Uchebnoe_posobie

x a и x	a .	Кроме	этого,	при
x	переменная y		. Следова-

тельно, гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой x a , а другая – слева от прямой x a , рис.16.

Определение: Отрезок A A 2a - на-
1	2

зывается действительной осью гиперболы, а отрезок B1B2 2b - мнимой

осью.

4. Прямые y	b	x и y	b	x	являются асимптотами гиперболы. Эти
	a		a

прямые являются продолжением диагоналей прямоугольника, стороны которого параллельны и равны осям гиперболы ( пунктирные прямые на рис.16). При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к ним.

5. Определение: эксцентриситетом гиперболы называется отноше-

ние расстояния между фокусами к длине действительной оси:

2c		c		a2 b2
					.
2a		a		a

Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы и характеризует ее форму.

6. Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направлена по оси x , а действительная ось, длиной 2b , совпадает с осью y , то уравнение гипер-

болы имеет вид:		x2				y2		1.Она называется сопряженной исходной,
		a2				b2
имеющей уравнение	x2				y2			1.
	a2				b2

7. Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т.е. a b . В этом случае уравнение гиперболы прини-

мает вид	x2		y2	1 или x2	y2 a2 . Асимптоты такой
	a2		a2

гиперболы y x и они взаимно перпендикулярны.

	8. Уравнение y	k	k 0	тоже представляет
		x

равностороннюю гиперболу, асимптотами которой яв-

41

ляются оси координат. Полуоси ее a b	2	k	. Если k 0 , то ветви гипер-

болы расположены одна в первой, другая в третьей четверти координатной плоскости, если k 0 - то во второй и четвертой. В первом случае

тельная ось гиперболы составляет с осью абсцисс угол в 45 , во втором – угол в 45 , рис.17.

§7. Каноническое уравнение параболы Определение: параболой называется множество всех точек плоскости,

каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.

Выберем прямоугольную систему координат следующим образом: ось OX проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d в направлении от d к F , а начало координат расположим посередине между фокусом и

директрисой, рис.18.

Определение: расстояние от фокуса F до директрисы

d

называется параметром параболы и обозначается

p , ко-

торый считается положительным, т.е.

p

FK .

Координаты

фокуса F p / 2;0

, а

уравнение

дирек-

трисы x

p

или

x

p

0 . Соединим произвольную точку

2

2

M с координатами

x; y

с фокусом и проведем из точки M прямую MN d .

p

p 2

y2 . По определению

Тогда MN

x

,

а

MF

x

MN

MF ,

2

2

следовательно:

x

p

2

y2

x

p

. Возведя в квадрат обе части уравне-

2

2

ния, приведя подобные слагаемые, получим каноническое уравнение пара-

болы: y2 2 px .

§8. Исследование формы параболы по ее уравнению

1.Координаты точки O 0;0 удовлетворяют уравнению параболы, следовательно, она проходит через начало координат.

42

2. Так как переменная			y входит в уравнение только в
четной степени, то парабола			y2	2 px симметрична относи-
тельно оси абсцисс.
3. Так как p		0 , то, следовательно,				и x	0 , поэтому
парабола y2	2 px расположена справа от оси ординат.
4. При	возрастании x		от 0 до		, y изменяется от 0
до .
На основании пунктов 1,2,3 и 4 график парабола					y2	2 px имеет вид
представленный на рис.19.
Замечания: для составления		уравнения		параболы		y2	2 px прямо-

угольная система координат была выбрана специальным образом. Если же систему координат выбрать другим образом, то и уравнение параболы будет иметь иной вид:

а)

Если фокус параболы имеет

координаты

F

p

;0 , а уравнение директрисы x

p

,

то уравне-

2

2

ние параболы y2

2 px , рис.20.

б) Если фокус разместить на оси ординат в точке

F

0;

p

, а директрису провести через точку

K 0;

p

2

2

перпендикулярно оси ординат, то получим следующее уравнение параболы: x2 2 py , рис.21.

	в) Если фокус параболы имеет координаты F			0;	p	, а уравнение ди-
					2
	ректрисы y	p	, то уравнение параболы примет вид	x2		2 py , рис.22.
		2

43

5. Пусть дана парабола с вершиной в точке D a;b ,

ось симметрии которой параллельна оси ординат, а ее вет-

ви направлены вверх, рис.23. Тогда уравнение такой пара-

болы

со

смещенным

центром

имеет

вид:

x

a 2

2 p

y

b .

Преобразуем его

и

обозначим

A

1

; B

a

;C

a2

b ,

тогда получим уравнение y Ax2 Bx

C . Сле-

2 p

p

2 p

довательно, график

квадратного трехчлена

представляет

собой

параболу,

вершина которой имеет координаты: xD

B

4AC

B2

B2

; yD

С

.

2A

4A

4A

§9. Некоторые задачи Задачи. Даны уравнения:

1) 4x2	y2	36	0; 2) x2 2 y2 1 0; 3) 16x2 25y2 400 0;
4) x2	4x	y	0.

Определить какой тип линий второго порядка они описывают. Записать эти уравнения в каноническом виде для каждого типа линий. Определить все

основные параметры линий и построить их графики.

Решение:1)

В первом уравнении,

согласно §1,

A 4;C 1; B 0 . Вы-

числим дискриминант кривой

AC

B2

4

0 . Так как он положитель-

ный, то данное уравнение

- уравнение эллипса. Преобразуем его к канониче-

скому виду:

4x2

y2

36;

4x2

y2

1;

x2

y2

1.

36

36

9

36

Так как b

a

36 6

9

3, то фокусы эллипса расположены на

оси

OY .

Найдем

координаты

фокусов:

c2

b2

a2

36

9

27; c

27

5,2; F

0;

5,2 .

Большая ось эллипса -

1,2

2b

12 , малая ось -

2a

6 . Эксцентриситет эллипса:

c

5, 2

0,87

, рис.24.

b

6

2) Во втором уравнении

A

1;C 2; B

0.

Так

как

дискриминант кривой

AC

B2

2

0 , то это

уравнение

эллипса.

Каноническое

уравнение

имеет

44

		x2		y2
	вид:				1. Т.к. a b , то фокусы эллипса расположены на оси OX .
		1	1 / 2

a2

1; b2

a2 b2

1/ 2; a

1; b

1/

2; c2

1/ 2; c

1/

2; F

1/

2;0 .

1,2

Большая ось

-

2a

2 .

Малая

ось -

2b 2 /

2 .

Эксцентриситет

эллипса:

c

1

1

, рис.25.

1

2 1

2

3)

В третьем уравнении

A

16;C

25; B

0 ,

дискриминант

кривой

AC

B2

400 0 . Следова-

тельно, это уравнение гиперболы.

Канонический вид уравнения этой гипер-

болы:

x2

y2

1. Т.к.

a

5 b

4 ,

фокусы

25

16

гиперболы расположены на оси OX . Вы-

числим

параметры

кривой:

a2

25; b2

16; a

5; b

4; c2

b2

a2

Эксцентриситет

гиперболы:

c

41

. Асимптоты

гиперболы:

a

5

y

b

x

4

x , рис.26.

a

5

4)

В четвертом уравнении A

1; B

0;C

0 и

0 . Следовательно, это

уравнение параболы y

x2

4x

a

1;b

4;c

0 .

x

b

4

2

Координаты вершины:

2a

2

.

b2

y

16

4

4a

4

Точки пересечения с осями координат:

x

0;

x

4

, рис.27.

y

0

y

0

45

РАЗДЕЛ 3. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ГЛАВА 1. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТА §1. Функция. Область определения функции

Определение. Величина y называется функцией переменной x , если каждому из тех значений, которые может принимать x , соответствует одно или несколько определенных значений y , т.е. y f (x) . При этом переменная величина x называется аргументом функции.

Чтобы показать, что y есть функция переменной x , пользуются символическими записями: y f (x) , y (x), y F(x) и т.д. Такая запись не раскрывает самого правила зависимости y от x , а лишь устанавливает сам факт наличия зависимости.

Определение. Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной; если два или боль-

ше, - то многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.).

Определение. Под областью определения (существования) функции f (x) понимается совокупность всех действительных значений аргумента x , при которых функция определена и выражается действительным числом.

Пример. Найти область определения функции y x2 .

Решение. Очевидно, что при любом действительном значении x функция y выражается действительным числом. Следовательно, данная функция определена при любом значении x , т.е. x ( ; ) . Этот результат можно записать в виде x R.

Отметим особенности отыскания области определения некоторых функций.

1. При отыскании области определения дробной функции нужно исключить значения аргумента, при которых знаменатель обращается в нуль.

Пример. Найти область определения функции y				3				.
					2x		5
Решение. В данном случае 2 x			– 5 ≠ 0, откуда x	≠ 2,5. Таким образом,
получаем ответ: x	(-∞;2,5);(2,5;∞).
Пример. Найти область определения функции y				3					.
						x2	4
Решение. Приравняв знаменатель нулю, решим полученное уравнение:
x2 4 0;(x 2)(x	2) 0; x	2; x	2 . Следовательно, знаменатель обра-
	1	2
			46

щается в нуль при значениях x 2 и x 2 , которые не могут принадлежать области определения данной функции. Исключив их, получим три интервала (-∞;-2), (-2;2), (2;∞), которые и служат областью определения функции.

2. Если аналитическое выражение функции содержит корень четной степени, то при отыскании области определения функции нужно исключить значение аргумента, при которых подкоренное выражение принимает отри-

цательные значения.
Пример. Найти область определения функции y			x	4 .
Решение. Эта функция имеет смысл только в том случае, когда подко-
ренное выражение больше нуля, либо равно нулю. Следовательно, x						4 0
или x 4 .	Итак, данная функция определена только	в		том случае,		если
x 4, т.е. x	[4; ).

3. Если аналитическое выражение функции содержит логарифм, то при отыскании области существовании данной функции нужно исключить значения аргумента, при которых выражение под знаком логарифма принимает

отрицательное значение и обращается в нуль.
Пример. Найти область определения функции y			lg(x 2) .
Решение. Так как выражение под знаком логарифма должно быть по-
ложительным,	то	x 2 0, откуда x 2 , т.е. данная	функция существует
только при x	(2;	) .

4. Если аналитические выражения функции содержат обратные тригонометрические функции, арксинус или арккосинус, то при нахождении области ее определения нужно исключить только те ее значения аргумента, при которых выражения, стоящие под знаком этой функции, по модулю не пре-

восходят единицы.
Пример. Найти область определения функции y arcsin						x		2	.
							3
	x		2				1
			3
Решение. Данная функция определена, если:							.		Решением
		x	2
							1
			3

системы неравенств являются значения x 1 и x 5 . В этом случае, область определения функции есть отрезок 1;5 .

5. Иногда область определения функции ограничена физическим или

геометрическим смыслом задачи. Так, для функции S r2 область определения функции есть интервал (0;∞) поскольку радиус может принимать толь-

47

ко положительные значения, хотя функция существует и для отрицательных значений r .

Нельзя смешивать понятия области определения и области значений функции.

Определение. Область значений функции - есть множество всех дей-

ствительных значений, которые принимает функция.

Пример. Указать область определения и область значений функции

y sin x .
Решение. Областью определения функции является x (		; ) , а обла-
стью значений функции- y	1;1 .
§2. Способы задания функции
Функция считается	заданной, если известна область	определения

функции и указано правило, по которому для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Такое правило можно указать различными способами. Наиболее распространенными являются: табличный, графический и аналитический способы задания функции.

Табличный способ состоит в том, что значения аргумента и соответствующие им значения функции записаны в виде таблицы. Этот способ широко используется на практике для записи результатов наблюдений и измерений.

Несмотря на простату, такой способ задания функции не дает полного представления о характере функциональной зависимости между x и y и лишен наглядности. Однако, иногда, это единственный способ выражения функциональной зависимости.

Если же функция изображена в прямоугольной системе координат в виде графика, т.е. какой-то линией, где абсцисса каждой точки является аргументом, а ордината – функцией, то такой способ задания функции называется графическим. Он удобен своей наглядностью при изучении различных процессов. На графике часто видны такие особенности поведения функции, которые трудно установить при других способах задания функции.

При аналитическом способе, зависимость между аргументом и функцией задается в виде математической формулы или уравнения. В этой формуле указаны действия, которые нужно произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции. Придавая аргументу различные значения, можно вычислить соответствующее значение функции с необходимой точностью. Зная закон соответствия y f (x) , всегда можно составить таблицу и построить график. Поэтому, в математике, предпочтение

48

отдается этому способу. Другие способы задания функции такой универсальностью не обладают.

§3.Основные свойства функций

Определение. Функция y f (x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых x из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при x1 x2 имеет место неравенство f (x1) f (x2) . Функция y f (x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых x из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при x1 x2 имеет место неравенство f (x1) f (x2) . Функции, только убывающие или только возрастающие называются монотонными.

Определение. Функция y f (x) называется четной, если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменятся, т.е. f ( x) f (x) . Функция y f (x) называется нечетной, если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции изменяют только знак, т.е. f ( x) f (x) . Все остальные функции, которые не обладают свойствами четности и нечетности, называются функциями об-

щего вида.

Примерами четных функций могут служить функции y	x2 , рис.28,
f (x) cos x , примерами нечетных – функции f (x) sin x, y	x3 , рис.29.

Функции y x3	1,	y	sin x cos x	не обладают свойствами четности
или нечетности, так как	f (	x)	f (x) и f	x	f x .

•Замечание. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции – относительно начала координат.

Пример. Доказать, что функция f (x) x2 5xsin x является четной. Решение:

49

f ( x) (

x)2

5(

x)sin(

x)

x2

5xsin(

x)

x2

5xsin x

f (x), т.е.

данная функция четная.

Пример. Доказать, что функция

F (x)

cos 2x

нечетная.

3 x

3x

Решение:

F (

x)

cos(

2 x)

cos 2x

cos 2x

F ( x), т.е. данная

3

x 3 x

3 x 3 x

3 x 3 x

функция является нечетной.

Определение. Функция f (x)

называется периодической, если сущест-

вует такое число T 0 , называемое периодом, что в каждой точке области

определения функции f (x)

выполняется условие

f (x

T ) f (x) .

Пример. Доказать, что функция

f (x)

sin 3x

является периоди-

ческой с периодом T

2

.

3

Решение: так как,

sin 3

x

2

sin

3x

2

sin 3x , то период функ-

3

ции равен

2

.

3

Определение. Если из соотношения

y

f (x) вытекает соотношение

x

F( y) , то функция F( y)

называется обратной для функции f (x) .

x2 обратной является функция x

Пример. Для функции y

y .

Если сохранить прежние обозначения переменных, то график функции

y

f (x) служит одновременно графиком обратной функции x

F( y) . Но

обычно обозначения переменных меняют ролями и аргумент обратной функции обозначают буквой x , как и аргумент прямой функции. Полученная та-

ким образом	функция y F(x) также является обратной для					функции
y f (x) .
Пример. Для функции y		ax	обратной является функция y			loga x , а
	x2 - функция y
для функции y				x .
При этих обозначениях,		графики исходной и обратной функций, сим-
метричны относительно прямой y			x , рис.30.

50