с положительным направ-

лением оси OX . Свободный член уравнения b равен орди-

нате точки пересечения прямой с осью OY . Если угол на-

клона острый, то угловой коэффициент k

0 ; если же угол

наклона тупой, то k 0 .

3.Уравнение прямой в отрезках на осях.

Если в общем уравнении прямой C

0 , то разделив все его члены на

C

и обозначив

a

C

;b

C

, получаем уравнение

A

B

вида

x

y

1 . Его называют уравнением прямой в от-

a

b

резках на осях. В нем a является абсциссой точки пере-

сечения прямой с осью OX , а b - ординатой точки пе-

ресечения прямой с осью OY , рис.7.

Пример.

Записать

уравнение прямой с

угловым

коэффициентом и

уравнение прямой в отрезках, если известно общее уравнение этой прямой

12x 5y 65 0 .

Решение: для записи уравнения прямой с угловым коэффициентом не-

	обходимо найти y из общего уравнения: 5y 12x 65; y		12	x 13.	Для за-
		5

писи уравнения прямой в отрезках перенесем свободный член общего урав-

27

нения в правую часть и разделим на его значение все члены уравнения:

	12	x	5	y 1 или	x		y		1.
	65		65		65 / 12	13

Пример. Составить общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом, если прямая отсекает на осях координат отрезки:

a

3;b

4 .

Решение: уравнение прямой в отрезках:

x

y

1.

Общее уравнение

3

4

прямой: 4x

3y

12; 4x

3y

12 0. Уравнение прямой с угловым коэффи-

циентом:

4x

12

3y; y

4

x

4 .

3

4. Уравнение прямой, имеющей заданный угловой коэффициент и

проходящей через заданную точку.

Уравнение прямой, имеющей заданный угловой коэффициент k и про-

ходящей через точку M

x1; y1

записывается в виде: y

y1

k x

x1 .

Пример. Написать уравнение прямой проходящей через точку с коор-

динатами

и составляющей с осью абсцисс угол 60 .

3;2

tg60

Решение: k

3 .

Тогда уравнение этой прямой:

y 2

3 x

3 ; y 2

3x 3; y

3x 1.

5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая проходит через две точки: M1

x1; y1 , M2 x2; y2 . В этом

случае уравнение прямой записывают в виде:

y

y1

x

x1

.

А расстояние

y2

y1

x2

x1

между

данными

точками

определяется

по

формуле:

d

x

x

2

y

y

2 .

2

1

2

1

Замечания: 1. Порядок точек в формуле не играет роли.

2. Расстояние между точками считается положительным, поэтому в формуле корень берется со знаком «+».

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точки ( 4;-2) и (1;2). Найти расстояние между точками.

Решение:

28

y

2

x

4

;

y

2

x

4

; -3

y

2

4 x

4 ; 4x-3y+10=0.

2

2

1

4

4

3

4 1 2

2 2 2

d

25 5ед.

6. Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую KL , заданную общим уравне-

нием Ax

By

C

0 и некоторую точку

M x1; y1

, рис.8.

Определение: под расстоянием от точки

M

до

прямой KL понимается длина перпендикуляра

d

MN ,

опущенного из этой точки на прямую.

Это расстояние вычисляется по формуле: d

Ax1

By1

C

. В частно-

A2

B2

сти,

полагая

x1

0

и

y1

0 ,

получаем расстояние от прямой до начала

координат:

d0

C

.

A2

B2

Пример. Определить расстояние от прямой

4x

3y

10

0

до точки

(5;4)

и до начала координат.

Решение:

d

3 4

10

3,6

ед.; d0

10

2ед.

4 5

42

3 2

42

3 2

7. Деление отрезка прямой в заданном отношении.

Даны точки

A x1; y1

и B x2; y2 . Для нахождения координат точки

K

x; y , делящей отрезок

AB в отношении

AK

m

, рис.9, можно восполь-

KB

n

зоваться

формулами:

x

nx1

mx2

;

y

ny1

my2

.

Если

m

,

то:

m

n

m

n

n

x

x1

x2

; y

y1

y2

.

Если отрезок необходимо разделить пополам, то

1

1

x

x1

x2

1и координаты центра отрезка:

2

y1

y2

y

2

Пример.

Даны

две

точки

B 6; 1 ;O 0;0 . Найти координаты то-

чек:

29

1. K - делящей отрезок OB в отношении 2:3;																	2. M - делящей этот отре-
зок пополам.
Решение: 1. xK			xB		xO				6		2 / 3 0			3,6			;
			1					1			2 / 3
	yK		yB		yO					4	2 / 3 0					2,4 .
			1					1			2 / 3
2. xM	xB xO			6 0	3;			yM				yB yO					4 0	2 .
	2		2								2						2

§4. Взаимное расположение прямых на плоскости 1. Угол между двумя прямыми.

Рассмотрим две прямые, не параллельные оси OY , и заданные их

уравнениями

с

угловыми

коэффициентами:

y

kx

;

где k

tg

и y

k1x

b1;

где

k1

tg 1, рис.10.

Требуется определить

угол

между

прямыми, т.е. меньший угол, отсчитываемый

против часовой стрелки, на который вторая

прямая повернута относительно первой. Из

элементарной

геометрии

известно, что

1

или

1

,

тогда

tg tg

1

tg

1

tg

k1

k

. Следовательно, тангенс угла меду

1

tg

1tg

1

k1k

прямыми определяется формулой: tg

k1

k

.

1 k1k

Пример. Определить угол между прямыми y

3x

7; y

2x

1.

Решение: k

3;k1 2 . Тогда

tg

k1

k

2

3

1 и

.

1

k1k

1

3 2

4

2. Условие параллельности прямых на плоскости.

Если прямые на плоскости параллельны то

1 и, следовательно,

их угловые коэффициенты равны: k

k1 .

Правило. Прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой.

30