Uchebnoe_posobie

		Пример. Функция tgx есть бесконечно большая при x						. Функция
							2
y		3	- бесконечно большая при x 2 . Функция tgx			- бесконечно малая
	x	2
при x			0 , функция	1	ctgx бесконечно большая при x	0 .
				tgx

§3. Непрерывность функции. Точки разрыва функции

Если аргумент функции y

f (x) изменяется от значения x

до значе-

ния x1, то разность этих значений x1

x

x называется приращением ар-

гумента. Сама функция y

f (x)

при таком изменении аргумента принимает

новое

значение

y1

f (x

x) ,

тогда

y1

y

f (x

x) f (x)

y - назы-

вается приращением функции.

Геометрически, приращение аргумента изо-

бражается приращением абсциссы точки кривой,

а приращение функции – приращением ординаты

этой точки, рис.43.

Определение.

Функция

f (x) называется

непрерывной в точке

x

x0 , если эта функция

определена в точке

x

x0

и бесконечно малому

приращению аргумента в этой точке соответст-

вует

бесконечно

малое

приращение

функции,

т.е. lim

y

lim [ f (x0

x)

f (x0 )]

0.

x

0

x

0

Из рисунка 43 видно, что если точка

M1

приближается по кривой

y f (x)

к точке M , то

x

и

y как угодно уменьшаются, т.е. стремятся к

нулю, и данная функция в точке M является непрерывной.

Часто пользуются другим, равносильным приведенному, определением

непрерывности функции в точке.

Определение.

Функция

y

f (x) называется непрерывной в точке

x x0 , если она определена в этой точке и ее значение f (x0)

равно пределу

функции в этой точке: lim

f (x)

f (x0 ) .

x

x0

Отметим следующие основные свойства непрерывных функций. Если

функции

f1(x)

и f2(x) непрерывны в точке x0 , то:

61

1. Их сумма, разность, произведение являются функциями, непрерывными в этой точке;

2.Частное f1(x) / f2(x) есть непрерывная функция при условии, что

f2(x) 0 .
Определение.				Функция f (x)			называется непрерывной на				отрезке
a,b , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
Пример. Доказать непрерывность функции y									ax2	bx c в точке x .
Решение. 1. Придадим аргументу x приращение x и найдем прираще-
ние функции:
y a(x			x)2	b(x		x) c (ax2		bx c) 2ax x a( x)2			b x .
2. Находим предел приращения функции при									x	0 :
lim	y		lim	(2ax	x	a( x)2	b	x) 0 ,
x	0		x 0
т.к. предел каждого слагаемого равен нулю. Следовательно, функция
y ax2 bx		c непрерывна в точке x
Так как		x	может принимать любые значения, то эта функция непре-
рывна для всех x			(	,	) .
Можно доказать, что каждая элементарная функция непрерывна в лю-
бой точке из области ее определения.
Определение.				Точка		x0 называется точкой разрыва функции, если

функция не определена в точке x0 , или в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода,

если существуют конечные пределы слева			lim	f (x)		f (x0 0) и справа
		x	x0	0
	lim	f (x) f (x0 0) . Если при этом f (x0	0)	f (x0		0)	f (x0) , то x0 -
x	x0	0
точка устранимого разрыва первого рода. Если же					f (x0		0)	f (x0	0) ,
то	x0 - точка неустранимого разрыва первого рода,				а разность			f (x0	0)
f (x0		0) называется скачком функции f (x)	в точке x0 . Если, хотя бы один
из пределов не существует или равен бесконечности, то точка x0								называется

точкой разрыва второго рода.

62

	0,2(2x2	3)	при	x	1
Пример. Дана функция f (x)	6 5x	при		1 x	3 . Найти
	x-3	при	3	x

точки разрыва, если они существуют. Определить скачки функций в точках,

где имеются разрывы первого рода.

Решение. Область определения функции – любое действительное чис-

ло. На интервалах ( ,1),(1,3),(3, )

функция непрерывна. Поэтому разрывы

возможны лишь в точках x

1,

x

3 в которых изменяется аналитическое

задание функции. Найдем односторонние пределы функции в точке x

1:

f (1

0)

lim

0,2(2x2 3)

1; f (1

0)

lim

(6 5x)

1. Значение функции

x

1 0

x

1 0

в точке

x

1

определяется

первым

аналитическим выражением, т.е.

f (1)

0,2(2

3)

1. Так как

f (1

0)

f (1

0)

f (x) то в точке x

1 функция

непрерывна.

Рассмотрим

точку

x

3 :

f (3 0)

lim (6

5x)

9 ,

x 3 0

f (3	0)	lim	(x	3) 0 . Правый и левый пределы,					хотя и конечны, но не
	x	3 0
равны между собой, поэтому в точке x						3	функция имеет разрыв первого
рода.	Скачок		функции в точке		разрыва		f (3	0)	f (3 0) 0	9	9.
	Так как, согласно определению, если число a есть предел переменной
величины		x ,	то	равенство lim f (x)		f (a)		можно записать		в	виде
				x	a
lim f (x)		f ( lim x) . Эта формула выражает очень важное для вычисления
x a		x	a

пределов правило: если функция непрерывна, то при отыскании ее пре-

дела можно вместо аргумента подставить его предельное значение.

Пример. Вычислить lim	2x3		4x	3	.
		x	4
x 1
Решение. При x 1 дробь		2x2	4x		3		определена, так как ее знамена-
			x 4

тель отличен от нуля. Поэтому для вычисления предела достаточно заменить

аргумент его предельным значением lim	2x3	4x 3		2 13	4 1 3		3	.
		x 4		1	4		5
x 1

63

	§4. Замечательные пределы
	1.Первый замечательный предел: lim	sin x	1
		x
	x 0

Доказательство. Возьмем круг с радиусом, равным единицы, и по-

строим центральный

угол

AOB , равный 2x радианам,

рис.44. Проведем хорду AB и касательные AD и BD к

окружности

в точках

A и

B . Очевидно, что

AC

CB

sin x,

AD

DB

tgx и

AB 2x , так как

угол x измеряется в радианах. Учитывая, что дуга AB больше хорды AB и что ломаная ADB больше дуги AB , можем записать:

AB

AB

AD

DB

, или 2sin x 2x 2tgx

Разделив все члены этого неравенства на положительную величину

2sin x ,

получим:1

x

1

, или 1

sin x

cos x .

sin x

cos x

x

Если x

0 , то lim cos x

1. Таким образом, переменная величина

sin x

за-

x

x

0

ключена между единицей и величиной, стремящейся к единице. Следова-

	тельно, и она стремится к единице, т.е. lim	sin x	1.
		x
	x 0

1

x

2.Второй замечательный предел:

lim 1

e

2,7182 …

x

x

3.Если P(x)

a xn

a xn 1

... a

, а Q(x)

b xm

b xm 1 ...

b , то

0

1

n

0

1

m

x

n

a0

a1

...

an

a0

a1

...

an

xn

P(x)

x

x

xn

n m

x

Q(x)

xm b

b1

...

bm

b0

b1

...

bm

0

x

xm

x

xm

и предел отношения двух многочленов равен:

		0,			при	n	m
lim	P(x)		a0	,	при	n	m
x	Q(x)		b0
					при	n	m

Кроме этих трех пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

64

lim	ln(1 x)	1; lim	ax 1		ln a; lim	(1	x)m 1		m .
	x		x				x
x 0		x 0			x 0

§5. Вычисление пределов I. Предел многочлена.

Пример 11. Вычислить lim 5x3 3x 7 .

x 2

Решение. Для вычисления предела воспользуемся свойствами предела и заменим аргумент x его предельным значением:

lim	5x3		3x 7	lim 5x3	lim 3x	lim 7	lim 5 23	lim 3 2 7
x 2				x 2	x 2	x 2	x 2	x 2
40	6	7	41

II. Предел отношения двух многочленов: lim	f	x	.
x a g		x

1. Если g a 0 , то можно применить теорему о пределе частного, после чего заменить аргумент x его предельным значением.

Пример. Вычислить	lim	x2	x	2	.
	x 2 x2		2x	8

Решение. Так как дробь определена при любых действительных значениях x , то для вычисления предела достаточно применить теорему о пределе частного и заменить аргумент его предельным значением:

	x2	x	2					lim			x2				x			2					22			2			2	1
lim								x	2																							.
x 2 x2		2x	8					lim			x2				2x			8					22			2 2			8	2
								x	2
Пример. Вычислить											lim				x2			2			.
																x
									x		2
							x2		2			lim						x2					2			0
Решение.		lim										x		2															0
								x							lim					x
																										2
		x	2
															x			2

Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:

-если при x a функция не определена;

-если знаменатель дроби при подстановке x a оказывается равным

нулю;

65

- если числитель и знаменатель дроби при подстановке x a одновременно оказываются равными нулю или бесконечности;

В таких случаях пределы функций находят с помощью различных ис-

кусственных приемов.

2. Если

g a

0 , то теорему о пределе частного применять нельзя. В

этом случае возможны два варианта:

а) f a

0 , тогда предел отношения двух многочленов равен беско-

нечности.

Пример. Найти

lim

2x

3

.

x

2

x

2

Решение.

lim

2x

3

lim

2

2 3

lim

1

x 2

2 2

2 0

x

2

x

2

x

б) f a

0 ,

имеем неопределенность

0

. В этом случае предел можно

0

вычислить разложением многочленов на множители или заменой переменной y x a .

Пример. Найти

lim

x2

5x

6

.

x

2 x2

6x

8

x

2

5x

6

0

x 2 x

3

x

3

1

Решение.

lim

lim

lim

или

x 2 x2

6x 8

0

x 2

x 2 x 4

x 2 x 4 2

заменяя y x

2 , т.е.

пологая x

y 2 и учитывая,

что при

x

2, y

0

имеем:

lim

x2

5x 6

lim

y 2 2

5 y 2 6

lim

y2

y

lim

y 1 1

x 2 x2

6x 8

y 0 y 2 2

6 y 2 8

y 0 y2

2 y

y 0 y 2 2

Пример. Найти

lim

x2

9

.

3

x

x

3

Решение. Здесь непосредственный переход к пределу невозможен, по-

скольку пределы числителя и знаменателя при x

3 равны нулю. В данном

случае имеем неопределенность 0 / 0 . Для

нахождения предела нужно пре-

образовать функцию, разложив числитель на множители и сократив чис-

литель и знаменатель на выражение							x	3 :
	x2	9		(x 3)(x 3)		(x 3)(x		3)	(x 3) .
3		x		3 x		x	3

66

Тогда

lim ( (x

3))

lim (x

3)

6

x 3

x 3

III. Предел отношения двух многочленов:

lim

f

x

.

x

g

x

Пример. Найти

lim

3

.

x

x 5

Решение. При x

знаменатель x

5 также стремится к бесконечно-

сти, а

обратная ему

величина

1

0

. Следовательно, произведение

x 5

1

3

3

стремится к нулю, если x

, т.е.: lim

3

0.

x 5

x

5

x

5

x

Тождественные

преобразования

под

знаком

предела применимы не

только в том случае, когда аргумент стремится к конечному пределу, но и

при x	.
	Пример. Найти lim	2x3	x	.
		x3
	x		1
	Решение. В данном случае числитель и знаменатель, при x				, неог-
раниченно возрастают. Следовательно, имеем неопределенность вида					/ .

Разделим числитель и знаменатель почленно на x3 (наивысшую степень x в данной дроби):

x3

2

1

lim

2

1

lim 2

2x3

x

x2

x2

lim

lim

x

x

2

,

3

1

1

lim 1

x

x

1

x

x3

1

lim

1

x

x3

x3

x

т.к. 1/ x2 и 1/ x3 при x

стремятся к нулю.

Вывод: 1.Предел отношения двух многочленов равен отношению коэффициентов при старшей степени x ,если степени многочленов одинаковы. 2. Если старшая степень многочлена знаменателя больше старшей степени многочлена числителя, то предел равен нулю. 3. Если старшая степень многочлена знаменателя меньше старшей степени многочлена числителя, то предел равен бесконечности.

Прием деления числителя и знаменателя дроби на высшую степень переменной x , применяемый при раскрытии неопределенности вида / , нельзя использовать для нахождения пределов функций, не приводящих к неопределенности указанного вида.

67

IV. Пределы иррациональных функций.

Пример. Найти lim		2 x		2 x	.
x 0			5x

Решение. Пределы числителя и знаменателя при x 0 равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим:

2 x

2

x

2

x

2

x

2

x

2 x

5x

5x

2

x

2

x

2 x

2

x

2x

2

.

5x 2 x

2 x

5x 2 x

2 x

5 2 x

2 x

Следовательно,

lim 2

2 x

2 x

2

2

lim

lim

x

0

5x

10

x 0

x 0 5 2 x

2 x

5 lim 2

x

2 x

x 0

	Пример. Найти lim	x2 4	.
		x
	x

Решение. При стремлении аргумента x к бесконечности имеем неопределенность вида / . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на x . Тогда получим:

																					x2			4
											x2 4
																						x2
																																	4
							lim											lim										lim			1						lim	1 1,
												x										1											x2
							x											x										x									x
т.к.	4 / x2					0 при x								.
		Пример. Найти										lim							3x					.
																			2
												x						x		2x		3
		Решение. Положим x																1 /		;		тогда						0			при x						. Следовательно:
lim					3x
				2
x			x		2x		3
							3		1													3		1
				lim														lim													lim					3		3					3
							1					1																3 2										3 2 1
				x o					2					3				x 0		1 2											x 0 1 2
							2
																								2

68

Пример. Найти lim

2x

2

.

x

1 3

26

x

3

Решение. Введем новую переменную 26

x

z3 , тогда:

x

z3

2z3 54

26

lim

2x

2

0

x

z3

26

lim

3 26 x 3

0

z 3

x 1

z

3 при x

1

z 3

z2

2 z

3

3z 9

z2

lim

lim

3z 9

54

z

3

z

3

z

3

V. Пределы тригонометрических функций.

Приме. Найти lim

1

cos3x

.

x 0

sin 3x

2sin

2 3x

sin

3x

Решение. lim

1

cos3x

lim

2

lim

2

0

sin3x

3x

3x

3x

x

0

x

0 2sin

cos

x 0 cos

2

2

2

Пример. Найти

lim sin 2x ctgx

lim

2sin x

cos x

cos x

lim 2cos2 x

2 .

sin x

x

x

x

При вычислении пределов содержащих тригонометрические функции тангенса и котангенса, как правило, их заменяют соответствующим отношением синуса и косинуса и используют следующие формулы:

sin 2x 2sin x			cosx,		cos2x	cos2 x sin2 x
sin2 x	1		cos 2x	,	cos2 x		1 cos 2x	.
			2				2

VI. Применение свойства бесконечно малых функций при вычислении пределов.

Пример. Найти предел lim tgmx . x 0 sin nx

Решение. Используя свойства бесконечно малых функций, получим:

lim			tgmx			lim		mx		m	.
x	o sin nx					x 0 nx				n
VII. Применение замечательных пределов.
Пример. Найти предел lim			1	cos8x			.
x	0			2x2

69

Решение. Преобразуем числитель к виду 1 cos8x

2sin2 4x . Далее, на-

ходим:

lim

1

cos8x

lim

2sin2 4x

lim

sin 4x

sin 4x

2x2

2x2

x

x

x 0

x 0

x 0

lim

sin 4x

lim

sin 4x

4

4

16

x

0

x

x

0

x

т.к. lim

sin kx

lim

sin y

lim

k sin y

k

lim

sin y

k ,

здесь

произведена

x 0

x

y 0 y / k

y 0

y

y 0

y

подстановка kx

y , а при x

0, y

0 и x

k /

y .

Пример. Вычислить предел lim

3tgx

.

x

0

x

Решение. Заменив tgx на sin x / cos x , получим:

lim

3tgx

lim

3sin x

lim

sin x

3

x 0

x

x

0 x cos x

x

0

x

cos x

lim

sin x

lim

3

1 3

3.

x

0

x

x

0 cos x

Пример. Найти предел

lim

1

2

3x

.

x

x

2

3x

2

x/2

6

2

x/2 6

Решение.

lim

1

lim

1

lim

1

. Поло-

x

x

x

x

x

x

жим x / 2

y . Тогда при неограниченном возрастании x переменная y также

будет неограниченно возрастать. Поэтому, используя второй замечательный

предел, получим

2

2/ x

1

y

lim

1

lim

1

x

y

x

y

e . Тогда, lim

1

2

3x

e6.

x

x

1

3 x

Пример. Вычислить предел lim

x

.

3

x

Решение. Запишем основание степени в виде

3 x

1

x

, а показатель

3

3

степени – в виде

1

1

3

3 1

. Следовательно,

x

x

3

x 3

70