2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

Варіант № 30

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Невелика ферма планує засіяти ділянку пшеницею та вівсом для власних потреб та для реалізації. Витрати на посівну компанію і прибуток від подальшого використання 1т вівса та пшениці наведені у таблиці.

	Показник	Культура
		Овес	Пшениця
	Витрати на посівну компанію, грн./т	100	200
	майбутнього врожаю
	Мінімальний обсяг для власних потреб, т	120	120
	Прибуток від реалізації зерна, грн./т	60	100

Фермер має власні обігові кошти для фінансування посівної компанії 50000 грн. і потужність власного зерносховища у 300 т. Побудувати математичну модель для визначення оптимальних обсягів врожаю з

метою отримання максимального прибутку.
2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:						x			+ x		→(extr)
2.1. Z = 2x1 – 10x2 →(extr)			2.2. z =							2
за умов			за умов					1
− x1 +5x2 ≤5,			− x + x						≥8,
	x1 + x2	≤ 6,			1			2
				8x1 +52 ≤ 2,
	x1 − x2	≥ 0,	x		+4x				≥ 4,
							2
	0 ≤ x	≤5,		1
				x	, x			≥ 0.
	1					2
				1
	x2 ≥ 0	≤5.

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів на підприємстві наведено в таблиці.

Визначити план виробництва продукції, який максимізує дохід підприємства.

210

Ресурс	Норма витрат на одиницю					Запас
		продукції за видами				ресурсу
	А		В	С	Д
1	2		1	1	1	280
2	1		-	1	1	80
3	1		5	-	-	250
Ціна одиниці продукції (ум.од.)	4		3	6	7

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (6,		34,	16) b = (8, 32, 16)
	1	8	9
	2	7	6
C =
	1	10	12

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 3x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 3− x1 + x2 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F =

2x1 + x2

→ max,

x

+ x

2

1

за умов

x1 +2x2 − x3 =11,

x

− x

2

+4x

=8,

1

3

− x

+3x

2

+ x

=9,

1

5

x j

≥ 0,

j =1,5.

7. Розв’язати задачу нелінійного програмування.

z = 2x1 + x2 → min

x12 + x22 ≤ 25

x1, x2 ≥ 0

8. 7. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 − x22 + 2x1 + 2x2 + 4 за умови 2x1 + 2x2 = 3.

211

6.КОНТРОЛЬНІ ЗАХОДИ

Екзаменаційні питання

1.Об’єкт, предмет, цілі, завдання та структура курсу.

2.Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів.

3.Основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання.

4.Поняття моделі. Основні етапи процесу моделювання.

5.Класифікація економіко-математичних моделей.

6.Економічна та математична постановка оптимізаційних задач. Вибір критерію оптимізації, функціональних та не функціональних обмежень задачі.

7.Класифікація моделей і методів розв’язування задач математичного програмування.

8.Приклади економічних задач, які доцільно розв’язувати, застосуючи методи та моделі математичного програмування.

9.Історія розвитку та сучасний стан дослідження операцій.

10.Економічна та математична постановка задач лінійного програмування (ЛП). Використовувана система гіпотез.

11.Цільова функція задачі ЛП. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП. Оптимальний план задачі ЛП. Канонічна форма лінійної оптимізаційної моделі.

12.Геометрична інтерпретація множини допустимих розв'язків задачі лінійного програмування. Графічне розв'язання задач лінійного програмування. з двома змінними.

13.Симплексний метод розв’язування задач ЛП. Симплекс-таблиця та правила її заповнення. Алгоритм симплекс-методу.

14.Збіжність симплекс-методу. М-метод, інші методи розв’язування задач лінійного програмування.

212

15.Основна та двоїста задачі як пара взаємоспряжених задач ЛП. Правила побудови двоїстих задач.

16.Економічна інтерпретація пари двоїстих задач. Основні теореми двоїстості задач та їх економічний зміст.

17.Післяоптимізаційний аналіз задач ЛП. Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей.

18.Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.

19.Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів. Аналіз коефіцієнтів цільової функції. Аналіз коефіцієнтів технологічної матриці для базисних і вільних змінних.

20.Приклади практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічних задач.

21.Двоїстий симплексний метод.

22.Постановка транспортної задачі, особливості її структури та її властивості. Знаходження опорних планів транспортної задачі.

23.Метод потенціалів знаходження розв’язків транспортної задачі. 24.Економічний аналіз транспортних задач. Застосування транспортних

моделей для розв’язування деяких економічних задач.

25.Область застосування цілочислових задач ЛП у плануванні й управлінні виробництвом. Математична постановка цілочислових задач лінійного програмування. Геометрична інтерпретація розв’язків на площині.

26.Методи розв’язування цілочислових задач ЛП. Метод Гоморі. Метод гіток і меж.

27.Економічна сутність і постановка та моделі окремих типів задач нелінійного програмування (НЛП).

28.Задачі дробово-лінійного програмування (ДЛП). Основні методи розв’язування задач ДЛП.

213

29.Метод оптимізації задач НЛП на базі використання множників Лагранжа та їх економічна інтерпретація.

30.Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Таккера.

31.Деякі з основних методів розв’язування задач НЛП. Методи аналізу оптимального плану задачі НЛП.

32.Економічна постановка та математичні моделі окремих задач квадратичного програмування (КП). Основні методи розв’язування задач КП.

33.Загальна постановка задачі динамічного програмування та її геометрична інтерпретація. Принцип оптимальності.

34.Знаходження розв'язку економічних задач методом динамічного програмування. Деякі економічні задачі, які розв’язуються методами динамічного програмування

35.Основні поняття теорії ігор. Приклади ігор. Прийняття рішень в умовах ризику. Ігри з нульовою сумою. Мішані стратегії в матричних іграх.

36.Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування. Зведення задачі лінійного програмування до матричної гри.

214

7. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Основна література:

1.Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навч.

посіб. – К.: КНЕУ, 2003. – 452 с.

2.Наконечний С. І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Підручник. – К.: КНЕУ, 2005. – 520 с.

Додаткова література:

3.Акулич Н.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.- М.:Высшая школа.- 1986.- 319 с.

4.Барвінський А.Ф. та ін. Математичне програмування: Навчальний посібник – Львів: Національний університет ”Львівська політехніка”, ”Інтелект-Захід”, 2004. – 448 с.

5.Беліков М.І., Гуржій А.М., Кігель В.Р., Самсонов В.В. Розв'язування оптимізаційних задач за допомогою методів лінійного програмування: Навчальний посібник. – К.: IСДО, 1994.- 132с.

6.Ващук Ф.Г., Лавер О.Г.,Шумило Н.Я. Математичне програмування та елементи варіаційного числення. Навчальний посібник. – К.: Знання, 2008.-368с.-(Вища освіта XXI століття).

7.Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1980. – 208 с.

8.Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.:

КНЕУ, 2001.-248 с.

9.Доугерти К. Введение в эконометрику. Пер. с англ. М.:ИНФРА -

М., 1999.-XIV, 402с.

215

10.Дякон В.М. Математичне програмування: Навч. посіб./ В.М. Дякон, Л.Є. Ковальов; за заг. ред. В.М. Міхайленка.-К.: Вид-во Європ. ун-ту, 2007.-497 с.

11.Елисеева И.И. и др.. Эконометрика: Учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576с.

12.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. Учебник. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова,

изд-во “ДИС”, 1997.-368с.

13.Іванюта І.Д., Рибалка В.І., Рудоміно-Дусятська І.А. Практикум з математичного програмування. Навчальний посібник.-К.: Видавничий дім "Слово", 2008.-296 с.

14.Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с.

15.Кузнецов Ю.Н., Козубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа.- 1980.- 300 с.

16.Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі. Навчальний посібник.- Львів: "Новий світ-2000", 2008.-344 с.

17.Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підручник. - К.: Товариство “Знання”, 1998.-494с.

18.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – 6-е изд., испр.- М.: Дело, 2004. - 575с.

19.Толбатов Ю.А. Економетрика: Підручник для студентів екон. спеціальн. вищ. навч. закл. – К.: Четверта хвиля, 1997.

20.Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач: Учебное пособие. – М.: “Экзамен”, 2005. – 384с.

216

Н а в ч а л ь н а л і т е р а т у р а

Рудянова Тетяна Миколаївна

Економіко-математичні методи та моделі:

оптимізаційні методи та моделі

Навчально-методичний посібник

Економіко-математичні			методи	та	моделі:
Р 83 оптимізаційні методи		та моделі. Навчально-методичний
посібник для студентів денної форми навчання, які
навчаються за галуззю знань 0305 “Економіка та
підприємництво” з напряму підготовки 6.030508 “Фінанси і
кредит”,	6.030504	“Економіка		підприємства”,
6.030505 “Управління		персоналом і економіка праці” –
Дніпропетровськ, ДДФА, 2010.– 218 с.

Навчально-методичний посібник складений відповідно до програми навчальної дисципліни і містить методичні рекомендації щодо вивчення дисципліни та організації самостійної роботи, структуру залікового кредиту курсу, методичні рекомендації та завдання для практичних занять, самостійної та індивідуальної роботи, список рекомендованої літератури, критерії оцінки знань та вмінь студентів при поточному та підсумковому контролю з дисципліни "Економіко-математичні методи та моделі: оптимізаційні методи та моделі”. В посібнику визначені основні принципи та інструментарій постановки задач оптимізації, побудови економіко-математичних моделей, методів їх розв'язування та аналізу з метою використання в економіці.

Посібник укладено за вимогами кредитно-модульної системи організації навчального процесу у вищих навчальних закладах.

		УДК 338:519.876
		ББК 65в631
Підписанододруку		Формат80 х108 1/32 Папіркрейдяний

Умов. друк. арк. 11,5 Обл.- від. арк. 15,7 Тираж____ Замовлення________

_______________________________________________________________

РВВ ДДФА Дільниця оперативного друку. Св. Держкомітету інформ. політики, телебачення та радіомовлення сер. ДК 2126 від 17.03.2005 р.

Видавець і виготівник: Дніпропетровська державна фінансова академія, вул. Аржанова, 12, м. Дніпропетровськ, 49083

217