- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
Исходя из определения кратного интеграла, имеем
.
Замечание 1. Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам крат-ного интеграла.
Определение. Правильной пространственной областью V называется область, удовлетворяющая следующим условиям:
1. Верхняя и нижняя границы области V задаются уравнениями: исоответственно;
2. Всякая прямая, параллельная оси Oz, пересекает верхнюю и нижнюю границы области V не более чем в двух точках;
3. Проекция областиV в плоскость Oxy является правильной в направлении осей Oy или Ox областью D.
z
V
O y
a
D
b
х
Если V правильная область, то можно показать, что вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла
.
3.2. Замена переменных в тройном интеграле
Пусть заданы непрерывно дифференцируемые функции
которые осуществляют взаимно однозначное отображение области в координатахна областьV в координатах . Тогда аналогично, как и для двойного интеграла, получим формулу замены переменных в тройном интеграле
(1)
где определитель J = называетсяякобианом.
В качестве примера рассмотрим цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах положение точки определяется координатами .
z
O y
x
Из рисунка видна связь декартовых координат с цилиндрическими
Если теперь в формуле (1) положить , то получим
так как якобиан для цилиндрических координат имеет вид
Здесь уравнения нижней и верхней границ об-ласти V в цилиндрической системе координат, а границы области D в полярной системе координат.
3.3. Приложения тройного интеграла
3.3.1. Объём тела.
Если положить , то из определения тройного интеграла следует, что
Пример 1. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
Изобразим данную область z
1
O 1 y
x
3.3.2. Центр масс (тяжести) тела.
Если плотность области V, то, как было показано ранее, масса тела будет равна
Рассуждая аналогично, как и для случая двойного интеграла находим координаты центра масс (тяжести)
(2)
Замечание 2. Формулы (2) для однородного тела преобразуются аналогично, как и для случая двойного интеграла.
Пример 2. Найти координаты центра масс (тяжести) тела, ограничен-ного поверхностями: , если известна его плот-ность.
z
O y
x
В цилиндрических координатах
Тогда в силу симметрии тела и функции плотности относительно оси аппликат имеем хС = уС = 0 и
3.3.3. Моменты инерции.
Аналогично, как и для двойного интеграла, получаем выражения для моментов инерции относительно координатных осей
Пример 3. Найти момент инерции однородного бруса длиною l, a и b размеры прямоугольного поперечного сечения.
z
a
b y
x
,
где т масса бруса.