2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (90,		20,		70); b = (40, 50, 80)
	2	6	7
	8	2	3
C =
	3	5	6

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 2x2 → max

3x1 + x2 ≤12

− x1 + x2 ≤1x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа.

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F= x1 − x2 + x3 → max, 2x1 + x3 +1

за умов

	x1 − x2 +3x3 =8,
− x1 −2x2 − x3 = 4,
	x , x	2	,	x ≥ 0.
	1			3

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F =9(x1 −5)2 +4(x2 −6)2 → min

за умов

3x1 +2x2 ≥12,
	x1 − x2 ≤ 6,
	x2 ≤ 4,
	x , x	2	≥ 0.
	1

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 x23 x34

за умов x1 + x2 + x3 =18. x1, x2 ,x3 >0.

160

Варіант № 6

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Фермерському господарству виділено 100 га площі для вирощування кормових культур. Цю площу передбачається зайняти кукурудзою і буряком, причому буряком вирішено зайняти не менше 40 га. Як треба розподілити площу для цих культур, щоб отримати найбільшу кількість кормових одиниць? При цьому слід враховувати: 1 ц кукурудзяного силосу містить 0,2 ц кормових одиниць, 1 ц буряку – 0,26 ц кормових одиниць; на обробіток 1 га кукурудзяного поля необхідно затрати 38 людино-годин праці механізаторів і 15 людино-годин ручної праці, а на 1 га поля, зайнято буряком, відповідно, 43 і 185 людино-годин; передбачається, що урожай кукурудзи – 500 ц з 1 га, а буряку – 200 ц з 1 га. Усього на вирощування кормових культур можна затратити 4000 людино-годин механізаторів і 15000 людино-годин ручної праці.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. F = 5x1 - x2→(extr)	2.2. F= 2x1 – 25x2→(extr)
за умов	за умов

5x1 −3x2 ≤32,				x1 +3x2					≤15,
	x1 − x2 = 0,			5x1 + x2					≤15,	x1, x2 ≥ 0.
	x , x	2	≥ 0.		x	+ x	2		≥ 0,
	1				1
				x −5x				2	≥ 0,
					1

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;

3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів і для цього використовує ресурси 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціну кожного виду продукції наведено в таблиці. Скласти такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції					Запас
		за видами				ресурсу
	А	В		С	Д
1	2	1		1	3	300
2	1	-		2	1	70
3	1	2		1	-	340
Ціна од. продукції (ум.од.)	8	3		2	1

161

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (40,		90,		50) b = (80, 40, 70)
	4	1	2
	3	5	8
C =
	7	1	3

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 2x2 → max

3x1 + x2 ≤12

− x1 + x2 ≤1x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F =	−5x1 + 2x2 → max,
	3x + 4x			2
		1
	за умов
	x1 + 4x2 + x3 =16,
	2x	+3x	2	− x	4	=12,
	1
	3x	−2x	2	+ x		=18,
	1				5

	, x2, x3, x4, x5	≥ 0.
x1

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F =3x1 + x2 → max

за умов:

x1 x2 ≥ 2,x12 + x22 ≤16.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x2 − x1 −2x12

за умов

3x1 +4x2 =12,

− x1 +2x2 = 6.

162

Варіант № 7

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. На одному з підприємств випускають вироби двох типів. Цех збирання готових виробів цього підприємства може випустити за добу 100 виробів першого типу або 300 виробів другого типу. Відділ технічного контролю підприємства може перевірити не більше 400 виробів (будь-якого типу) за добу. Відомо, що один виріб першого типу вартує в два рази дорожче, ніж виріб і другого типу. За цих умов необхідно скласти такий план

випуску виробів

кожного із цих двох типів, щоб підприємство отримало

найбільший прибуток.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.2. F = -2x1 - 5x2→(extr)

2.1. F = -3x1 + 6x2→(extr)

за умов

за умов

4x1 + 2x2 ≤ 25,

5x

+

6x

2

≥120,

x

+3x

≥ 6,

1

2

2x

−3x

2

≤ 60,

1

1

x1 ≥ 0,

x

−2x

2

≥ 0,

1

0

≤ x2 ≤ 7.

x , x

≥ 0.

2

1

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього в технологічному процесі використовують три види ресурсів 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси, а також ціну кожного виду продукції наведено в таблиці. Скласти такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю						Запас
		продукції за видами
							ресурсу
	А		В	С		Д
1	1		-	2		1	180
2	-		1	3		2	250
3	4		2	-		4	800
Ціна одиниці продукції	9		6	4		7
(ум.од.)

163

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (24,		18,		28) b = (40, 20, 20)
	5	3	7
	2	6	8
C =
	6	5	4

Індивідуальне завдання №2

4. Знайти розв'язок задачі лінійного програмування за умов, що змінні – невід'ємні цілі числа.

F = −2x1 −3x2 + x3 → min

за умов

−2x1 +3x2 +3x3 ≤ 2,
	− x1 −4x3 ≥ −17,
	8x −3x	2	≤31.
	1

5. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F = 3x1 +2x2 +4x3 → max, x1 +3x2 +4x3

	за умов
	x1 + x2 +2x3 ≥ 6,
− x		+4x		2		−2x	3	≤ 6,
	1
	2x	− x	2		+2x		= 4,
	1					3
	x1 , x2 , x3 ≥ 0.

6. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = 3x1 + x2 → max

за умов:

x1 x2 ≥ 2,x12 + x22 ≤16.

7. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 2x1 −2x2 + x3

за умов

x12 + x22 + x32 =1.

164

Варіант № 8

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Заводу потрібно скласти план випуску двох видів виробів при певних можливостях чотирьох цехів. План необхідно скласти так, щоб від продажу виготовленої продукції завод отримав найбільший прибуток. Обидва види виробів послідовно обробляються в цих чотирьох цехах. У плані має бути передбачено, що перший цех може обробити цю продукцію протягом 15 год., 2-й цех - 8 год., 3-й цех - 16 год., 4-й цех - 12 год.

	Виріб				Цехи
			1	2		3	4
	І		2	1		4	0
	II		3	2		0	4
	Можливий час роботи цеху		15	8		16	12
Завод від реалізації виробу І виду отримав 20 грн. прибутку, а II виду -30
грн. прибутку.
2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1. F = 2x1 + 4x2 + 15→(extr)		2.2. F= 2x1 – 25x2→(extr)
за умов		за умов

2x1 + x2 ≥ 2,− x1 + x2 ≥ 0,2x1 + x2 ≤8,x1, x2 ≥ 0.

x1 +3x2 ≤15,

5x1 + x2 ≤15,x1 + x2 ≥ 0,x1 −5x2 ≥ 0,

x , x ≥ 0.

1 2

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д і для цього використовує три види ресурсів 1,2,3. У таблиці наведено норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціни на продукцію. Визначити план виробництва продукції, який дасть змогу підприємству отримати найбільший дохід.

165

Ресурс								Норма витрат на одиницю продукції за													Запас ресурсу
										видами
								А		В		С							Д
	1							1		2		2							1		300
	2							3		-		2							2		600
	3							1		4		-							1		200
Ціна одиниці
продукції								3		2		5							4
(ум.од.)
3. Розв’яжіть								транспортну	задачу.							5			2	1
a = (30,				40,				80); b = (90,		50,						3			6	4
											70); C =										.
																9 2				5
								Індивідуальне завдання №2
4. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом
гілок і меж.
	F = x1 + 2x2 → max
	x1 + x2 ≤ 9
	−3x1 + x2 ≤ 3
	x		, x		2		≥ 0
	1
	x1, x2			– цілі числа
5. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:
											x1 + 2x2 − x3 =11
		2x		+ 2							x	− x	2	+ x			4		=8,
											1
F =			1				→ max за умов				− x1 +32 + x5 = 9,
		x1	+ x2
																		, x5 ≥ 0.
										x1 , x2, x3, x4

6. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F =9(x1 −5)2 +4(x2 −6)2 → min

3x1 +2x2 ≥12,
	x1 − x2 ≤ 6,
	x2 ≤ 4,
	x , x	2	≥ 0.
	1

7. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F= x12 + x22 + x3 за умов x1 + x2 + x3 = 4,

2x1 −3x2 =12.

166

Варіант № 9

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

Із урахуванням попиту населення взуттєвому магазину необхідно передбачити на плановий період продаж шкіряного взуття не менш як на 140 тис. грн., іншого взуття - не менш як на 40 тис. грн. Знаючи рівень прибутку і залишку від реалізації цих товарів (див. таблицю), скласти план продажу з мінімальною сумою залишку за умови, що товарообіг магазину буде не менший 200 тис. грн., а сума прибутку - не менша 2,5 тис. грн.

Показник	Шкіряне взуття	Інше
Прибуток, %	1	2
Залишок, %	6	5

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:	2.2. F = 5 - 4x1 + 3x2→(extr)
2.1. F = -x1 - 2x2→(extr)
за умов	за умов

5x1 +8x2 ≤80,						7x1 +12x2 ≤ 49,
	− x1 + x2 ≥ 0,						x1 − x2 ≤ 0,
4x +3x				2	≤12,		0 ≤ x ≤ 3,
	1								1
	x	, x	2	≥ 0.			x	2	≥ 0.
	1

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і використовує для цього ресурси трьох видів 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів, а також ціну на продукцію наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції, який дасть змогу підприємству отримати найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю			Запас
	продукції за видами			ресурсу
	А	В	С
1	2	1	2	300
2	3	1	2	600
3	2	2	1	200
Ціна одиниці продукції (ум.од.)	2	3	4

167

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (60,		90,		120) b = (70, 50, 160)
	8	2	5
	5	6	9
C =
	1	3	4

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤ 9x1 −3x2 ≤ 3x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F =

2x1 − x2

→ max,

x

+

2x

2

+1

1

за умов

x1 −22 + x3 = 2,

2x1 + x2 + x4 = 6,

x

,

x

2

, x

, x

4

≥ 0.

1

3

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = 4x1 +3x2 → min

за умов:

	2	2	− 2x2 −34 ≤ 0,
x1		− 2x1 + x2
		x1	≥1,
		x2	≥1.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x2 − x1 −2x12

за умов

3x1 +4x2 =12,

− x1 +2x2 = 6.

168

Варіант № 10

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Для пошиття спідниць і суконь швейний цех має 96 м тканини. На пошиття однієї сукні витрачають 3 м тканини і 1,8 год роботи устаткування, а на пошиття однієї спідниці — 2 м тканини і 0,6 год роботи устаткування. Час роботи устаткування обмежений 45 год на тиждень. Прибуток від продажу однієї сукні становить 18 грн, а однієї спідниці — 10 грн. Визначити щотижневий план виробництва, який забезпечує найбільший прибуток від реалізації готових виробів, якщо суконь потрібно виготовити

щонайбільше 20, аспідниць— щонайбільше30.
2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1. F= 2x1 – 25x2→(extr)						2.2.F = 5x1 + 5x2→(extr)
за умов					≤15,	x	+ x		≤5,
x		+3x	2			1		2
	1					4x1 + x2 ≥8,
5x1 + x2					≤15,		x ≥ 0,
	x1 + x2				≥ 0,		1
x		−5x		2	≥ 0,	0 ≤ x2 ≤ 4,
	1
	x1, x2 ≥ 0.
3. У наведеній					задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції			Запас
		за видами		ресурсу
	А	В	С
1	18	15	12	360
2	6	4	8	192
3	5	3	3	180
Ціна одиниці продукції	9	10	16
(ум.од.)

169