2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

Варіант № 15

Індивідуальне завдання №1

1.Для відкорму тварин необхідно з двох кормів К1 і К2 виготовити суміш. Задається норма порції суміші, яка розрахована на одну тварину:

норма речовини V1 потрібна бути не менш 12 од.; V2 - не менше 6 од.; V3

- не менш 9 од. У кожному кілограмі корму К1 міститься 3 одгодувальної речовини V1, 1 од. годувальної речовини V2 і 3 од. годувальної речовини V3. В одному кілограмі корму К2 міститься 2 од. годувальної речовини V1, 2 од. годувальної речовини V2 і 1 од. годувальної речовини V3. Вартість одиниці корму К1 складає 2 г.о., одиниці корму К2 - 3 г.о. Необхідно змішати наявні корми у такий кількості, щоб забезпечити задану норма порції суміші при мінімальних

витратах на корми.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1.F = 12x1 + 6x2 + 8→(extr)

2.2. F= 4x1 + 2x2 + 20→(extr)

за умов

за умов

x

+ 2x

≤14,

x

+ x

≥ 4,

1

2

≥ 36,

1

2

≤15,

9x1 + 4x2

5x1 − x2

x

− 2x

2

≤ 2,

− x

+ 2x

2

≤ 64,

1

, x

1

x

2

≥ 0.

x x

2

≥ 0.

1

1,

3. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів і для цього використовує ресурси 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціну кожного виду продукції наведено в таблиці. Скласти такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

	Норма витрат на одиницю продукції за					Запас
Ресурс			видами
						ресурсу
	А	В		С	Д
1	2	1		1	3	300
2	1	-		2	1	70
3	1	2		1	-	340
Ціна одиниці	8	3		2	1
продукції (ум.од.)

180

4. Розв’яжіть транспортну задачу.

a = (8, 5, 60) b = (7, 6, 6)

	3	5	1
	3	4	5
C =
	2	3	1

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 3x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤ 7x1 − 4x2 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F= x1 − x2 + x3 → max, 2x1 + x3 +1

за умов

	x1 − x2 +3x3 =8,
− x1 −2x2 − x3 = 4,
	x , x	2	,	x ≥ 0.
	1			3

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F =9(x1 −5)2 +4(x2 −6)2 → min

3x1 +2x2 ≥12,
	x1 − x2 ≤ 6,
	x2 ≤ 4,
	x , x	2	≥ 0.
	1

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 3x12 +2x22

за умов

2x1 +3x2 = 4,

x1 +2x2 =8.

181

Варіант № 16

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Дрібна фірма проводить розлив двох широковідомих безалкогольних напоїв – “Байкал” і “Тархун”. Фірма може продати всю продукцію, яка буде вироблена, однак обсяг виробництва обмежується кількістю основного інгредієнту та виробничою потужністю обладнання, котре має фірма. Для виробництва 1 л “Байкалу” потрібно 0,02 год. роботи обладнання, а для виробництва 1 л “Тархуну” – 0,004 год. Витрати спеціального інгредієнту складають 0,01 кг та 0,04 кг на 1 л “Байкалу” і “Тархуну” відповідно. Щоденно у розпорядженні фірми є 24 год. часу роботи устаткування і 16 кг спеціального інгредієнту. Прибуток фірми складає 0,1 грн. за 1 л “Байкалу” і 0,3 грн. за 1 л “Тархуну”. Продукція випускається у пляшках місткістю 1 л. Потрібно визначити денний виробничий план фірми за вимоги досягнення максимального прибутку.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. Z = 3x1 + 3x2 →(extr)

за умов

x1 −4x2 ≤ 4,3x1 +2x2 ≤ 6,− x1 + x2 ≤ 7,x1 +2x2 ≥ 2,

x , x ≥ 0.

1 2

2.2. Z = 5x1 -x2 →(extr)

за умов

x1 − 4x2 ≤ 4,5x1 + x2 ≤5,

x1 + x2 ≤8,

x1, x2 ≥ 0.

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д. Для цього в технологічному процесі використовують три види ресурсів 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси, а також ціну кожного виду продукції наведено в таблиці. Скласти такий план виробництва продукції, який забезпечить підприємству найбільший дохід.

182

		Ресурс				Норма витрат на одиницю продукції за						Запас
								видами				ресурсу
						А		В		С	Д
			1			1		-		2	1	180
			2			-		1		3	2	250
			3			4		2		-	4	800
	Ціна одиниці					9		6		4	7
	продукції (ум.од.)
4. Розв’яжіть транспортну задачу.								70)
a = (40,			60,		50) b = (90, 10,
		5	9	1
		6	5
C =				3
		5	2	1

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 3x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤10x1 −3x2 ≤ 3x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

		2x	−3x			2x	− x			≤ 4,
				2		1		2
	F =	1			→ max, за умов − x1		+ 2x2 ≤ 6
		3x1 + x2
					x ≥ 0, x				2	≥ 0.
						1

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

	x1 +2x2 ≤8,
	3x1 + x2 ≤15,
F = (x1 −6)2 +(x2 −2)2	за умов:	x1 + x2 ≥1,
		x ≥ 0,
		1
		x2 ≥ 0.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F= x2 − x1 −2x12 за умов 3x1 +4x2 =12,

− x1 +2x2 = 6.

183

Варіант № 17

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Цех виробляє високоточні деталі для автомобілів двох типів: А і Б. Цех має фонд робочого часу в 4500 люд.-год. на тиждень. Для виробництва однієї деталі типу А потрібно 1 люд.-год., а для виробництва однієї деталі типу Б – 2 люд.-год. Виробничі потужності цеху дозволяють виробити максимум 1800 деталей типу А і 1500 деталей типу Б щотижня. Кожна деталь типу А потребує 2 кг металевих стрижнів та 5 кг листового металу, а для виробництва однієї деталі типу Б потрібно 5 кг металевих стрижнів і 2 кг листового металу. Рівень запасів кожного виду металу складає 12000 кг щотижня. Окрім того, щотижнево цех постачає 800 дет. типу А постійному замовникові. Існує також профспілкова домовленість згідно з якою щотижневий обсяг виробництва деталей повинен складати не менше 3100 шт. Прибуток від виробництва однієї деталі типу А складає 12 грн., а від виробництва однієї деталі типу Б – 15 грн. Потрібно визначити тижневий виробничий план фірми з погляду досягнення

максимального прибутку.
2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1. = 5x1 + 6x2 - 27→(extr)					2.2. F= 2x1 + 3x2 + 10→(extr)
за умов					за умов
8x1 + 7x2 ≥ 56,					3x1 +2x2 ≤18,
4x		+ 6x	2	≤ 34,		− x + x	2	≤ 6,
	1					1
x1 + 3x2 ≤15,						x1 + x2 ≥3,
	0	≤ x	≤ 4,			0 ≤ x	≤ 4,
		1				1
		x2 ≥ 0.				x2 ≥ 0.
3. У наведеній			задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і використовує для цього ресурси трьох видів 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів, а також ціну на продукцію наведено в таблиці.

Визначити план виробництва продукції, який дасть змогу підприємству отримати найбільший дохід.

184

							Норма витрат на одиницю				Запас
			Ресурс				продукції за видами				ресурсу
							А		В	С
			1				2		1	2	300
			2				3		1	2	600
			3				2		2	1	200
	Ціна одиниці продукції						2		3	4
			(ум.од.)
	4. Розв’яжіть транспортну					задачу.		18)
a = (5,			18,	12) b = (10,			16,
		3	1	4
		3	6	1
C =
		2	4	8

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 4x2 → max

x1 + x2 ≤ 5−3x1 + 2x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

					−2x1 +3x2 ≤9,
		x	+ x			x + x	2	≤ 6,
				2		1
	F =	1			→ min, за умов	2x1 − x2 ≤10,
		2x1 +3x2
						x1, x2 ≥ 0.

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F =3x1 + x2		x1 x2 ≥ 2,
	→ max за умов: x2		+ x2	≤16.
		1	2

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 2x1 −2x2 + x3

за умов

x12 + x22 + x32 =1.

185

Варіант № 18

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Фабрика „Шевченко & Со” виробляє два види каш до сніданку – „Лев” і „Тигр”. Інгредієнти, що використовуються для виробництва обох продуктів, однакові і не дефіцитні. Основним обмеженням, що накладається на обсяг випуску, є фонд робочого часу в кожному з трьох цехів фабрики. Керівнику підприємства необхідно розробити план виробництва на місяць. У наведеній таблиці вказані загальний фонд робочого часу та кількість людино-годин, які потрібні для виробництва 1т продукту.

	Необхідний фонд		Загальний фонд
Цех	робочого часу, (люд.год/т)		робочого часу,
	„Лев”	„Тигр”	(люд.год/тижд.)
А.Виробництво	10	4	1000
В.Добавка приправ	3	2	360
С.Пакування	2	5	600

Прибуток від продажу 1т „Лева” складає 150 грн., а від продажу 1т „Тигру”-75грн. Є можливість продати всю вироблену продукцію. Потрібно визначити місячний виробничий план фірми з погляду

досягнення максимального прибутку.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1.F= 3x1 + 6x2 + 10→(extr)

2.2. F = x1 + 4x2 + 2→(extr)

за умов

за умов

−3x1 + 2x2 ≤ 6,

x1 + x2 ≤ 5,

x

2

≥1,

4x

+ x

2

≥ 8,

1

3x

−2x

≤ 6,

x − x

≤ 0,

2

2

1

1

x

+ x

2

≤ 8,

x

, x

2

≥ 0.

1

1

x1

, x2

≥ 0.

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці.

Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

186

								Норма витрат на одиницю					Запас
			Ресурс					продукції за видами
													ресурсу
								А		В		С
				1				18		15		12	360
				2				6		4		8	192
				3				5		3		3	180
	Ціна одиниці							9		10		16
	продукції (ум.од.)
4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (6, 9, 5)						b =	(5, 5, 10)
		1	3	2
		3	2	6
C =
		3	5	4

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 4x1 + x2 → max

x1 + x2 ≤ 52x1 −3x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F = 2x1 + x2 → max, x1 + x2

за умов

x1 +2x2 − x3 =11,x1 − x2 +4x3 =8,− x1 +3x2 + x5 =9,

x ≥ j =

j 0, 1,5.

7. Розв’язати задачу нелінійного програмування. z = 2x1 + x2 → min

x12 + x22 ≤ 25

x1, x2 ≥ 0

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F= x12 + x22 + x3 за умов x1 + x2 + x3 = 4,

2x1 −3x2 =12.

187

Варіант № 19

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

Консервний завод випускає два види приправи, використовуючи при цьому два основних види сировини: томатну пасту і яблука. Норми витрат сировини на 1 кг продукції, граничний збереження запасів сировини на 1 день роботи заводу, а також прибуток від продажу 1 кг продукції наведені у таблиці:

Сировина	Приправа	Приправа	Запаси
	1-го виду	2-го виду	сировин
			и
Томатна паста	0,5	0,6	200
Яблука	0,5	0,3	185
Прибуток від продажу 1 кг	0,75 грн.	0,57 грн.
продукції

Згідно з раніше укладеними контрактами необхідно щодня відправляти до торгової мережі не менше 560 кг продукції. Визначити оптимальні обсяги виробництва з метою отримання максимального прибутку.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1.F = 12x1 + 6x2 + 8→(extr)	2.2. F= 4x1 + 2x2 + 20→(extr)
за умов	за умов

x1 + 2x2 ≤14,

x1 + x2 ≥ 4,

+ 4x2

≥ 36,

5x1

− x2 ≤15,

9x1

x

− 2x

2

≤ 2,

− x

+2x

2

≤ 64,

1

, x

1

x

≥ 0.

x

2

≥ 0.

x

2

1

1,

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію А, В і С, для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норма витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

188

Ресурс					Норма витрат на одиницю продукції за видами					Запас ресурсу
					А		В		С
	1				4		2		1	180
	2				3		1		3	210
	3				1		2		5	244
Ціна одиниці
продукції					10		14		12
(ум.од.)
4. Розв’яжіть транспортну задачу.								20)
a = (20,		20,			40) b = (40,		20,
	3	3	4
	1	3	6
C =
	5	1	8

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 +3x2 → max

x1 + x2 ≤10−3x1 + x2 ≤ 3x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

						x +3x			≥ 4,
		x +	3x				1	2
				2		3x1 − x2 ≤ 6,
F =		1				→ max, за умов	x1 + x2 ≤ 3,
	2	+ x + x
					2
		1
							x1, x2	≥ 0.

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = x1 x2 → max

		61 + 4x2 ≥12,
		2x	+3x	2	≤ 24,
		1
за умов
	−3x1 + 4x2 ≤12,
			x1 ≥ 0,
			x2 ≥ 0.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 2x12 − x2 + x3 → opt за умов x12 + x22 + x32 =1.

189