2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

Варіант № 20

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

Цех виробляє високоточні деталі для автомобілів двох типів: А і Б. Цех має фонд робочого часу в 4500 люд.-год. на тиждень. Для виробництва однієї деталі типу А потрібно 1 люд.-год., а для виробництва однієї деталі типу Б – 2 люд.-год. Виробничі потужності цеху дозволяють виробити максимум 1800 деталей типу А і 1500 деталей типу Б щотижня. Кожна деталь типу А потребує 2 кг металевих стрижнів та 5 кг листового металу, а для виробництва однієї деталі типу Б потрібно 5 кг металевих стрижнів і 2 кг листового металу. Рівень запасів кожного виду металу складає 12000 кг щотижня. Окрім того, щотижнево цех постачає 800 дет. типу А постійному замовникові. Існує також профспілкова домовленість згідно з якою щотижневий обсяг виробництва деталей повинен складати не менше 3100 шт. Прибуток від виробництва однієї деталі типу А складає 12 грн., а від виробництва однієї деталі типу Б – 15 грн. Потрібно визначити тижневий виробничий план фірми з погляду досягнення максимального прибутку.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1. Z = 3x1 + 3x2 →(extr)	2.2. Z = 5x1 -x2 →(extr)
за умов	за умов

x1 −4x2 ≤ 4,3x1 +2x2 ≤ 6,− x1 + x2 ≤ 7,x1 +2x2 ≥ 2,

x , x ≥ 0.

1 2

x1 −4x2 ≤ 4,5x1 + x2 ≤5,

x1 + x2 ≤8,

x1, x2 ≥ 0.

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх

економічний аналіз; 3.3.симплекс-методом визначити статус ресурсів, що

використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів на підприємстві наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду.

190

Визначити план виробництва продукції, який максимізує дохід підприємства.

						Норма витрат на					Запас
				Ресурс		одиницю продукції за
							видами				ресурсу
						А	В	С		Д
					1	2	1	1		1	280
					2	1	-	1		1	80
					3	1	5	-		-	250
4.	Ціна одиниці продукції (ум.од.)					4	3	6		7
	Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (3,			17,	8)	b = (4, 16, 8)
		1	8	9
		2	7	6
C =
		1	10	12

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 6− 2x1 + x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

	F =	−5x1 + 2x2				→ max,
		3x +	4x		2
		1
		за умов
	x1 + 4x2 + x3 =16,
	2x +3x		2	− x		4	=12,
		1
				+ x5 =18,
	3x1 + 2x2
		x j ≥ 0, j =1,5.

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

		2	2	− 2x2 −34 ≤ 0,
	x1		− 2x1 + x2
F = 4x1 +3x2	→ min за умов:		x1	≥1,
			x2	≥1.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму: F = x1x2 за умов x1 + x2 =1.

191

Варіант № 21

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

На підприємстві використовується сталь трьох марок: А, В, С. Запаси їх обмежені і становлять відповідно 10, 16 та 12 од. Підприємство випускає два виду виробів I, II. Для виробу І необхідно однієї одиниці сталі усіх марок. Для виробу II необхідно 2 одиниці сталі марки В, 1 одиниця марки С і не потрібна сталь марки А. Від реалізації одиниці виробу виду І підприємство отримує 3 г.о. прибутку, виду II - 2 г.о. Скласти план випуску продукції, який має забезпечити найбільший прибуток.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. F = -3x1 - 2x2 - 8→(extr)	2.2. F= 4x1 + 3x2 + 20→(extr)
за умов	за умов

− x1 + x2 ≤ 3,

4x1 + x2 ≥ 8,

3x1 − x2

≤ 0,

7x1 +10x2 ≤ 70,

x

+ x

2

≤ 6,

x

− x

2

≤1,

1

1

0 ≤ x

≤ 4,

x

2

≥ 0.

x

, x

2

≥ 0.

1

1

2. У наведеній

задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів з трьох видів ресурсів. Економічні показники виробництва наведено в таблиці. Визначити такий план виробництва продукції всіх видів, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за					Запас ресурсу
		видами
	А	В		С	Д
1	6	1		2	4	300
2	5	2		2	4	200
3	2	3		1	1	90
Ціна одиниці
продукції	4	2		3	4
(ум.од.)

192

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (20,		160, 30) b = (150, 40, 100)
	5	1	4
	3	4	5
C =
	3	2	4

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 6− 2x1 + x2 ≤ 2x1 , x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F= x1 − 2x2 → max, 3x1 + x2

	за умов
	3x1 + x2 ≥ 7,
	− x		+ 4x		2	≤ 5,
	1
4x		−3x		2	≤17,
	1
	x1, x2 ≥ 0.

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = 4x1 +3x2 → min

за умов:

	2	2	− 2x2 −34 ≤ 0,
x1		− 2x1 + x2
		x1	≥1,
		x2	≥1.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x1x2 + x2 x3

за умов

x1 + x2 = 4,x2 + x3 = 4.

193

Варіант № 22

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Підприємство має ресурси двох типів у кількості 120 і 80 од. Ці ресурси використовуються для випуску продукції видів І і II, при чому витрати на виготовлення одиниці продукції виду І дорівнює 2 од. ресурсу першого типу та 2 од. ресурсу другого типу; на виготовлення одиниці продукції виду II - 3 од. ресурсу першого типу та 1 од. ресурсу другого типу. Прибуток від реалізації одиниці продукції першого виду складає 6 г.о., другого виду -

4г.о. Скласти план випуску продукції, який забезпечує найбільший прибуток при умові, що продукції першого виду повинно бути випущено не менше продукції другого виду.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1.F= 3x1 + 6x2 + 10→(extr)

2.2. F = x1 + 4x2 + 2→(extr)

за умов

за умов

−3x1 + 2x2 ≤ 6,

x1 + x2 ≤ 5,

x

2

≥1,

4x

+ x

2

≥ 8,

1

3x

−2x

≤ 6,

x − x

≤ 0,

2

2

1

1

x

+ x

2

≤

8,

x

, x

2

≥ 0.

1

1

x1

, x2 ≥ 0.

3. У наведеній

далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього використовуються ресурси трьох видів 1,2,3. Основні економічні показники процесу виробництва продукції на підприємстві наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції всіх видів, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

	Норма витрат на
Ресурс	одиницю продукції за					Запас
		видами				ресурсу
	А	В	С		Д
1	3	2	1		2	200
2	3	1	3		4	500
3	1	1	1		3	400
Ціна одиниці продукції (ум.од.)	27	10	15		28

194

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (10, 6, 16)					b = (8, 4, 12)
4		2	4
	3	3	2
C =
	4	4	5

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 2x2 → min

x1 + x2 ≥ 6x1 − 2x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

	x1, x2					– цілі числа
6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:
F =			x1 +3x2						→ max,
	2
			+ x				+ x	2
				1
	за умов
x		+3x					≥ 4,
1					2
3x1 − x2 ≤ 6,
x			+ x	2			≤ 3,
	1
	x1, x2				≥ 0.

7. Знайти найменше та найбільше значення функції
	x1 + 2x2 ≤8,
			≤15,
z = (x1 −6)2 +(x2 −2)2	3x1 + x2
	при обмеженнях	x1 + x2	≥1,
		x1, x2 ≥ 0.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 3x12 + 2x1 + 2x22 + 4x2 x3

за умов

x12 + 2x22 =19,

x1 + 2x2 x3 =11.

195

Варіант № 23

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

Нафтопереробна компанія «НАФТА», щоб поліпшити експлуатаційні якості та знизити точки замерзання дизельного пального, яке зона перероблює, додає у пальне певні хімікати. У кожному бензобаку місткістю 1000 л повинно міститися не менше 40 мг. Хімічних добавок Х, не менше 14 мг. Хімічних добавок Y і не менше 18 мг. – Z. Необхідні хімічні добавки у формі готових сумішей постачають дві хімічні компанії А і В. У таблиці наведено вміст хімічних добавок у продуктах, що поставляються вказаними компаніями.

	Продукт		Хімічна добавка мг/л
		Х		Y	Z
А		4		2	3
В		5		1	1

Вартість продукту А = 3 грн./л, а продукту В = 2 грн./л.

Потрібно знайти такий асортиментний набір продуктів А і В, щоб мінімізувати загальну вартість доданих у паливо хімікатів.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. z = 7x1 + 3x2 + 20→(extr)				2.2. z = x1 - x2 + 20→(extr)
за умов				за умов
	x −2x		≤ 2,		− x + x			≥8,
	1	2			1		2
	5x1 + 2x2 ≥10,			8x1 + 5x2 ≤80,
				x1 − 2x2 ≤ 2,
−3x1 + 2x2 ≤ 6,
	x1 , x2 ≥ 0.				x + 4x	2		≥ 4,
					1
					x1, x2	≥ 0.

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів і для цього використовує ресурси 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціну кожного виду продукції наведено в таблиці.

Скласти такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

196

			Ресурс					Норма витрат на одиницю						Запас
									продукції за видами
														ресурсу
								А		В	С		Д
				1				2		1	1		3	300
				2				1		-	2		1	70
				3				1		2	1		-	340
		Ціна одиниці						8		3	2		1
	продукції (ум.од.)
4.
	Розв’яжіть транспортну						задачу.
a = (16,			14,		30)	b = (12,			18, 40)
		4	6	2
		5	5	7
C =
		9	1	2

Індивідуальне завдання №2

5. 4. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 5− x1 + x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F= x1 − 2x2 → max, 3x1 + x2

	за умов
	3x1 + x2 ≥ 7,
	− x		+ 4x		2	≤ 5,
	1
4x		−3x		2	≤17,
	1
	x1, x2 ≥ 0.

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = 3x + x			x		x		≥ 2,
		→ max за умов:	1			2	≤16.
1	2		x2	+ x2
			1			2

8. За методом Лагранжа розв’язати задачу:

F = x1 + 4x2 +3 → opt

за умов x1 x2 = 3.

197

Варіант № 24

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Фермерський консервний цех випускає два види кетчупів, використовуючи при цьому два основних види сировини: томатну пасту і яблука. Норми витрат сировини на 1 кг продукції, граничний збереження запасів сировини на 1 день роботи заводу, а також прибуток від продажу 1 кг продукції наведені у таблиці:

Сировина		Кетчуп	Кетчуп	Запаси
		1-го виду	2-го виду	сировини
Томатна паста		0,3	0,4	195
Яблука		0,3	0,2	150
Прибуток від продажу 1	кг	0,6 грн	0,5 грн
продукції

Згідно з раніше укладеними контрактами необхідно щодня відправляти до торгової мережі не менше 450 кг продукції. Визначити оптимальні обсягі виробництва з метою отримання максимального

прибутку;

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. z = -3x1- 2x2 + 16→(extr)

2.1. z = 2x1- x2 →(extr)

за умов

за умов

x + x

2

≥ 6,

x1 − x2 ≥ −3,

1

− x1 +2x2 ≤ 6,

6x1 + 7x2

≤ 42,

2x

− x

≤ 4,

2x1 −32

≤ 6,

2

x1 + x2

≥ 4,

1

, x

x

2

≥ 0.

x

, x

2

≥ 0.

1

1

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього в технологічному процесі використовують три види ресурсів 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси, а також ціну кожного виду продукції наведено в таблиці.

Скласти такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

198

			Ресурс			Норма витрат на одиницю						Запас
							продукції за видами
												ресурсу
						А		В	С		Д
				1		1		-	2		1	180
				2		-		1	3		2	250
				3		4		2	-		4	800
	Ціна одиниці продукції					9		6	4		7
			(ум.од.)
4. Розв’яжіть транспортну						задачу.
a = (10,			12,		14) b = (8, 16,		6)
		3	8	4
		6	2	1
C =
		4	4	6

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 5− x1 + x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

		F = −5x1 + 2x2 → max,
			3x		+ 4x		2
	за умов			1
	x1 + 4x2 + x3 =16,
	2x		+3x	2	− x	4	=12,
		1
			+ 2x2		+ x5 =18,
	3x1
		x j ≥ 0, j =1,5.

7. Розв’язати задачу нелінійного програмування. z = x1x2 → max

2x1 − x2 ≤ 4,x1 + 2x2 ≤ 6,

x1, x2 ≥ 0.

8. 7. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

2x1 +3x2 = 4,

F = 3x12 + 2x22 за умов x1 + 2x2 =8.

199