- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
4.1.1. Определение криволинейных интегралов первого рода
Пусть в пространстве задана некоторая линияL, а на ней определена функция , где точка. ТочкаА - начальная точка линии L, точка В конечная. z L B
A
y
x
Если в качестве меры в кратном интеграле взять длину дуги кривой, то получим частный случай кратного интеграла, который называется криволинейным интегралом первого рода (КИ-1):
.
Другие обозначения КИ-1: .
Из этого определения следуют свойства КИ-1:
1. КИ-1 имеет те же свойства что и кратный интеграл;
2. КИ-1 зависит от начальных и конечных точек, но не зависит от направления пути интегрирования, т.е. .
Замечание 1. Если линия интегрирования замкнутая, то используется обозначение .
4.1.2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Так как дифференциал дуги для линии L, заданной параметрическими уравнениями
то получим формулу для вычисления криволинейных интегралов первого рода
.
Для плоской линии получаем
.
Если линия плоская и задана в декартовой системе координат урав-нением на отрезке , то, выбирая х в качестве параметра, получим
.
Пример 1. Вычислить вдоль винтовой линииот точкидо точки.
4.1.3. Вычисление длины дуги.
Если в подынтегральной функции положить , то длина дуги
Пример 2. Найти длину дуги винтовой линии при изменении параметра t от до.
4.1.4. Вычисление центра масс (тяжести) линии.
Аналогично, как и в предыдущих лекциях для кратных интегралов, получаем:
где масса линии.
Пример 3. Найти центр масс однородной полуокружности .
В силу симметрии линии , а
.
4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
4.2.1. Определение криволинейных интегралов второго рода
Пусть в пространстве задана линия на которой определена векторная функция
где точка . Тогдакриволинейный интеграл второго рода опреде-ляется следующим образом
. (1)
Из этого определения следует:
1. Криволинейный интеграл второго рода имеет свойства, аналогичные свойствам 1-2 кратных интегралов.
2. , так как в интегральной сумме (1),меняют знак.
Замечание 2. Если линия интегрирования замкнутая, то используется обозначение , при этом стрелкой обозначают направ-ление интегрирования.
4.2.2. Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Аналогично, как и для криволинейного интеграла первого рода, имеет место формула
Если линия плоская и задана в декартовой системе координат, то
.
Пример 4. Вычислить , где линия эллипс, проходимый против часовой стрелки.
4.2.3. Вычисление работы силы.
Если под функциями подразумевать проекции некоторой силы, то работа этой силы на элементарном перемещении и тогда работа силы по перемещению точки вдоль линии.
Пример 5. Найти работу силы вдоль дуги параболы от точки до точки.
Векторную запись силы представим в координатной форме:
.
Тогда работа
.