Uchebnoe_posobie

Интервалы возрастания убывания функции совпадают с интервалами, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, пере-

ход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только точки, в которых f (x) 0, а также точки разрыва функции. Поэтому интервалы монотонности мы получим, если разделить область определения функции на части, границами которых служат те точки, в которых f (x) 0, и точки разрыва.

Сформулируем правило нахождения интервалов монотонности функции f (x) :

1.Вычисляют производную f (x) данной функции.

2.Находят точки, в которых f (x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками 1 рода для функции f (x) .

3.Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4.Определяют знак производной на каждом из интервалов. Если на рас-

сматриваемом интервале f (x)	0,	то на этом интервале функция возрастает;
если же f (x) 0, то на таком интервале функция убывает.
7.2 Экстремум функции
Определение. Точка x	a	называется точкой максимума (мини-

мума) функции f (x), если имеет место неравенство f (a) f (x) (соответст-

венно	f (a) f (x) ) для любого x из некоторой окрестности точки x a . Ес-
ли x	a - точка максимума (минимума) функции f (x) , то говорят, что f (x)

имеет максимум (минимум) в точке x a. Максимум или минимум функ-

ции называется экстремумом функции.

81

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если функция f (x) дифференцируема в точке x a и точка a является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Геометрически необходимый признак экстремума означает, что если x a - точка экстремума функции y f (x) , то касательная (в том случае, когда она существует) к графику этой функции в точке (a; f (a)) параллельна оси OX , рис.50.

Однако необходимое условие экстремума функции не является достаточным, т.е. из того факта, что производная функции равна нуля какой-либо точке, вовсе не следует, что функция в этой точке имеет экстремум, рис.51. Таким образом, обращение первой производной в нуль является необходимым, но не достаточным условием экстремума.

Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, который содержит критическую точку a , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точке a ). Тогда, если при переходе через точку a слева направо производная функции меняет знак с “+” на “-“, то в точке x a функция имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+” – то функция имеет минимум. Смысл теоремы наглядно иллюстрирует рис.52.

Сформулируем правило нахождения экстремума функции: 1.Находят все критические точки из области определения функции.

2.Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

3.Вычисляют значения функции в каждой точке экстремума.

Часто бывает рациональнее исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

82

Теорема. (Второе достаточное условие экстремума). Если в некоторой точке x a первая производная равна нулю, а вторая производная существует и отлична от нуля, то в этой точке функция имеет экстремум. Причем, если f (x) 0 , то f (a) - минимум функции f (x) , если f (x) 0 , то f (a) - максимум функции f (x) . Если вторая производная функции в критической точке обращается в нуль или не существует, то характер критической точки неопределим.

7.3 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба Определение. Кривая называется выпуклой в точке x a , если в не-

которой окрестности этой точки она лежит ниже своей касательной в точке a; f (a) . Кривая называется вогнутой в точке x a , если в некоторой окре-

стности этой точки она лежит выше своей касательной в точке a; f (a) ,рис.

53.

Теорема. Если во всех точках проме-

жутка вторая производная функции f (x)	по-
ложительна, то кривая y f (x) вогнута	на

этом промежутке, а если отрицательна – выпукла на этом промежутке.

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используется следующее правило:

1.Находят вторую производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими точками

второго рода.

2.Определяют интервалы, на которые область определения функции разбивается найденными точками.

3.Устанавливают знаки второй производной в каждом из интервалов, по которым определяют выпуклость или вогнутость кривой.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Теорема. Если вторая производная функции в некоторой точке обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то эта точка – точка перегиба кривой.

Для нахождения точек перегиба используется следующее правило:

1.Находят вторую производную функции.

83

2.Находят все критические точки второго рода из области определения функции.

3.Устанавливают знаки второй производной функции при переходе через критические точки второго рода. Изменение знака второй производной указывает на наличие точки перегиба.

4.Находят ординаты точек перегиба.

7.4Асимптоты графика функции

Определение. Прямая	называется асимптотой графика функции
y f	x , если расстояние d от точки М, лежащей

на кривой графика, до этой прямой стремится к нулю при движении точки М вдоль кривой графика в бесконечность, рис.54.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение. Если функция имеет разрыв и предел функции в точке a , справа или слева, равен бесконечности, то прямая

x a - вертикальная асимптота, т.е. lim

f (x)

.

x

a

Определение. Если lim

f (x)

A,

то прямая y

A - горизонтальная

x

асимптота.

Определение. Если

существуют

пределы

lim

f (x)

k

и

x

x

1

lim

f (x)

k1x b1, то прямая

y k1x

b1- наклонная правая асимптота.

x

Если существуют пределы

lim

f (x)

k2 и

lim f (x) k2x

b2 , то пря-

x

x

x

мая y

k2x

b2- наклонная левая асимптота.

7.5 Схема исследования функций

При исследовании функции и построении ее графика полезно придерживаться следующей схемы:

1.Найти область определения функции;

2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3.Исследовать функцию на четность или нечетность;

4.Исследовать функцию на периодичность;

5.Исследовать функцию на непрерывность и найти точки разрыва;

84

6.Найти критические точки первого рода;

7.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

8.Найти критические точки второго рода;

9.Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

10.Найти асимптоты графика;

11.Построить график функции.

Указанную схему следует рассматривать как сугубо примерную. Однако следует помнить, что основными ориентирами при построении графика функции являются точки кривой, соответствующие экстремальным значениям функции, точки перегиба и асимптоты.

7.6Примеры исследования функции и построения ее графика

Пример.

Провести

исследование функции и построить ее график :

y

ln(x2

1).

Решение. 1.Область определения функции

;

.Точек разрыва нет,

т.к. x2

1

0 при любом действительном x .

2. Так как

y(

x)

ln

x 2

1

ln(x2

1)

y(x) , то функция четная и

ее график симметричен относительно оси ординат.

3.

Если

x

0 ,

то y

ln1

0 ,

а если

y

0 ,

то

ln(x2

1)

0 , откуда

x2

1

1,

т.е. x

0 . Это означает,

что график функции пересекает оси коор-

динат в единственной точке - начале координат.

4.

Найдем

критические

точки

первого

рода.

Имеем

y

1

(x2

1)

2x

.

Найдем точки,

в которых первая производная

x2

1

x2

1

равна нулю.

2x

0 ,

x

0 - критическая точка.

5. Точка

x 0 разбивает

x2

1

область определения функции на два интервала

;0

и 0;

. Так как при

x

0, y

0,а при x

0, y

0, то в первом случае (интервале) функция убы-

вает, во – втором

–

возрастает,

причем при

x

0

она имеет

минимум

ymin

0 .

6.Найдем критические точки второго рода:

85

y

2x

(2x) (x2

1) (x2

1) 2x 2(x2 1) 2x 2x

2(x2

1)

.

x2

1

(x2 1)2

(x2

1)2

(x2

1)2

Точки x

1 и

x

1 разбивают область определения функции на три

интервала (

;

1), (

1;1),(1;

) . В интервалах (

;1) и (1;

)

имеем y

0 ,

т.е. здесь кривая здесь кривая выпуклая, а в интервале (

1;1)

-

y 0 , т.е. на

этом интервале кривая вогнута. При x

1 и x

1 получаем точки перегиба

кривой, при этом

y(

1)

y(1)

ln 2 .

7. По полученным данным строим график функции, рис.55.

x3

Пример. Исследовать функцию и построить ее график y . x2 1

1.Область определения функции (

;1),(

1;1),(1; ).

2. Прямые x

1, x

1- вертикальные асимптоты.

Найдем поведение графика функции около точек разрыва, для чего оп-

ределим

пределы

справа

и

слева

около

точек x

1:

lim

x3

;

x

1 0 x2

1

lim

x3

.

x 1 0 x2 1

3. Находим первую производную и критические точки первого рода:

y

3x2(x2

1) 2x x3

3x4

3x2

2x4

x4

3x2

(x2

1)2

(x2 1)2

(x2

1)2

Критические точки:

x

3; x

1; x

0; x

1; x

3 .

4.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого

определяем знаки первой производной функции на промежутках:

функция возрастает

x

3,

y

0,

86

		3				x	1,				y	0,	функция убывает
1						x	0				y <0,		функция убывает
					0	x	1,				y	0,	функция убывает
													функция убывает
1					x		3,				y	0,
													функция возрастает.
3					x		,				y	0,
						x					является точкой максимума, а точка x
Точка							3							3 является

точкой минимума. Значения функции в этих точках соответственно равны

3

3 / 2 и 3

3 / 2.

5.Находим вторую производную функции и критические точки второго

рода:

y

x4

3x2

(4x3

6x)(x2

1)2

(x4

3x2 )4x(x2

1)

x2

1

2

(x2 1)4

.

2x5

4x3

6x

2x(x4

2x2

3)

2x(x2

3)(x2

1)

2x(x2

3)

(x2

1)4

(x2

1)4

(x2

1)4

(x2

1)3

Критические точки второго рода: x

0; x

1.

6. Определяем выпуклость и вогнутость кривой на промежутках: в ин-

тервале (

;

1)

y

0 ,

т.е. кривая выпуклая. В интервале

1 x

0, y 0 -

кривая вогнутая. В интервале 0

x

1, y

0- кривая выпуклая. В интервале

(1;

), y

0- кривая вогнутая.

7. Находим наклонные асимптоты:

k

lim

f (x)

lim

x2

lim

1

1 ,

x

x2

1

x

x

1

x

1

x2

b

lim

f (x)

x

lim

x3

x

lim

x3

x3

x

lim

x

x2

x2

x2

x

x

1

x

1

x

1

1

lim

x

0

1

x

1

x2

Тогда уравнение наклонной асимптоты - y

kx b

x .

8. По полученным данным строим график функции, рис.56.

87

КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ для студентов заочной формы обучения.

Студент должен выполнить контрольную работу, номер варианта которой совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки. Контрольная работа оформляется в соответствии с требованиями высшей школы и сдается в деканат не позднее 14 дней до экзамена. Недопустимо оформление кон-

трольной работы в виде некоторой последовательности цифр без расшифровки их смысла и подробно описанного алгоритма решения.

К итоговому контролю по дисциплине студент допускается только при

наличии правильно решенной в полном объеме контрольной работы.

ЗАДАНИЕ 1: Вычислить определитель.

	1		1	2	2			4	1	2	1
Вариант 1:	2		1	3	1		Вариант 2:	0	2	1	2
	1		1	2	2			1	2	1	1
	3		2	1	1			2	1	0	2
			1	2	1			1	2	3	3
		1
Вариант 3:		3	1	0	2		Вариант 4:	2	1	0	1
		1	3	1	1			1	2	1	1
		2	1	4	1			3	1	2	3
							88

	3	2	1	1			2		3	1	1
Вариант 5:	0	2	1	3		Вариант 6:	1		2	4	1
	1	1	2	2			0		2	3	1
	1	4	1	3			3		0	2	3
		0	1	2				2	1	0	3
	3
Вариант 7:	2	1	3	1		Вариант 8:		1	0	1	1
	1	1	1	2				2	2	1	1
	1	1	0	2				1	3	1	2

	1	1	2	2		1	2	3	1
Вариант 9:	3	0	1	1	Вариант 10:	2	1	0	2
	1	2	1	3		1	1	1	3
	2	1	1	1		2	1	3	1

ЗАДАНИЕ 2. Решить систему уравнений тремя способами: по формулам Крамера, матричным способом, методом Гаусса.

	3x y 2z 10					5x y z 4
Вариант 1:	4x	y	3z	12	Вариант 2:	3x	2 y	3z	5
	x 2 y 4z			7		2x 4 y z			4
	x 5y 3z			3		2x y z 4
Вариант 3:	2x	3y z		1	Вариант 4:	3x	4 y	2z	24
	7x y 2z 13					3x 2 y 4z			12
	4x y 2z 3					2x 3y z 10
Вариант 5:	x 4 y		5z	6	Вариант 6:	4x	y	3z	4
	6x	y	z	3		x	2 y	z	7
	x y 2z 3					4x 2 y 5z 8
Вариант 7:	2x	y	2z	1	Вариант 8:	x	3y	z	6
	4x y 4z 7					2x 8y 3z			16
	3x 2 y 7z 28					3x 2 y z			1
Вариант 9:	x	4 y	z	6	Вариант 10:	2x	3y	z	5
	2x y 3z			19		2x y 3z 5

89

ЗАДАНИЕ 3. Дан треугольник АВС с вершинами А ( x1, y1), B ( x2, y2 )

иC ( x3, y3 ). Найти:

-величину угла А;

-координаты точки пересечения медиан;

-координаты точки пересечения высот;

-площадь треугольника;

Вариант 1: А(2;2), В(-3;-1), С(2;-2). Вариант 2: А(1;2), В(-3;1), С(2;-2). Вариант 3: А(4;4), В(-2;3), С(2;-3). Вариант 4: А(3;4), В(-3;-1), С(3;-2). Вариант 5: А(2;5), В(-3;3), С(2;-3). Вариант 6: А(4;5), В(-3;3), С(3;-3). Вариант 7: А(0;4), В(-4;-2), С(4;-3). Вариант 8: А(3;3), В(-4;4), С(-2;-2). Вариант 9: А(0;5), В(-2;-3), С(3;1). Вариант 10: А(2;3), В(1;-4), С(-3;0).

Задание 4. Даны четыре уравнения. Определить какой тип линий второго порядка они описывают. Записать эти уравнения в каноническом виде, определить все основные параметры линий и построить их графики.

Вариант 1:

1) x2

y2

6x

8y

0;

2) 16x2

25y2

400

0;

3) 25x2

64 y2

0; 4) y2 5x

1600

0.

Вариант 2:

1) x2

y2

6x

6 y

14

0; 2) 25x2

49 y2

1225

0;

3) 9x2

36 y2

4) y2

324

0;

3x

0.

Вариант 3:

1) x2

y2

2x 2 y 1 0; 2) 4x2

16 y2

64 0;

3) 4x2

9 y2 36 0;

4) y2

4x

0.

Вариант 4:

1) x2

y2

6x

4 y

4

0; 2) 25x2

9 y2

225

0;

3) 49x2

25y2

0; 4) y2

1225

4x

0.

Вариант 5:

1) x2

y2

10x

6y

30

0; 2) 49x2

4 y2

196

0;

3) 25x2

16 y2

4) y2

400

0;

2x

0.

Вариант 6:

1) x2

y2

2x

2 y

14

0; 2) 36x2

25y2

900

0;

3) 16x2

9 y2

4) y2

144

0;

6x

0.

90