- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
6.2. Формула Гаусса Остроградского
Теорема 1. Если функции являются непрерывными функциями вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула
(1)
где направляющие косинусы единичного нормального вектора к поверхности, которая является границей областиV.
Замечание 1. Нетрудно заметить, что и тогда поток векторного поляопределяется по формуле
Пусть задано векторное поле . Рассмотрим некоторую точкуМ и окружим её поверхностью . Вычислим потокчерез эту поверхность. Если поле скоростей текущей жидкости, то возможны следующие случаи:
1. количество втекающей жидкости равно количеству вытека-ющей жидкости;
2. количество втекающей жидкости меньше вытекающей;
3. количество втекающей жидкости больше вытекающей.
Во втором случае точка M называется источником, в третьем – стоком.
Рассмотрим отношение
,
где V объём области с границей . Это отношение представляет собой среднюю мощность источников или стоков, находящихся внутри областиV.
Определение 2. Дивергенцией векторного поля в точкеМ назы-вается
. (2)
Таким образом, дивергенция в точке представляет собой мощность источника или стока, находящегося в этой точке.
Формулу (2) с учетом формулы (1) можно преобразовать к виду
. (3)
Замечание 2. В обозначении дивергенции формула (1) представляется в векторной форме
Определение 3. Если в каждой точке векторного поля выполняется условие
то такое поле называется соленоидальным.
Это поле, которое не имеет источников и стоков. Так, например, в рассмотренном выше примере поле
является соленоидальным.
6.3. Формула Стокса
Теорема 2. Если функции являются непрерывными функциями вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула
(4)
где L граница поверхности .
Определение 4. Вектор
называется вихрем или ротором векторного поля .
Если поле скоростей текущей жидкости, то можно показать, чторавен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малой частицы в точкеМ, т.е. ротор характеризует вращательную способность векторного поля.
Замечание 3. В обозначении ротора формула (4) представляется в векторной форме
Определение 5. Значение интеграла
называется циркуляцией векторного поля вдоль контураL.
Аналогично, как и для плоского случая можно показать, что условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования сводится к выполнению соотношения
(5)
где L - произвольный контур.
С учётом формулы Стокса условие (5) принимает вид
, (6)
т.е. .
Это означает, что выражение является полным дифференциалом, т.е. существует такая функция, для которой выполняется, где
и
где фиксированная точка, текущая точка, а путь интегрирования выбирается произвольно.
Определение 6. Векторное поле, для которого выполняется условие ,называется потенциальным или безвихревым, а сама функция потенциалом.
Пример 2. Показать, что поле является потенциальным и найти его потенциал.
Проверим выполнение условий (6):
В качестве пути интегрирования выберем ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, как показано на рисунке.
z
y
x
Тогда
где .