- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
Задача 1. Определение массы тела.
Рассмотрим тело, которое занимает пространственную область , с плотностью, где точка. Найдём его массу. Если. В нашем случае разобьём тело на части с объёмами:. Внутри каждой части произвольно выберем точкуи определим значение. Если части разбиения достаточно малы, то, а вся масса
. (1)
При этом, чем меньше , тем равенство (1) точнее. Если ввести понятиедиаметра области - наибольшее расстояние между двумя точками её границы, то из формулы (1) путём предельного перехода получим точное значение массы тела
.
Например, если область является круг, то диаметр этого круга; если прямоугольный параллелепипед, то его диагональ.
Задача 2. Определение заряда тела.
Рассуждая аналогично, можно показать, что если в теле распределен заряд плотностью, то суммарная величина заряда вычисляется по формуле
.
1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
Пусть в пространстве любого числа измерений т задана область , в каждой точке которойопределена функция. Разобьём областьнап подобластей с мерами (длина, площадь, объём и т.д.): . Внутри каждой из них произвольно выберем точки:и составим сумму вида
(2)
которая называется интегральной суммой для функции по области.
Определение 1. Если существует предел интегральной суммы (2) и он не зависит от способа разбиения области на подобластии выбора точек, то значение этого предела называется кратным интегралом от функциипо областии обозначается
Замечание 1. Легко проверить, что определение определённого интеграла является частным случаем кратного интеграла, если в качестве области рассмотреть отрезок числовой оси, на котором задана функция одной переменной. Из этого факта следует:
Теорема существования кратного интеграла. Если непрерывна в замкнутой области, то она интегрируема в этой области.
Основные свойства кратных интегралов:
1. Свойство линейности. Если
.
2. Свойство аддитивности. Если
.
3. мера области.
4. Если .
Отсюда, если то
5. Теорема об оценке интеграла.
Если .
6. Теорема о среднем значении.
Существует такая точка , для которой выполняется
.
Тема 2: Двойной интеграл
2.1. Определение двойного интеграла (ди)
Если в определении кратного интеграла в качестве области взять плоскую областьD, в которой определена функция двух переменных , то получим определение двойного интеграла:
(3)
где площадь участка разбиения областиD.
Для выяснения геометрического смысла двойного интеграла изобразим поверхностьв областиD.
z
O y
x
Из интегральной суммы (3) и приведенного рисунка следует, что если V - объём цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью , то. Переходя к пределу при , получим
. (4)
Таким образом, геометрический смысл ДИ – объём цилиндричес- кого тела, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью .
Замечание 2. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам кратного интеграла.