- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
При больших значениях n формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.
Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при большихп приближенно равна значению функции
, где при. (2)
Значения функции берутся из таблиц, при этом- четная функция, т.е..
Пример 2. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероят-ность того, что среди 100 новорожденных окажется половина мальчиков.
Вероятность такого события вычисляем по формуле (2) при и. Имеем
где значение взято из таблицы значений функции.
3.3. Интегральная теорема Лапласа
Пусть производится п независимых испытаний. Как найти вероятность того, что событиеА появится в п испытаниях не менее раз и не болеераз? Формулойпользоваться не удобно. Ответ даёт
Теорема 2. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при большихп приближенно равна
,
где
(3)
Для приближенного вычисления данного интеграла
(функция Лапласа)
имеются таблицы, при этом функция нечетная, т.е. .
Тогда
.
Замечание 2. Погрешность вычислений вероятностей по формулам (2) и (3) имеет порядок .
Пример 3. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, среди 400 отобранных наудачу деталей окажется непроверенных от 70 до 100.
Вычислим
Тогда
3.4. Теорема Пуассона
Из замечания 2 следует, что точность вычисления вероятностей тем хуже, чем меньше р или q. Возникает задача отыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для этого случая. Такая формула была получена Пуассоном.
Теорема 3. Если число испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то имеет место приближенная формула
или , (4)
где среднее число появлений события А в п испытаниях.
Замечание 3. Можно проверить, что при больших п справедливо равенство
Пример 4. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, среди 400 изготовленных деталей окажется пять бракованных.
Так как число испытаний велико, а вероятностьмала, то воспользуемся формулой (4). Найдёми тогда
Замечание 4. Для удобного использования формулы Пуассона также существуют таблицы для . Есть таблицы и для вычисления вероятностей вида
(5)
причем поскольку в формуле Пуассона число испытаний достаточно велико, то п можно не писать, т.е. и
Пример 5. Вероятность того, что деталь будет забракована, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 изготовленных деталей будет не больше пяти забракованных.
Очевидно, что поэтому можем воспользо-ваться формулою (5). Из таблицы, учитывая, чтои, нахо-димСледовательно, искомая вероятность равна
3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Пусть производится п независимых испытаний с постоянной веро-ятностью р. Требуется найти вероятность того, что отклонение частоты отр по абсолютной величине не превосходит данного , т.е.
Преобразуем неравенство в скобках
и умножим полученное неравенство на
Полагая в формуле (3) и учитывая нечетность функции Лапласа, получаем
. (5)
Пример 5. Вероятность изготовления фарфоровой посуды высшего ка-чества равна . Найти вероятность того, что в партии из 600 изделий частота изготовления посуды высшего качества отклонится от вероятности не более чем на0,05.
Подставим данные задачи в формулу (5)
Пример 6. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти число испытаний п, при котором с вероят-ностью 0,9876 можно ожидать, что
Подставим данные задачи в формулу (5)
По таблице значений функции Лапласа находим соответствующее значение аргумента