2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

Відповідно до навчальної програми студенти виконують два індивідуальних завдання, строки виконання та здачі яких оговорюються викладачем.

Варіанти індивідуальних завдань обираються за порядковим № студента в учбовому журналі викладача.

Індивідуальне завдання змістового модулю №1 „Методи оптимізації на основі задачі лінійного програмування” містить задачі,

які відносяться до чотирьох тем навчальної дисципліни:

−Оптимізаційні економіко-математичні моделі.

−Задача лінійного програмування та методи її розв'язування.

−Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.

−Транспортна задача.

Індивідуальне завдання змістового модулю №2 „ Спеціальні

методи математичного програмування в оптимізації процесів й прийняття рішень” містить задачі, які відносяться до двох тем навчальної дисципліни:

−Цілочислове програмування.

−Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Кожне завдання повинно містити умову, розв'язок з необхідними роз’ясненнями, чітку відповідь. Студент повинен вміти дати усну відповідь за запитання викладача стосовно розв'язання завдань (захистити роботу).

Відповідні варіанти завдань наведені у посібнику.

150

Варіант № 1

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Фірма займається виготовленням столів і тумбочок. Відомо, що від виробництва стола фірма отримає прибуток 100 у.г.о., а тумбочки – 35 у.г.о. Як

фірмі необхідно організувати виробництво столів і тумбочок, якщо на виробництво стола витрачається 0,1 м3 сосни і 0,5 м3 липи, а на виробництво тумбочки 0,04 м 3 сосни і 0,15 м3 липи. Фірма має 100 м3 сосни та 130 м3 липи.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. F = -3x1 - 2x2→(extr)	2.2. F = 2x1 + 4x2 + 15→(extr)
за умов	за умов

	x	+ x		2	≥10,		2x1 + x2			≥ 2,
	1									≥ 0,
	x1	−2x2 ≥ 0,				− x1 + x2
							2x1 + x2			≤ 8,
		+5x2 ≤ 43,
4x1							x , x		≥ 0.
	x		, x		≥ 0.
				2			1	2
		1

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за			Запас
		видами		ресурсу
	А	В	С
1	18	15	12	360
2	6	4	8	192
3	5	3	3	180
Ціна	9	10	16
одиниці
продукції

151

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (10, 80, 15) b = (75, 20, 50)
	5	1	4
	3	4	5
C =
	3	2	4

Індивідуальне завдання №2

5.Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤ 9x1 − x2 ≤ 4x1 , x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

5. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F = 2x1 −3x2 → max, x1 +4x2

	за умов
x1		− x2		≥ −2,
	x	+ x	2	≤10,
	1
3x1		+7x2 ≥34,
	x1, x2			≥ 0.

6. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = (x1 −6)2 + (x2 − 2)2

за умов:

x1 +2x2 ≤8,
3x1 + x2 ≤15,
	x1 + x2 ≥1,
	x ≥ 0,
	1
	x2 ≥ 0.

7. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 − x22

за умов

3x1 + 4x2 =12.

152

Варіант № 2

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

На виготовлення одного стола потрібно 0,15 м2 деревини, а одної шафи – 0,2 м2 деревини, причому дохід, отриманий від реалізації одного стола, дорівнює 100 у.г.о. (умовних грошових одиниць), а одної шафи – 160 у.г.о. Скільки столів і шаф необхідно виготовити із 600 м3 деревини, щоб забезпечити найбільший дохід від реалізації?

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. F = -2x1 + 3x2→(extr)

2.2. F = 6x1 - 3x2→(extr)

за умов

за умов

x1 + 2x2

≥11,

2x1 + x2

≥ 4,

4x

+ 2x

2

≤15,

x + 2x

2

≥ 5,

1

1

+3x

≤ 20,

2x

− x

≥ 0,

x

2

2

1

1

0 ≤ x ≤ 5,

x

, x

2

≥ 0.

1

1

x2 ≥ 0.

3.У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;

3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

Підприємство виготовляє продукцію А, В і С, для чого використовує три види ресурсів 1, 2, Норма витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на		одиницю	продукції за	Запас
	видами				ресурсу
	А		В	С
1	4		2	1	180
2	3		1	3	210
3	1		2	5	244
Ціна одиниці
продукції	10		14	12
(ум.од.)

153

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (8, 9, 11)					b = (7, 7, 14)
	4	8	7
	3	5	10
C =
	8	4	2

Індивідуальне завдання №2

5.Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 2x2 → max

x1 + x2 ≤ 9− x1 + x2 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

X1, X2 – цілі числа.

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F= −3x1 +5x2 → min,

−x1 −4x2

	за умов
	2x1 + x2 ≥8,
	3x		−4x			2			≥ −10,
	1									≤ −17,
− x		+−7x						2
	1
	− x		−	7x			2			≤ −17,
	1			x
		x			2			≥ 0.
			1,

7.Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = 4(x1 −2)2 +2(x2 −2)2

за умов:

x		+ x			≤ 7,
	1			2
2x1 − x2 ≤8,
		x	≥ 0,
		1
		x2	≥ 0.

8.За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 2x12 +3x22 + x32 за умов x1 + x2 + x3 =8.

154

Варіант № 3

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Діяльність цеху випускає вироби двох видів. На один виріб І виду витрачається 5 кг міді та 1 кг алюмінію, а на виріб ІІ виду 3 кг міді ат 2 кг алюмінію. Від реалізації одного виробу І виду дільниці нараховується прибуток – 2 грн., а від реалізації одного виробу ІІ виду – 3 грн. Скільки виробів кожного виду повинна випустити дільниця, щоб отримати найбільшу суму прибутку, якщо дільниця має 45 кг міді та 16 кг алюмінію?

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. F= 2x1 – 25x2→(extr)

за умов

x1 +3x2 ≤15,

5x1 + x2 ≤15,x1 + x2 ≥ 0,x1 −5x2 ≥ 0,

x , x ≥ 0.

1 2

2.2.F = 5x1 + 5x2→(extr)

x1 + x2 ≤5,4x1 + x2 ≥8,x1 ≥ 0,

0 ≤ x2 ≤ 4,

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів на підприємстві наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, який максимізує дохід підприємства.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за					Запас ресурсу
		видами
	А	В		С	Д
1	2	1		1	1	280
2	1	-		1	1	80
3	1	5		-	-	250
Ціна одиниці
продукції	4	3		6	7
(ум.од.)

155

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (70,		80,		60); b = (50, 50, 80)
	3	5	8
	6	7	2
C =
	4	2	3

Індивідуальне завдання №2

5. Знайти розв'язок задачі лінійного програмування за умов, що змінні – невід'ємні цілі числа.

	F = −4x1 +6x2 +4x3 → max
	за умов
	4x1 + x3 ≤19,
	−8x2 +3x3 ≥ −41,

7x1 −2x2 +4x3 ≤17.

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F= 6x1 +3x2 → min, 2x1 +4x2

за умов

	4x1 +3x2 ≥19,
	4x	−9x				2		≥ −41,
	1
	2x1 +3x2 ≤32,
−7x			+2x				2		≥ −43,
	1
	2x1 +16x2 ≥53,
		x		x	2			≥ 0.
		1,

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = x1 x2 → max

за умов:

x1 + x2 ≥ 2,x1 + x2 ≤ 6,2x1 + x2 ≤10.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму: F = x1 x2 за умов x1 + x2 =1.

156

Варіант № 4

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Меблева фабрика

випускає крісла двох видів. На виготовлення крісла І виду витрачається 2 м2 дощок, 0,8 м2 оббивочної тканини і 2 людино-години, а на виготовлення крісла другого виду, відповідно, 4 м2, 1,25 м2, 1,75 людиногодини. Відомо, що ціна одного першого виду становить 150 у.г.о., а другого виду – 200 у.г.о. Скільки крісел кожного типу потрібно

випустити, щоб прибуток від випущеної продукції був максимальний, якщо фабрика має в наявності 4400 м дощок, 1500 м2 оббивочної тканини і може затратити 3200 людино-годин робочого часу на виготовлення цієї продукції?

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. = 5x1 + 6x2 - 27→(extr)	2.2. F= 2x1 + 3x2 + 10→(extr)
за умов	за умов

8x1 +7x2				≥ 56,	3x1 +2x2 ≤18,
4x		+6x	2	≤ 34,		− x + x	2	≤ 6,
	1					1
x1 +3x2 ≤15,						x1 + x2 ≥3,
	0	≤ x	≤14,			0 ≤ x	≤ 4,
		1				1
		x2 ≥ 0.				x2 ≥ 0.

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів з трьох видів ресурсів. Економічні показники виробництва наведено в таблиці. Визначити такий план виробництва продукції всіх видів, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма	витрат	на	одиницю	Запас ресурсу
	продукції за видами
	А	В	С	Д
1	6	1	2	4	300
2	5	2	2	4	200
3	2	3	1	1	90
Ціна одиниці	4	2	3	4
продукції (ум.од.)

157

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (90,		20,		70); b = (40, 50, 80)
	2	6	7
	8	2	3
C =
	3	5	6

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 +3x2 → max

x1 + x2 ≤ 8−3x1 + x2 ≤ 3x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F = 2x1 −3x2 → max, 3x1 + x2

за умов

−2x1 − x2 + x3 = 4,
	x1 + 2x2 − x3 ≤ 6,
	x , x	2	,	x ≥ 0.
	1			3

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = x1 x2 → max

за умов:

x1 + x2 ≥ 2,x1 + x2 ≤ 6,

2x1 + x2 ≤10.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 +12x1x2 + 2x22

за умов

4x12 + x22 = 25.

158

Варіант № 5

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Ательє шиє спідниці і плаття з плаття з тканини двох видів. На одну спідницю витрачається 1,6 м2 тканини першого виду, а другого – 0,8 м2 , а на пошиття одного плаття витрачається 1,8 м2 тканини першого виду , а другого виду 67 м2. Скільки платтів і спідниць необхідно пошити, щоб досягти найбільшого прибутку, якщо на складі є тканини першого виду 141 м2, а другого виду 63 м2? Відомо, що дохід ательє від реалізації одного плаття становить 98

у.г.о., а спідниць 65 у.г.о.
2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1. F = 5 - 4x1 + 3x2→(extr)		2.2. F = -2x1 + 3x2 + 1→(extr)
за умов		за умов
7x1 +12x2 ≤ 49,		2x1 + x2 ≥3,
	x1 − x2 ≤ 0,	x1 −2x2 ≥ 0,
	0 ≤ x ≤ 3,	x ≥1, x	2	≥ 0.
	1	1
	x2 ≥ 0.

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього використовуються ресурси трьох видів 1,2,3. Основні економічні показники процесу виробництва продукції на підприємстві наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції всіх видів, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за				Запас
	видами		С		ресурсу
	А	В		Д
1	3	2	1	2	200
2	3	1	3	4	500
3	1	1	1	3	400
Ціна одиниці
продукції	27	10	15	28
(ум.од.)

159