- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
5.3. Понятие о моментах св
Кроме математического ожидания и дисперсиипри-меняются и другие числовые характеристики СВ.
Определение 5. Начальным моментом k-го порядка СВ называется величина .
Тогда для дискретных СВ: .
Для непрерывных СВ: .
Определение 6. Центральным моментом k-го порядка СВ называется величина .
Тогда для дискретных СВ: .
Для непрерывных СВ: .
Легко проверить следующие соотношения:
и установить связь между начальными и центральными моментами:
.
Моменты характеризуют то или иное свойство СВ. Например, (дисперсия) характеризует рассеивание значений СВ около математического ожидания, асимметрию распределения и т.д.
Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
6.1.1. Биномиальное распределение
Определение 1. Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли в виде таблицы
X |
0 |
1 |
… |
k |
… |
п |
p |
… |
|
… |
где Х количество появлений события А в п повторных испытаниях, если вероятность его появления в каждом из испытаний не изменяется и равно р. Пусть число появления события A в i-ом испытании, т.е.
-
0
1
p
q
p
тогда и
Аналогично можно показать, что .
Пример 1. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. В каждой партии 5 изделий. Найти , гдеX - число партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверки подлежат 50 партий.
Вначале определим вероятность того, что в каждой партии окажется ровно 4 стандартных изделия
Тогда
6.1.2. Распределение Пуассона
Пусть в схеме Бернулли производится n опытов, в которых вероятность появления события А мала, а n велико и .
Определение 2. СВ X распределена по закону Пуассона, если вероят-ностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой
Пуассона , т.е. закон распределения имеет вид
-
X
0
1
…
k
…
p
…
…
Тогда .
Аналогично можно показать, что .
Пример 2. Автозавод отгрузил автомобилей. Вероятность повреждения автомобиля при транспортировке. Определить веро-ятность того, что автомагазин получит повреждённых автомобиля.
Вначале определим математическое ожидание .
Тогда
6.1.3. Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а, значит, вероятность непоявления события А равна . Испытания заканчиваются в момент появления событияА. Следовательно, если событие А появи-лось в k-ом испытании, то в предыдущихk 1 испытаниях оно не появля-
лось, т.е. описываемое событие имеет вид .
Отсюда получим
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испы-таний, которые необходимо провести до появления события А. Таким образом СВ Х может принимать только значения 1, 2, 3, …
Определение 3. СВ X распределена по геометрическому закону, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой , т.е. закон распределения имеет вид
-
X
1
2
3
…
k
…
p
p
…
…
Нетрудно убедиться, что сумма всех вероятностей, как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равна
Тогда
Аналогично можно показать, что .
Пример 3. Студент может сдать экзамен по высшей математике с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что:
а) студент сдаст экзамен с третьей попытки;
б) студент сдаст экзамен за три попытки.
Имеем и вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки
Вероятность того, что студент сдаст экзамен за три попытки