2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

Варіант № 25

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП.

Харківський завод випускає 5 типів сільськогосподарського обладнання для міні-тракторів, назвемо їх умовно – А, В, С, D, Е. У таблиці наведено інформацію, щодо витрат ресурсів, необхідних для випуску одиниці кожного товару, а також тижневі запаси кожного ресурсу і прибуток від продажу одиниці кожного продукту.

Ресурси			Товар				Тижневий
	А	В	С		D	Е	запас
							ресурсів
Стратегічна сировина, кг	6,0	6,5	6,1		6,1	6,4	3500
Збирання, год.	1,0	0,7	1,2		1,0	1,0	600
Випалювання, год.	3	4,5	5		5	4,5	3000
Пакування, год.	0,5	0,5	0,5		0,7	1,0	400
Прибуток, год.	40	42	44		48	52

Держзамовлення на кожний тип обладнання складає 100 шт., а граничний обсяг гарантованої реалізації кожного типу обладнання

складає 2000 шт. Визначити				оптимальний виробничий план, якщо
необхідно отримати максимальний прибуток.
2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:
2.1. z = 7x1 + 3x2 + 20→(extr)				2.2. z = -3x1 + x2 →(extr)
за умов				за умов
	6x1 −5x2 ≤30,			x1 +2x2 ≥10,
	− x1 +2x2 ≤ 6,			3x1 + x2 ≥15,
					x1 ≤8,
10x1 +9x2 ≤90,
	x , x	2	≥ 0		x , x	2	≥ 0
	1				1

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д і для цього використовує три види ресурсів 1,2,3. У таблиці наведено норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціни на продукцію.

Визначити план виробництва продукції, який дасть змогу підприємству отримати найбільший дохід.

200

Ресурс	Норма витрат на одиницю					Запас
		продукції за видами				ресурсу
	А		В	С	Д
1	1		2	2	1	300
2	3		-	2	2	600
3	1		4	-	1	200
Ціна одиниці продукції (ум.од.)	3		2	5	4

4. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 2x2 → min

x1 + x2 ≥ 4x1 − x2 ≤1x1 , x2 ≥ 0

x1, x2			– цілі числа
				Індивідуальне завдання №2
5. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (20,		10,		30) b = (30, 30, 20)
	1	2	1
	3	1	5
C =
	2	6	2

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F =

2x1 − x2

→ max,

x

+

2x

2

+1

1

за умов

x1 −22 + x3 = 2,

2x1 + x2 + x4 = 6,

x

,

x

2

, x

, x

4

≥ 0.

1

3

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F =9(x1 −5)2 + 4(x2 − 6)2 → min

3x		+ 2x			≥12,
	1			2
	x1 − x2 ≤ 6,
		x2 ≤ 4,
		x , x	2	≥ 0.
		1

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 + 2x22 + x1 −2x2 +8 за умови 2x1 + x2 = 3.

201

Варіант № 26

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Фабрика виготовляє три види тканин. Добові ресурси фабрики складають 700 од. виробничого устаткування, 800 од. сировини та 600 од. електроенергії, витрати яких на одиницю тканини такі: для устаткування за видами тканини - 2, З і 4 од.; для сировини - 1, 4 і 5 од.; для електроенергії - 3, 4 і 2 од. Ціна одного метра тканини першого виду складає 8 г.о., другого виду - 7 г.о., третього виду - б г.о. Скільки треба виготовити тканини кожного виду, щоб прибуток від реалізації був найбільший?

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. z = -3x1 - 2x2 + 18→(extr)

за умов

	x	−	4x			≤ 0,
	1				2
	−3x1 + x2 ≤ 3,
		+5x2				≥ 30,
6x1
	x ,		x	2	≥ 0.
		1

2.2. z = x1 -x2 →(extr)

за умов

3x1 + x2 ≥3,3x1 + x2 ≥ 6,x1 − x2 ≤3,

x1, x2 ≥ 0.

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і Д і для цього використовує три види ресурсів 1,2,3. У таблиці наведено норми витрат кожного з ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів та ціни на продукцію.

Визначити план виробництва продукції, який дасть змогу підприємству отримати найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за					Запас ресурсу
		видами
	А	В		С	Д
1	1	2		2	1	300
2	3	-		2	2	600
3	1	4		-	1	200
Ціна одиниці
продукції	3	2		5	4
(ум.од.)

202

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (20,		30,		25)	b = (45, 5, 35)
5		9	1
	6	5
C =			3
	5	2	1

Індивідуальне завдання №2

5. озв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 4− x1 + x2 ≤1x1 , x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F = x1 +2x2 − x3 → max, 3x1 + x2 +5x3

за умов

	−3x1 +6x2 + x3 ≥12,
	− x		+7x		2	+2x			≤12,
		1					3
		2x		−4x		2	− x		≥1,
		1					3
		x j ≥ 0,					j =1,3.

7. Використовуючи графічний метод, знайти найбільше (найменше) значення функції:

F = x1 x2 → min

за умов:

x2		+2x	+2x2 −2x	2	−14 ≥ 0,
	1	1	2
		2x1 + x2 ≤10,
			x1, x2 ≥1.

8. 7. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = 5x1 +3x2 → max

за умов

x1 + 2x2 + x3 −6 = 0,3x1 + x2 + x4 −9 = 0.

x j ≥ 0, j =1,2,3,4.

203

Варіант № 27

Індивідуальне завдання №1

1. Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Лікар прописав хворому 2 види мультивітамінних препаратів: «мультивітамін» та «вітамін», які містять вітаміни С і Р. Вміст вітамінів (у мг на 1 г) препарату, потреби у вітамінах, а також гранично допустимі обсяги споживання названих препаратів на добу подані в таблиці:

Показники		Препарати
	«вітамін»	«мультивітамін»	Потреба у
			вітамінах (мг)
Вміст вітаміну С	36	24	144
(мг/г)
Вміст вітаміну	1,5	2,5	10
Р(мг/г)
Гранично	Не	4
допустимі обсяги	обмежуєтьс
споживання	я
Ціна 1 г (коп.)	30	20

Визначити оптимальний обсяг споживання мультивітамінів за умови мінімізації витрат.

2. Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. z = -2x1 + 3x2 + 12→(extr)

2.2. z = -2x1 +x2→(extr)

за умов

за умов

5x −2x

≤10,

x

+ x

≤ 6,

1

2

1

2

− x1 + x2 ≤ 2,

x1 ≤5,

4x +3x

2

≥12,

x

2

≤

3,

1

x

, x

2

≥ 0.

x

,

x

2

≥ 0.

1

1

3. У наведеній задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію чотирьох видів А, В, С і використовує для цього ресурси трьох видів 1,2,3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів, а також ціну на продукцію наведено в таблиці.

Визначити план виробництва продукції, який дасть змогу підприємству отримати найбільший дохід.

204

Ресурс	Норма витрат на одиницю			Запас
	продукції за видами			ресурсу
	А	В	С
1	2	1	2	300
2	3	1	2	600
3	2	2	1	200
Ціна одиниці продукції (ум.од.)	2	3	4

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (10,		36,		24) b = (20, 32, 36)
	3	1	4
	3	6	1
C =
	2	4	8

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 2x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 8− x1 + x2 ≤ 3x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування

F =		2x1 −3x2 +1							→ min,
		x + x			2	+5
	1
	за умов
4x1 +2x2 − x3 ≥ 20,
		3x		− x		2		≥10,
	1							≤11,
		2x	−3x				2
	1
		2x	+5x					≤35,

≥ =

x 0, j 1,3.

j

7.Розв’язати задачу нелінійного програмування.1 2

z = x1 +2x2 → max

x12 + x22 ≤16

x1, x2 ≥ 0

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 + 2x22 + x1 −2x2 +8 за умови 2x1 + x2 = 3.

205

Варіант № 28

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Чотири станка І, II, III, IV обробляють два види деталей А та В. Кожна деталь проходить обробку на всіх чотирьох станках. Відомо, що час обробки деталі А на чотирьох станках дорівнює відповідно 1, 2, 1 та 3 години, а деталі В - 2, З, 1 та 1 година. Час роботи станків за один цикл виробництва дорівнює для кожного станка 16, 25, 20 і 24 і один. Прибуток від випуску одної деталі А складає 4 г.о., а деталі В - 1 г.о. Знайти план виробництва, який забезпечує найбільший прибуток.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. z = x1 + x2 →(extr)

за умов

		0 ≤ x1 ≤1,
		0 ≤ x2 ≤ 2,
	0 ≤ x1 + x2 ≤3,
−1		≤ x − x	2	≤ 0.
		1

2.2. z = 2x1 + 4x2 + 30→(extr)

за умов

3x1 + 2x2 ≤15,
	− x + x	2	≤ 4,
	1
	x1 + x2	≥ 4,
	0 ≤ x	≤ 3,
	1
	x2 ≥ 0.

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції за			Запас
		видами		ресурсу
	А	В	С
1	18	15	12	360
2	6	4	8	192
3	5	3	3	180
Ціна
одиниці	9	10	16
продукції
(ум.од.)

206

4. Розв’яжіть транспортну задачу.
a = (10,		10,		20) b = (20, 10, 10)
	3	3	4
	1	3	6
C =
	5	1	8

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = x1 + 4x2 → min

x1 + x2 ≥ 2x1 − x2 ≤1x1, x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування

F =		2x1 −3x2						→ max,
			3x	+ x			2
			1
	за умов
2x1 − x2 + x3 = 4,
x			+2x		2	− x ≤ 6,
1							3
	x j ≥ 0,						j =1,3.

7. Розв'язати задачу нелінійного програмування:

z = 2x1 +3x2 → max

(x1 −2)2 +(x2 −3)2 ≤ 9,

x1 ≥1,

x2 ≥1.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x1x2 + x2 x3

за умов

x1 + x2 = 4,x2 + x3 = 4.

207

Варіант № 29

Індивідуальне завдання №1

1.Скласти економіко-математичну модель ЗЛП. Менеджер з цінних паперів має розташувати 100.000$ капіталу. Його вибір обмежений можливими об’єктами інвестування: A, B, C і D. Об’єкт А дозволяє отримувати 6%, В – 8%, С – 10%, а D – 9% річних. Для усіх чотирьох об’єктів ступінь ризику та умови інвестування різні. Щоб не піддавати ризику наявний капітал, менеджер вирішив, що не менше половини інвестицій потрібно вкласти в об’єкти А і В. Щоб забезпечити ліквідність, не менше 25% загальної суми капіталу потрібно вкласти в об’єкт D. Враховуючи можливі зміни у політиці уряду, в об’єкт С слід вкладати не більше 20% інвестицій, тоді як особливості податкової політики потребують, щоб в об’єкт А було вкладено не менше 30% капіталу. Скласти математичну модель задачі визначення оптимального розподілу інвестиції, якщо необхідно отримати максимальний прибуток.

2.Розв’яжіть графічним методом ЗЛП:

2.1. Z = 3x1 + 3x2 →(extr)
за умов
x1 −4x2 ≤ 4,
				≤ 6,
3x1 +2x2
	− x1 + x2			≤ 7,
x		+2x	2	≥ 2,
	1
	x1, x2 ≥ 0.

2.2. Z = 5x1 -x2 →(extr)

за умов

x1 −4x2			≤ 4,
5x + x		2	≤5,
	1
x1 + x2 ≤8,
	x1, x2	≥ 0.

3. У наведеній далі задачі виконати такі дії:

3.1.записати математичні моделі прямої та двоїстої задач; 3.2.симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої

задач, подати їх економічний аналіз; 3.3.визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва

продукції, та рентабельність кожного виду продукції; 3.4.обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни

запасів дефіцитних ресурсів; 3.5.розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної

продукції.

Підприємство виготовляє продукцію А, В і С, для чого використовує три види ресурсів 1, 2, 3. Норма витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в таблиці. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

208

			Ресурс			Норма витрат на одиницю			Запас
						продукції за видами			ресурсу
						А	В	С
				1		4	2	1	180
				2		3	1	3	210
				3		1	2	5	244
Ціна одиниці продукції (ум.од.)						10	14	12
4. Розв’яжіть транспортну задачу.						10)
a = (10,		10,		20)	b = (20, 10,
	3	3	4
	1	3	6
C =
	5	1	8

Індивідуальне завдання №2

5. Розв’яжіть задачі цілочислового ЛП методом відтинання і методом гілок і меж.

F = 4x1 + x2 → min

x1 + x2 ≥ 6− x1 + x2 ≤ 3x1 , x2 ≥ 0

x1, x2 – цілі числа

6. Розв'язати задачу дробово-лінійного програмування:

F = 3x1 − x2 → max, x1 + x2

за умов

	x1 + x2 − x3 =5,
− x		+3x		2	+ x	4		= 7,
	1
	3x	− x	2	+ x		=11,
	1				5
	x j ≥ 0, j =1,5.

7. Розв'язати задачу нелінійного програмування:

z = x12 + x22 → max

за умов

x1x2 ≤ 2, x1 + x2 ≤1,

x1, x2 ≥ 0.

8. За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:

F = x12 + 2x22 + x1 −2x2 +8 за умови 2x1 + x2 = 3.

209