6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин

6.2.1. Равномерное распределение

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные СВ, о которых известно, что их возможные значения находятся в некотором промежутке, где они одинаково вероятны. О таких СВ говорят, что они распределены по закону равномерной плотности. Из такого понятия следует, что их функция плотности распределения имеет вид

Определим константу С из свойства 4 функции плотности

Легко найти интегральную функцию распределения

и основные числовые характеристики равномерного распределения:

Пример 3. Колесо приводится во вращение, а затем останавливается под действием сил трения. Угол  случайная величина, равномерно распре-делённая в промежутке . Найти её числовые характеристики.

6.2.2. Показательное распределение

Определение 3. Показательным (экспоненциальным) распределением называется распределение, которое имеет функцию плотности вида

с параметром .

Найдём интегральную функцию этого распределения

Приведём графики дифференциальной и интегральной функций.

1

0 х 0 х

Найдем основные числовые характеристики показательного распреде-ления – математическое ожидание

Аналогично, используя формулу интегрирования по частям дважды, находим и дисперсию

т. е. для показательного распределения выполняется соотношение

Показательное распределение широко используется в теории надёжности. Пусть элемент некоторого устройства начинает работать в момент времени , а в моментt происходит отказ в работе. Обозначим через T непрерывную СВ – время безотказной работы элемента, а через  интенсивность отказа (среднее число отказов в единицу времени), тогда

функция распределения определяет вероятность

отказа элемента за время t, а функция

(1)

вероятность безотказной работы за 1

время t. Она называется функцией

надёжности. Ее график аналогичен

графику функции плотности

показательного распределения . t

Пример 4. Случайная величина Т  время безотказной работы станка имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы станка будет не менее 6000 часов, если среднее время безотказной работы станка 4000 часов.

Здесь математическое ожидание

и тогда

Характеристическое свойство закона надежности:

Вероятность безотказной работы устройства на интервале времени длительности t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от времени t.

Действительно, обозначим события:

А – безотказная работа устройства на интервале времени ;

В – безотказная работа устройства на интервале времени ;

А В – безотказная работа устройства на интервале времени .

Найдем вероятности этих событий

Найдем условную вероятность того, что устройство будет работать безотказно на интервале времени при условии, что оно уже проработало безотказно на предыдущем интервале времени

Как видим, полученная формула не содержит , а содержит только величину времениt.

Другими словами, в случае показательного закона распределения прош-лая работа устройства не влияет на вероятность его будущей безотказной работы, что очень удобно для решения практических задач.