- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
1.7. Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.
Пусть Е - пространство элементарных событий, а класс событий (набор подмножеств множества E). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.
Пример 11. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь . Выпишем все события, которые образуют. Тогда.
Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и равно. Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно.
Определение 2. Числовая функция Р, определяемая на классе событий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:
1. ;
2. ;
3. Если несовместные события, то
.
Из этого определения следуют свойства:
1. .
Действительно, так как и, с учетом аксиом2 и , получаем .
2. .
Действительно, так как , то с учетом свойства1 и аксиомы 2, получаем .
3. Если образуют полную группу событий, т.е., то.
Это следует из аксиом 23.
4. .
Это следует из свойства 3 и аксиомы 1.
Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
2.1. Теорема умножения вероятностей
Определение 1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло, называется вероятность, определяемая формулой
. (1)
Это можно легко показать для случая классического определения веро-ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про-иллюстрируем её на примере.
Пример 1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: A – первым вынут белый шар, В – вторым вынут синий, тогда АВ – вынуты по очереди белый и синий шары. Найдем вероятности:. Подста-вив эти вероятности в формулу (1), убеждаемся, что она справедлива.
Определение 2. Если и, то такие события называютсянезависимыми.
Теорема 1. . (2)
Это следует из формулы (1).
Следствие 1. Для независимых событий .
Следствие 2. Если обозначить и, то вероятность появленияхотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна
. (3)
Рассмотрим событие ни одного события не на-ступило. Тогда по следствию 1 из определения вероятности получаем
.
2.2. Теорема сложения вероятностей
Теорема 2. . (4)
Из диаграммы событий легко получить равенства:
,
где и попарно
несовместные события. А В
Тогда, согласно третьей аксиоме,
получаем
и .
Если из последнего равенства выразить и подставить в первое, то получим формулу (4).
Следствие 3. Если А и В несовместные события, то получаем третью аксиому.
Пример 2. Вероятности попадания при двух выстрелах соответственно равны . Найти вероятность поражения цели.
Вероятность поражения цели представляет собой событие , где событиеА поражение цели при первом выстреле, а событие В - поражение при втором выстреле.
Первый способ: По теореме сложения вероятностей получаем
Второй способ: По формуле (3) получаем
.
Пример 3. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05 ; 0,06 ; 0,08 . Найти вероятности событий:
1. Откажет один элемент.
Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; D - отказал третий элемент.
Тогда
и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим
2. Ни один элемент не откажет.
Здесь интересующее нас событие и тогда